Достижение Парето-эффективного состояния экономики, в которой производятся как частные, так и общественные блага

Эффективность производства общественных благ может быть определена в терминах (обозначениях) Парето-эффективного состояния экономики. Вспомним, что при производстве и распределении только частных благ эффективная по Парето структура выпуска этих благ достигается при условии равенства предельных норм замены у всех потребителей предельной норме продуктовой трансформации:

или в терминах цен и издержек:

В случае производства в экономике как частных, так и общественных благ речь может идти только о Парето-эффективном производстве общественных благ. (Проблемы распределения чисто общественных благ, как известно, не существует.).

Пусть в экономике производятся один вид частного блага — X и один вид общественного — Z Общество же состоит из двух индивидов: Тимофея и Василия. Их индивидуальные функции полезности имеют такой вид:

где Qx и Qf — объемы потребления частного блага X каждым из индивидов; Q_y — количество общественного блага.

Производство общественного блага будет Парето-эффективным, если благосостояние одного потребителя (допустим, Тимофея) достигает максимума при заданном значении функции полезности другого потребителя (Василия). В этом случае будет уже невозможно повысить благосостояние одного из потребителей, не снижая благосостояния другого.

Ограничение для данного сообщества двух потребителей задается функцией продуктовой трансформации (границей производственных возможностей).

Как уже отмечалось выше (см. гл. 23, параграф 23.3), трансформационная функция — специфический способ представления технологии в виде функции от количества производимых благ, принимающей нулевое значение тогда и только тогда, когда Q_x и Q_z находятся на границе производственных возможностей^[1].

Формально задачу максимизации по нахождению Парето-эффективного выпуска общественного блага можно записать так:

Для решения этой задачи построим функцию Лагранжа. Поскольку у нас два ограничения, введем две независимых переменных Лагранжа: X и р.

Итак, лагранжиан в данном случае будет иметь такой вид: Продифференцируем функцию по Qj_y Q$, Qz'•

Разделив уравнение (8) на (6), получим.

Из уравнения (7) можно получить выражение.

Подставив его в предыдущее уравнение (9), получим Преобразуя, имеем

Первая дробь в последнем выражении — это соотношение предельных полезностей общественного и частного благ у Тимофея, или предельная норма замены этих благ у Тимофея. Вторая дробь — соотношение предельных полезностей общественного и частного благ у Василия (или, что-то же самое, предельная норма замены у Василия). Третья дробь — предельная норма трансформации общественного блага Z в частное благо X.

Итак:

Как мы видим, данное условие эффективного по Парето производства общественного блага существенно отличается от соответствующего условия эффективности при производстве только частных благ. Производство общественных благ является Парето-эффективным, только если сумма индивидуальных предельных норм замены частного блага общественным равняется предельной норме их продуктовой трансформации.

Если бы это было не так, то за счет перераспределения ресурсов и сокращения производства одного блага и увеличения производства другого можно было бы повысить благосостояние одного из потребителей.

Рассмотрим два примера.

Пусть.

Заданное значение MRS]_X говорит о том, что благосостояние Тимофея не изменится, если взамен одной единицы общественного блага Zему предложить 0,2 единицы частного блага X. Благосостояние Василия не изменится, если вместо одной единицы общественного блага он получит 0,6 единицы частного. В соответствии с приведенной нормой продуктовой трансформации одну единицу общественного блага можно трансформировать в одну единицу частного блага. Полученной дополнительной единицы частного блага хватит не только на то, чтобы компенсировать обоим потребителям потерю одной единицы общественного блага (0,2 + 0,6 < 1), но и на то, чтобы повысить благосостояние потребителей.

Таким образом, при MRSj_x + MRS]}_X < MRPT_ZX можно добиться улучшения по Парето, перераспределив часть ресурсов с выпуска общественного блага на производство частного.

Теперь обратимся к следующему примеру.

Пусть

Благосостояние Тимофея не изменится, если он пожертвует 0,8 единицы частного блага X ради увеличения потребления общественного блага^[2]

Z на единицу. Василий будет готов расстаться с 0,6 единицы частного блага ради участия в потреблении лишней единицы общественного блага. При данной норме продуктовой трансформации одну дополнительную единицу общественного блага можно получить, отказавшись от производства 1,3 единицы частного блага. Следовательно, если Тимофей откажется, например, от 0,75 единицы частного блага, а Василий — от 0,55 единицы этого же блага, то, получив взамен одну единицу общественного блага, они повысят уровень своего благосостояния.

Таким образом, при MRSJx + MRSfx > MRPTzx улучшение по Парето можно получить, перераспределив часть производственных ресурсов в пользу выпуска дополнительной единицы общественного блага.

Выбор оптимальной по Парето структуры производства частного и общественного благ может быть представлен графически (рис. 25.3).

Рис. 25.3. Достижение Парето-эффективности при производстве общественных благ. Кривая производственных возможностей и кривая безразличия одного потребителя (а) и кривая потребительских возможностей другого (б).

На рис. 25.3, а представлены кривая производственных возможностей экономики по выпуску частного блага (X) и общественного (Z) (иначе — кривая продуктовой трансформации, РТ) и одна из кривых безразличия Василия ({/Р). Как и другие (не изображенные на графике) кривые безразличия, данная кривая отражает все возможные комбинации, общественного и частного благ, которые обеспечивают Василию определенный уровень благосостояния.

Любая точка на кривой производственных возможностей (например, с) отражает ситуацию, когда каждому возможному объему выпуска общественного блага (Z_c) соответствует определенный объем частного блага (Х_с). Максимальное количество частного блага — ОР, общественного — О Г.

Любая точка на кривой безразличия Василия (например, с') соответствует определенному количеству частного блага (Х_с>), которое достается Василию, и объему общественного блага (Z_c), в пользовании которым он принимает участие. Допустим, что объем общественного блага известен (например, это Z_c). Тогда разница между соответствующим общим выпуском частного блага (Х_г) и объемом этого блага, достающимся Василию (Х_с/), образует объем частного блага, который достается Тимофею: (Х_с — - Х_с' = сс').

И так для всех возможных объемов общественного блага Z. Например, при Z_a и Z_/; весь объем частного блага достается Василию. Короче, если из границы производственных возможностей вычесть кривую безразличия одного из потребителей (в данном случае — Василия), то останется кривая потребительских возможностей другого потребителя (Тимофея) — кривая ПВ^Т (рис. 25.3, б).

В данных условиях Тимофей максимизирует свою полезность, если выберет такую комбинацию частного и общественного благ на границе своих потребительских возможностей (ПВ^Т), в которой происходит касание с максимально высокой (из доступных ему) кривой безразличия UJ. Допустим, это происходит в точке (Г. Тогда выпуск общественного блага составит Z_d, а общий выпуск частного — X_d (см. рис. 25.3, а). В этом случае из общего выпуска частного блага X_d Василию достается объем Х'_(1у а Тимофею — х;(х; = - x'_d).

Итак, при сложившихся ограничениях Тимофей максимизировал свою полезность. Оптимальной по Парето будет такая структура производства: (Z*X_d).

Положение, а следовательно, и наклон кривой потребительских возможностей Тимофея определяются путем вычитания из границы производственных возможностей кривой безразличия Василия:

Но угол наклона кривой потребительских возможностей Тимофея в точке касания совпадает с наклоном его кривой безразличия (UJ). Углы наклона в оптимальных точках кривых безразличия Тимофея и Василия (d" и d') определяют их предельные нормы замены MRS]_X и MRS$_X, а угол в точке d на кривой производственных возможностей — предельную норму продуктовой трансформации MRPT_ZX:

Если произойдет перераспределение начального благосостояния между Тимофеем и Василием, то в качестве заданной мы будем рассматривать другую кривую безразличия Василия. Тогда Тимофею, чтобы максимизировать свою полезность в изменившихся условиях, придется искать новую точку касания своей новой кривой потребительских возможностей с другой своей кривой безразличия. Соответственно, иным будет и оптимальный объем общественного блага.

Условие эффективного по Парето производства общественных благ (MRSj_x + MRS^{^_X +… + MRS^x =MRPT_/X) можно легко представить в ином, уже известном нам виде: PJ + Рр +…+ Р/ = МС₇.

Допустим, что частное благо X представлено деньгами. В этом случае предельные нормы замены благ у потребителей показывают, какую максимальную цену каждый потребитель готов заплатить за дополнительную единицу общественного блага: MRSJ_X = Р₇ MRS_7X =Pf > а предельная норма продуктовой трансформации — чего будет стоить производство этой дополнительной единицы общественного блага, т. е. MRPT_/X = МС₇.

• [1] См. подробнее: Гребенников П. И., ЛеусскийЛ. И., ТарасевичЛ. С. Микроэкономика. С. 278;Вэриан X. Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. С. 592—593.
• [2] Для случая с большим числом потребителей это условие обобщается какМ1ЩХ + MRS')X +… + MRSgx = MRPTZX.