Логические отношения между формулами в логических теориях

Фундаментальные и производные логические отношения, алгоритм их установления

Логика высказываний используется и при решении других, не менее важных с практической точки зрения, вопросов. В частности, здесь можно назвать проблему анализа комплекса высказываний на предмет их совместимости между собой (скажем, различных свидетельских показаний), а также вопрос независимости утверждений друг от друга в некой системе таких утверждений. Например, это может быть система аксиом, и логика помогает концептуально отличить базовые утверждения (собственно аксиомы) от производных (теорем), т. е. положений, выводимых из исходных аксиом. Проблема независимости аксиом (т.е. невозможности вывести ни одну из них из остальных) — одна из важнейших в методологии.

Для решения подобных задач в логике вообще, и в КЛВ в частности, разработана так называемая теория логических отношений между формулами (а следовательно, и соответствующими им высказываниями, примем этот факт по соглашению).

Логическими отношениями называются определенные отношения между формулами, которые касаются тех или иных сочетаний истинностных значений, принимаемых формулами при различных интерпретациях.

Начнем с самого простого случая. Рассмотрим установление и сущность логических отношений в случае с двумя формулами (высказываниями) А и В.

Установить логические отношения — это значит ответить на один или несколько из следующих четырех вопросов:

• 1. Возможно ли такое положение вещей, при котором обе формулы принимают значение «истина»?
• 2. Возможно ли такое положение вещей, при котором обе формулы принимают значение «ложь»?
• 3. Возможно ли такое положение вещей, при котором формула А принимает значение «истина», а формула В — значение «ложь»?
• 4. Возможно ли такое положение вещей, при котором формула А принимает значение «ложь», а формула В — значение «истина»?

Попробуем применить эту теорию к элементарному случаю. Пусть А — формула р & q (соответствующая высказыванию, например, «У меня есть брат и сестра»), В — формулаpv q («У меня есть брат или сестра»). Каковы будут ответы на наши четыре вопроса в этом случае? По существу, наших знаний вполне достаточно, чтобы верно назвать эти ответы:

• 1. Да (если у меня есть и брат, и сестра — т. е. если обе переменные проинтерпретированы как «истина»).
• 2. Да (если у меня нет ни брата, ни сестры — т. е. если обе переменные проинтерпретированы как «ложь»).
• 3. Нет (потому что если у меня есть и брат, и сестра, отсюда с необходимостью следует, что как минимум кто-то один из них у меня есть — если обеим переменным приписано значение «истина», то соответствующая дизъюнкция тоже истинна).
• 4. Да (если у меня есть только либо брат, либо сестра — т. е. в том случае, если значение «истина» приписано ровно одной переменной, тогда дизъюнкция по определению истинна, а конъюнкция ложна).

Фактически комбинация ответов «да — да — нет — да» и является результатом установления всех возможных логических отношений. Другое дело, что каждая такая возможная комбинация имеет свое собственное название (равно как свое название имеет и каждый соответствующий ответ в этой последовательности).

Логические отношения подразделяются на фундаментальные и производные.

Фундаментальные устанавливаются ответом на какой-либо один вопрос (т.е. их существует четыре различных вида). Производные устанавливаются комбинацией ответов на эти вопросы (их существует 6 различных видов или даже 7, если учитывать два подвида одного из них).

Фундаментальные логические отношения (сообразно приведенному выше порядку вопросов):

• 1 — совместимость (несовместимость) но истинности;
• 2 — совместимость (несовместимость) по ложности;
• 3 — логическое следование А |= В (специальный знак |= обозначает это отношение) или его отсутствие;
• 4 — логическое следование В ^ А или его отсутствие.

Перейдем к определениям. Для отношений 1 и 2 сделаем эго в одной формулировке и для произвольного множества формул.

А все сразу не бывает…

…Если умный и честный — то беспартийный.

Если умный и партийный — то нечестный.

Если честный и партийный — то дурак.

Фаина Раневская

Формулы Л,… А_п совместимы по истинности (ложности), если и только если существует хотя бы одна интерпретация параметров, входящих в состав этих формул (хотя бы одно положение вещей), при которой каждая из этих формул принимает значение «истина».

(«ложь»). В противном случае (когда такой интерпретации нет) они называются несовместимыми по истинности (ложности).

Традиционные затруднения вызывает усвоение определения отношения логического следования (хотя оно непосредственно выражает «здравый логический смысл»).

Пусть X и У — формулы. Тогда:

Xj= У (читается: «из формулы X логически следует формула У»), если и только если в данной логической теории не существует такой допустимой интерпретации параметров, входящих в состав X и Y (такого положения вещей), при которой (котором) формула X принимает значение «истина», а формула Y — значение «ложь».

Вариант этого определения:

X |= У, если и только если при всех таких интерпретациях параметров, входящих в состав X и У (таких положениях вещей), когда формула X принимает значение «истина», формула У тоже принимает значение «истина».

Важно понять: если интерпретация «истина — ложь» существует, то следования нет, а если такой интерпретации не существует (и ни в коем случае никак иначе!), то следование есть. Вопрос о существовании такой интерпретации — это как раз вопрос 3 из нашего перечня (и его двойник — вопрос 4). Стало быть, следование есть тогда и только тогда, когда ответ на соответствующий вопрос «нет» Но это и понятно — сам термин «логически следует» подразумевает гарантию сохранения истины (вспомните гл. 1!), а именно то, что всегда, когда одно истинно, другое тоже истинно (т.е. не может быть так, чтобы первое было истинно, а второе ложно). Логическое следование (или его отсутствие) — это характеристика отношения между формулами как таковыми. Поэтому не бывает так, что «в этом случае следует, а в другом случае не следует».

Для фундаментальных отношений 1 и 2 (совместимости и несовместимости по истинности и ложности) ситуация была другой — там утвердительный ответ на вопрос означал наличие соответствующего отношения, а отрицательный — отсутствие.

Поэтому надо сразу четко определиться, но какому принципу запоминать производные логические отношения (см. ниже) — по наличию (отсутствию) фундаментальных или по комбинациям ответов на базовые 4 вопроса.

Теперь обобщим определение логического следования:

Х_{… Х_п— Y (читается: «из формул Х_х… Х_п логически следует формула У»), если и только если не существует такой интерпретации параметров, входящих в состав Х_{… Х_п и У (такого положения вещей), при которой (котором) каждая из формул Х_{… Х_п приняла бы значение «истина», а формула У — значение «ложь».

Вариант этого определения:

*1- Ь У, если и только если при всех таких интерпретациях параметров, входящих в состав Х_х… Х_п и У (таких положениях вещей), когда формулы Х_{… Х_п одновременно принимают значение «истина», формула У тоже принимает значение «истина».

Производные логические отношения:

• 1 — противоречие (контрадикторность);
• 2 — противоположность (контрарность);
• 3 — поднротивоположность (субконтрарность);
• 4 — логическое подчинение;

• 5 — логическая эквивалентность;
• 6 — логическая независимость.

Первые два называются отношениями несовместимости, остальные — отношениями совместимости. Определения:

1. Формулы А и В находятся в отношении противоречия (контра— дикторности), если и только если они несовместимы ни по истинности, ни по ложности.

То есть комбинация ответов на исходные 4 вопроса в этом случае такова: нет — нет — х — х (х означает, что уточнение для определения отношения несущественно).

2. Формулы А и В находятся в отношении противоположности (контрарности), если и только если они несовместимы по истинности, но совместимы по ложности.

Комбинация ответов: нет — да — х — х.

3. Формулы А и В находятся в отношении подпротивоположности (субконтрарности), если и только если они совместимы по истинности, но несовместимы по ложности.

Комбинация ответов: да — нет — х — х.

4. Формула У подчиняется формуле X, если и только если X |= У, но 1 (У И;

Комбинация ответов: х — х — да — нет (А подчиняется В) или х — х — нет — да (В подчиняется А).

5. Формулы А и В находятся в отношении логической эквивалентности, если и только если они логически следуют друг из друга.

Комбинация ответов: х — х — нет — нет.

6. Формулы А и В находятся в отношении логической независимости, если и только если они совместимы по истинности, совместимы по ложности и логически не следуют друг из друга.

Комбинация ответов: да — да — да — да.

Следует иметь в виду, что данные определения и вся эта классификация производных логических отношений адекватно применимы лишь в случае, когда мы имеем дело с выполнимыми, но не общезначимыми формулами. Иначе, скажем, мы вынуждены были бы признать, что тождественно-истинная и тождественно-ложная формулы одновременно находятся в отношениях противоречия и подчинения (первой, но отношению ко второй). Тогда понятно, откуда берутся наши «крестики» в комбинациях ответов. Если две собственно выполнимые формулы несовместимы ни по истинности, ни по ложности, отсюда автоматически вытекает, что они не следуют друг из друга (когда первая истинна, вторая ложна, и наоборот)! Поэтому полная комбинация в этом случае будет такой: «нет — нет — да — да». Для случая логической эквивалентности собственно выполнимых формул имеем заведомую совместимость и по истинности, и по ложности, т. е. комбинацию «да — да — нет — нет». А вот если снять ограничение на используемые формулы, то эквивалентными, скажем, станут и две тождественно-ложные формулы (комбинация ответов «нет — да — нет — нет»), которые одновременно будут находиться и в отношении противоположности (по первым двум ответам).

Обобщим сказанное в табл. 3.8.

Таблица 3.8

Производные логические отношения*.

• * 1. <<�Л (и) В" означает, что А и В совместимы по истинности.
• 2. «А (л) В» означает, что А и В совместимы, но ложности.
• 3. Слова «да» и «нет» в таблице, за исключением тех, что стоят в скобках (после слова «ответ»), касаются наличия/отсутствия самого данного логического отношения.
• 4. В правой части таблицы (в двух правых столбцах) приведены также соответствующие ответы на «вопросы логических отношений» (3-й и 4-й), поскольку они не совпадают с ответами на вопросы о наличии данных логических отношений.
• 5. «X» означает несущественность данного обстоятельства.

Задание. Попробуйте самостоятельно поставить вместо двенадцати крестиков X в таблице соответствующие слова, приняв соглашение о том, что речь идет только о собственно выполнимых формулах.

А теперь покажем на практике, как устанавливаются полные логические отношения для сложных высказываний.

Установим, в каких логических отношениях находятся следующие высказывания:

• 1. Если Смит не был убийцей, то Джонс лжет, а Браун не встречал Смита этой ночью.
• 2. Если Смит был убийцей, или Джонс не лгал, то Браун и Смит встречались этой ночью.

Если «Смит был убийцей» — это р> «Джонс лжет» — у, а «Браун встретил Смита этой ночью» — s, то логические формы наших высказываний выглядят так:

• 1. 1 р з (у & 1 s).
• 2. (р v 1 q) D s.

Алгоритм установления логических отношений между двумя формулами опирается на построение так называемой совместной таблицы истинности для этих формул. Делается это следующим образом. Во входы таблицы выписываются все переменные, которые входят хотя бы в одну из формул, а сами формулы — в ту же строку:

После этого таблица заполняется стандартным образом, каждая из формул «обсчитывается» отдельно, как бы «сама по себе» (поэтому порядок действий, собственно говоря, в каждом случае свой):

А теперь будем отвечать на наши четыре вопроса, учитывая, что «положение вещей» — эго комбинация значений переменных, т. е. фактически строчка таблицы.

• 1. Да (строки 1, 3, 6-я — именно в них обе формулы принимают значение «истина»); формулы совместимы по истинности.
• 2. Да (строка 8 — именно в ней обе формулы принимают значение «ложь»); формулы совместимы, но ложности.
• 3. Да (строки 2, 4-я — именно в них формула 1 р D (а & 1 s) истинна, а формула (р v 1 q) з s при этом ложна); 1 р Z) (q & 1 s) У (р v ~ q) z> s.
• 4. Да (строки 5-я и 7-я — именно в них формула (р v 1 q) з s истинна, а формула 1 p з (q &.1 s) при этом ложна); (p v 1 q) з s У1 p з (q & 1 s).

Данное производное логическое отношение называется отношением логической независимости.

Используя знания о совместимости или несовместимости некоторого множества суждений по истинности или ложности, иногда можно достаточно точно установить истинностное значение входящих в них пропозициональных переменных. Например, рассмотрим следующую задачу, построенную в стиле Р. Смаллиана (В. Горбатов).

Благородный рыцарь оказался в ловушке у коварного короля. Перед ним коридор, в который выходят три двери. Известно, что за каждой дверыо кто-то есть — может быть, принцесса, а может быть, — тигр. Король дал рыцарю единственную подсказку, принцесса может оказаться только за той дверью, на которой написана истина, а тигр — только за той, на которой ложь. Вот какие надписи были на этих дверях:

ЕСЛИ ЗДЕСЬ ПРИНЦЕССА, ТО В СОСЕДНЕЙ КОМНАТЕ ТИГР

СЛЕВА И СПРАВА ОДИНАКОВЫЕ СУЩЕСТВА

ЕСЛИ

ЗДЕСЬ ТИГР, ТО В СОСЕДНЕЙ КОМНАТЕ ПРИНЦЕССА

Какую дверь должен открыть рыцарь, если хочет найти принцессу, а не стать добычей тигра?

Примем следующие обозначения:

• 1) р — «за первой дверыо принцесса»;
• 2) q — «за второй дверью принцесса»;
• 3) г — «за третьей дверыо принцесса».

Теперь, используя эти переменные, можно формализовать содержание каждой надписи:

Учитывая подсказку короля, мы знаем, что первая надпись истинна, только если за первой дверыо принцесса (р), вторая — если за второй дверью принцесса (q), а третья — если за третьей дверью принцесса (г).

Тем самым имеют место следующие эквивалентности:

• 1) р = (р z>-1 q);
• 2) q = (р = г);
• 3)

Построим совместную таблицу для этих трех формул. При этом немного изменим методику ее построения — каждую подформулу в составе сложных формул будем выписывать и «обсчитывать» отдельно (существует и такой вариант построения таблицы истинности):

По условию задачи, формулы 1—3 должны быть истинны (король сказал испытуемому правду — «подсказку»). В таблице видно, что они могут быть вместе истинными лишь в четвертой строке. Значит, в этой строке и надо искать ответ: р = 1, q = 0, г = 0. Другими словами, принцесса находится в первой комнате, а в остальных двух — тигры. Как уже ясно читателю, 1 — это истина, 0 — ложь.

Выполните упражнения 10—14 из Практикума.

Как габровцы вместе пили Собрал как-то председатель габровского сельсовета «партсобрание». «Вот не любят нас люди, высмеивают, очерняют, анекдоты сочиняют. А за что нас люди не любят? А не любят нас люди за нашу жадность. Все под себя копаем, все о себе думаем. Не компанейские мы!» Голос из зала: «Верно говоришь, председатель!» Тот продолжает: «Но отныне мы будем с этим безжалостно бороться!». Тот же голос: «И каким образом?» — «А вот как. Каждую субботу после бани мы будем нить вместе!» — «Эка, так у тебя, председатель, ничего не выйдет. Мы и так можем каждый свое выпить!» — «Э пет, братцы. Теперь мы и пить будем по-новому. Каждый принесет с собой рюмку, мы выльем их все вместе в один большой чан и будем потом пить сообща уже из него. Усекли идею?» Все захлопали. «Во как наш председатель здорово придумал! Голова!» В общем, на том порешили и разошлись.

Приходит Вано домой и грустным голосом рассказывает об «инициативе» председателя своей Маришке. Та ему и отвечает: «Эх, садовая твоя голова. Вот скажи мне, у нас в деревне мужиков много?» — «Много, жена». — «Ну так что же? Тебе что, больше всех надо? Возьмешь в субботу в рюмке вместо водки воду. По цвету их не отличить, а когда все выльют в одну большую кастрюлю, там потом никто и нс разберет, что кто-то воды налил. Понял, дурень?» Вано обрадовался как ребенок: «Понял, жена!».

Ну, в субботу все собираются у председателя с рюмками и торжественно выливают их в одну емкость. Председатель все размешивает, зачерпывает себе рюмку, выпивает, после чего уныло обводит мужиков глазами. «Вот за это, братцы, нас люди-то и не любят!».