Задача о максимальном быстродействии. 
Постановка задачи. 
Решение с помощью принципа максимума

Пусть задан объект, описываемый системой дифференциальных уравнений.

Требуется найти такое управление из области допустимых, которое переводило бы объект из начального состояния x (/₀) = x° в конечное д-(Г) = х^г за минимальное время. Требуется, таким образом, минимизи- т

ровать функционал I = ^dt.

¹о Очевидно, условие экстремума этого функционала останется прежним, если его запишем в виде.

где, а — некоторое положительное число, а > 0.

т

Введем новую фазовую координату лг_Л+1 = aj dt, или дг_п+, = а, и до;

'о бавим к системе уравнений еще одно x_;'_J+1 = /_/)+1 = а.

Функционал получит вид.

следовательно, сс₂ -с_п — 0; с_п+1 —1.

Задача отличается от предыдущей тем, что конечное состояние объекта задано, а время не фиксировано.

Находим вспомогательные переменные:

Граничные условия у (Г) = -с., (у = 1,2,уже не имеют место, т. к. они получены для свободного правого конца. У нас же он фиксирован. Но граничное условие V"+(Т) = -с"₊₁ =-1 сохраняется, т. к. правый конец координаты х_п+] как функции времени остается свободным. Найдем гамильтониан:

Оптимальное управление найдется из условия максимума гамильтониана Я, по управлению или, что-то же самое, из условия max Я, т. е.

иеС1

а можно не учитывать (можно не учитывать а,₁₊₁).

Рассмотрим пример.

Пусть объект управления описывается уравнением

Требуется найти алгоритм управления, переводящий объект из положения а (0) = 0, а'(0) = 0 (т. е. из состояния покоя) в положение а (Г) = лг^г; а'(Г) = 0 за минимальное время. На управление и наложено ограничение |м|<�м_тах.

Запишем уравнение объекта в виде системы (а, = а):

и находим вспомогательные переменные: или

Составляем характеристическое уравнение для полученной систем.

Пусть корни характеристического уравнения будут и р₁. Решение для |/₇ имеет вид j/₂ = c_xe^Pvt + c₂e^Pl1.

Составляем гамильтониан:

Максимум функции Я достигается при управлении Это и есть искомый алгоритм управления.

х^т

После окончания управления и должно быть равно —.

1с

Постоянные с_х и с₂ должны быть подобраны так, чтобы в момент.

j

t-T объект оказался в положении х . Процесс управления можно иллюстрировать следующими диаграммами (рис. 1.48, 1.49).

Рис. 1.48. Переходный процесс при подаче на вход и =х^г/к.

Рис. 1.49. Оптимальное управление