Суммирование погрешностей. 
Метрология, стандартизация и сертификация

Определение расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам ее составляющих называется суммированием погрешностей.

Главной проблемой, возникающей при суммировании, является то, что все составляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины. С точки зрения теории вероятностей они наиболее полно могут быть описаны своими законами распределения, а их совместное действие — соответствующим многомерным распределением. Однако в такой постановке задача суммирования погрешностей практически неразрешима уже для нескольких составляющих, не говоря о нескольких десятках.

Практически приемлемый путь решения данной задачи суммирования погрешностей состоит в отказе от определения и использования многомерных функций распределения составляющих погрешности. Необходимо подобрать для характеристик составляющих такие числовые оценки (СКО, эксцесс и др.), оперируя с которыми можно было бы получить соответствующие числовые оценки результирующей погрешности. При этом следует учитывать, что:

• • отдельные составляющие погрешности могут быть коррелированны между собой;
• • при суммировании случайных величин их законы распределения существенно деформируются, т. е. форма закона суммы может резко отличаться от формы закона распределения составляющих. Наиболее просто задача суммирования решается, если удается организовать измерения так, чтобы погрешность результата полностью определялась систематической погрешностью в виде предельной погрешности СИ.

Этого можно достичь, например, минимизируя случайную погрешность большим числом измерений. Однако последнее не всегда можно реализовать практически из-за производственного характера измерений, большой их продолжительности или стоимости. Поэтому в общем случае следует предполагать наличие как систематической, так и случайной составляющих, и результирующая абсолютная погрешность будет равна сумме.

где Д_Сг и ° — сгруппированные суммы соответственно систематических и случайных составляющих.

При этом систематическая погрешность может суммироваться только с доверительным интервальным значением случайной погрешности д 1=^о₂, где ?_Е и а_Е — соответственно коэффициент Стыодента и СКО суммарной случайной погрешности.

Исходя из положений теории вероятностей, суммирование случайных погрешностей как случайных величин, производится по-разному в зависимости от степени взаимосвязи составляющих случайной суммарной погрешности. Если взаимосвязь между г-ми составляющими отсутствует, т. е. коэффициент корреляции р = 0, то используется геометрическое суммирование.

Если же эта связь имеется, то считают коэффициент корреляции р «±1 и используется арифметическое суммирование.

Вообще коррелированными являются такие погрешности, которые вызваны одной общей причиной (изменением температуры, напряжения в сети, вибрациями, магнитными полями и т. д.).

Коэффициент Стьюдента на уровне доверительной вероятности Р = 0,9 принимают равным ^ = 2 .

Если известны доверительные интервалы по каждой составляющей суммарной случайной погрешности А, то.

При оценке результирующей систематических погрешностей арифметическое их суммирование приводит к существенно завышенным результатам, поскольку предполагает проявление этих погрешностей их максимальными значениями и с одним знаком, что маловероятно. Этот способ оправдан в одном случае — когда важна гарантированная оценка «сверху». Поэтому, считая составляющие систематической погрешности взаимонезависимыми, можно пользоваться формулой геометрического суммирования, аналогичной (2.39). Учитывая, что систематические погрешности в известной мере определяются случайными причинами, в формулу типа (2.39) вводится поправочный коэффициент К_р, зависимый от доверительной вероятности Р:

где К_р выбирается из ряда значений, приведенного в формуле (2.10).

Формула (2.42) систематическую погрешность переводит в разряд случайных, осуществляя рандомизацию систематической составляющей. Сущность рандомизации состоит в следующем. Пусть, например, систематическая погрешность СИ изменяется от экземпляра к экземпляру. Вся совокупность (партия) СИ данного вида и класса характеризуется функцией плотности, СКО или интервалом, в котором с установленной вероятностью находится систематическая погрешность Д_си СИ. Поэтому при работе с данным СИ в силу отсутствия информации о погрешностях конкретного экземпляра используют распределения погрешностей для всей совокупности, т. е. фактически учитывают систематическую погрешность как случайную.

Это же относится к округлению результата, при считывании его, когда информация о величине и знаке погрешности округления тоже неизвестна.

Тогда если, например, систематическая погрешность измерения определяется тремя составляющими: погрешностями СИ, погрешностями метода и погрешностями округления результата, то.

где а_Си — СКО погрешности СИ; при известной предельной погрешности Д_пр СИ определяется как а_си = Л_1ф/3; а_окр — СКО погрешности округления результата; при известной цене деления С шкалы СИ определяется как ; ст_м — СКО погрешности метода измерения.

Практически все < 0,3а_тах (где ст_тах — максимальная величина из всех влияющих) отбрасываются. Это объясняется тем, что, исходя из геометрического сложения погрешности (2.39), «вклад» погрешности а, в общий результат быстро падает по мере уменьшения ст, Если выделены основная и дополнительная погрешности, то результирующая погрешность определяется по формуле (2.42).

Пример 2.12. При измерении электрических параметров ТС установлено, что общая погрешность результата определяется четырьмя составляющими: основной погрешностью СИ 8_СИ= ± 1% и дополнительными (от изменения напряжения питания сети 8_С= ± 0,5%, от изменения температурного режима 8, = ± 0,45% и от влияния (наводок) электрического поля 8″ = ± 1%).

Оценить общую погрешность измерения.

Решение. Принимаем Р = 0,9, по формуле (2.42) получим.

В пределах некоторого диапазона изменения, как правило, десятикратного, измеряемой величины изменение результирующей погрешности может быть с достаточной степенью точности представлено прямой линией или простейшей кривой (парабола, гипербола). Это дает возможность описать результирующую погрешность линейной или нелинейной двухзвенной формулой.

Пример 2.13. Основная допускаемая погрешность измерения сопротивления цифрового микропроцессорного измерителя иммитанса марки Е7−14 при различных диапазонах измерения и добротностях приведена в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Допускаемая погрешность измерения сопротивления.

При большем изменении измеряемой величины весь диапазон разбивается на участки, для которых и определяются крайние погрешности.

Для устранения влияния деформации формы законов распределения все суммируемые составляющие исходно представляются своими СКО и все операции расчетного суммирования проводятся только над ними. Учет взаимных корреляционных связей между суммируемыми составляющими производится путем использования различных правил суммирования для жестко и слабо коррелированных составляющих. Эти правила рассмотрены далее.

В результате суммирования СКО составляющих получаются средние квадратические отклонения соответственно аддитивной, мультипликативной или нелинейной составляющих результирующей погрешности. СКО аддитивной составляющей результирующей погрешности будет характеризовать результирующую погрешность в начале диапазона. Сумма СКО аддитивной и мультипликативной составляющих в конце диапазона описывает результирующую погрешность в конце диапазона. Если участков несколько, то суммирование проводится на всех участках, а затем принимается решение о методе описания результирующей погрешности.

Результирующую погрешность необходимо выразить в виде доверительного интервала. Его расчет по полученному СКО является с точки зрения теории самой трудной операцией при суммировании погрешностей. Это связано с тем, что доверительный интервал равен произведению рассчитанного СКО и множителя, зависящего от закона распределения результирующей погрешности. В то же время вся излагаемая методика с самого начала была нацелена на то, чтобы обойтись без точного определения результирующего закона распределения суммы всех составляющих.

Практические правила расчетного суммирования результирующей погрешности состоят в следующем.

• 1. Для определения суммарного значения СКО должны учитываться корреляционные связи различных составляющих погрешности. В связи с этим исходными данными для более точного расчета должны служить оценки именно всех отдельных составляющих погрешности, а не оценки некоторых суммарных погрешностей.
• 2. Для каждой составляющей должно быть найдено ее СКО. В большинстве случаев для этого необходимо знание или предположение о виде закона се распределения.
• 3. Все суммируемые погрешности разделяются на аддитивные и мультипликативные составляющие, которые суммируются отдельно.
• 4. Так как в большинстве случаев точное значение коэффициентов корреляции р найти невозможно, то все погрешности должны быть условно разделены:
  • • на сильно коррелированные при 0,7 < |р| < 1, для которых считают р = ± 1 в зависимости от знака коэффициента корреляции;
  • • слабо коррелированные при 0 < |р| < 0,7, для которых р = 0.
• 5. Из суммируемых составляющих выделяются группы сильно коррелированных между собой погрешностей и внутри этих групп производится алгебраическое суммирование их оценок.
• 6. После алгебраического суммирования групп сильно коррелированных погрешностей суммарные по группам и оставшиеся вне групп погрешности можно считать некоррелированными и складывать по правилу геометрического суммирования.

Для определения СКО суммарной погрешности при начальном значении измеряемой величины складывают лишь аддитивные составляющие, а для определения СКО погрешности в конце диапазона изменения измеряемой величины — все просуммированные выше составляющие.

7. Для перехода от СКО погрешности к доверительному значению должно быть вынесено суждение о форме закона распределения результирующей погрешности и тем самым выбрано значение квантильного множителя.

Изложенная методика может быть несколько упрощена. Самым сложным в ней являются нахождение СКО всех составляющих по известным их интервальным оценкам и определение интервальной оценки результирующей погрешности по полученному СКО.

В обоих случаях необходимо знание закона распределения погрешностей. Упрощение методики суммирования состоит в том, чтобы сделать эти переходы по возможности более простыми. Один из вариантов состоит в следующем. Согласно центральной предельной теореме, если число суммируемых независимых составляющих достаточно велико (практически при т > 5) и если среди этих составляющих нет существенно преобладающих над остальными, то результирующий закон распределения близок к нормальному. Однако предположение о близости закона распределения к нормальному без соответствующего анализа достаточно рискованно даже и при большом числе суммируемых составляющих. Тем не менее при недостатке времени и невысоких требованиях к точности получаемого результата предположение о нормальности закона распределения результирующей погрешности вполне возможно. В этом случае доверительный интервал, А = z_pS_lf где г_р — квантильный множитель, определяемый через функцию Лапласа; S_z — суммарное СКО или его оценка.

Такой прием существенно снижает трудоемкость расчетов, но может вносить весьма значительные ошибки, если реальное распределение сильно отличается от нормального закона. Например, при фактическом арксинусоидальном распределении ошибка может достигать 180% [69]. Поэтому использовать его надо весьма осмотрительно.

В качестве другого пути упрощения перехода от СКО результирующей погрешности к ее интервальной оценке следует указать возможность использования доверительной вероятности Р_д = 0,9, при которой для большой группы различных распределений имеет место соотношение.

Действительно, как показано в работе |69|, для широкого класса симметричных, высокоэнтропийных (k > 1,7) распределений, а именно для равномерного, треугольного, трапецеидального, нормального, экспоненциального с показателем степени, а > 2/3, двухмодальных с глубиной антимодальности менее 1,5. Интегральные кривые F (x) в области 0,05 и 0,95 квантилей пересекаются между собой в очень узком интервале значений X/S = = 1,6 ± 0,05. Поэтому с погрешностью 0,058 можно считать, что квантили 0,05 и 0,95 для любых из этих распределений могут быть найдены как Xq os = Х_п — 1,65 и Х₀₉₅ = Х_ц + 1,65, где Х_п — координата центра распределения; ST— его СКО. Отсюда следует, что значение доверительного интервала, найденное по формуле (2.43), для любого из названных распределений, является интервалом с 90%-ной доверительной вероятностью.

При Р_я > 0,9 интегральные кривые для разных законов распределения резко расходятся между собой. В этом случае для нахождения доверительного интервала, А = 2_р5₂ в работе [71] предложено вместо большого числа таблиц квантилей разнообразных распределений найти для близких классов распределений аппроксимирующие выражения г_р =/(е, Р), где е — эксцесс распределения.

Динамические погрешности являются дополнительными, обычно не суммируются с остальными, а просто ограничивают частотный диапазон предельной величины указанием соответствующего рабочего диапазона частот.

Изложенное позволяет сделать некоторые практические рекомендации при проведении измерений.

• 1. Во всех случаях расчетов считается, что погрешности измерения по абсолютной величине существенно меньше измеряемой величины.
• 2. При суммировании случайных погрешностей промежуточные значения коэффициента корреляции от 0 до 1 практически не учитываются, принимая либо наличие жесткой связи при р > 0,7, либо ее полное отсутствие при р < 0,7.
• 3. Случайные погрешности характеризуются следующими аксиомами:
  • а) малые по величине случайные погрешности встречаются чаще, чем большие;
  • б) отрицательные и положительные погрешности, равные по величине, встречаются одинаково часто;
  • в) для каждого метода изготовления изделия есть свой предел, за которым погрешности практически не встречаются.

Оценить случайные погрешности средним арифметическим, вследствие аксиомы (подп. «б»), не представляется возможным, так как оно стремится к нулю при увеличении числа погрешностей. Поэтому случайные погрешности оценивают через СКО а, или предельной погрешностью (Д_пр = ±За_г).

• 4. Погрешность несоответствия математической модели реальному объекту измерения не должна превышать 10% от заданной погрешности измерения. Поскольку погрешность результата определяется составляющей, имеющей наибольшую погрешность Д_тах, стремление уменьшить другие составляющие практически не имеет смысла. Следует стремиться уменьшить прежде всего Д_шах. Например, погрешность косвенного измерения, как правило, в 3−4 раза выше погрешности СИ. В этих условиях улучшение метрологических характеристик СИ не дает заметного снижения результирующей погрешности измерения — нужно изменить, например, методику измерений. Это обстоятельство частично объясняет наличие большого количества нестандартизированных СИ, когда их разработкой стараются от косвенных методов измерения перейти к прямым с помощью таких СИ.
• 5. Нестабильность измеряемого параметра в течение времени измерения не должна превышать 10% от заданной погрешности измерений. Строго говоря, измерять можно только постоянные величины. Если говорят об измерении переменных величин, то под этим понимают либо измерение постоянных параметров этих величин, либо их измерения в фиксированные моменты времени.

• 6. Для устранения влияния деформации законов распределения предпочтительным является суммирование составляющих через СКО.
• 7. Точность обработки числового материала должна быть согласована с точностью измерений. Вычисления с большим количеством десятичных знаков дают лишь ложное представление о повышении точности, требуя больших затрат времени. При округлении результата используют известные правила математики.

Следует пользоваться основным правилом: погрешность, получающаяся в результате вычислений, должна быть на порядок (в 10 раз) меньше суммарной погрешности измерений.

• 8. В зависимости от условий измерения, свойств объекта, оснастки, алгоритмов обработки информации погрешности измерения одного и того же параметра с помощью одних и тех же СИ могут отличаться в несколько раз. В целом, погрешности технических измерений определяются инструментальными и методическими составляющими. Доля методической составляющей для различных видов измерений достигает от 5 до 80%. При динамических измерениях этот разброс еще выше.
• 9. Все виды погрешностей измерений целесообразно свести в следующие две группы.

I. Методические, не зависящие от СИ (погрешности косвенного измерения; погрешности передачи размера из-за неправильного подключения (установки) СИ к объекту; погрешности из-за ограниченного числа точек измерений, например, при измерении полей; погрешности вычислительных операций).

II. Инструментальные, связанные с СИ (погрешности самих СИ; погрешности из-за взаимодействия СИ с объектом; погрешности из-за ограниченной разрешающей способности СИ).

При проведении измерений, как правило, известна лишь погрешность СИ. Поэтому выделение указанных двух групп позволяет:

• 1) оценить потенциальные возможности выбранного метода, выделяя основные методические составляющие из группы I;
• 2) определить ограничивающие факторы по группам I и II и при необходимости повысить точность измерений, принять решение об усовершенствовании методики или выборе более точного СИ;
• 3) оценить, какая часть погрешностей может увеличиваться со временем и при изменении внешних факторов, т. е. какая часть погрешностей и когда требует периодической аттестации;
• 4) рассчитать инструментальную составляющую до полной разработки методик выполнения измерений;
• 5) оценить все погрешности по группам I и И, а затем суммировать их по вышеприведенным правилам.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Сформулируйте основные постулаты метрологии.
• 2. Назовите основные виды измерений.
• 3. Назовите основные методы измерений.

• 4. Охарактеризуйте основные виды погрешностей измерений.
• 5. Какими методами корректируют (уточняют) результаты измерений?
• 6. Что такое качество измерений?
• 7. Дайте характеристику принципа обработки результатов различных видов измерений.
• 8. Что такое динамические измерения и их погрешности?
• 9. На чем основана теория расчетного суммирования погрешностей?
• 10. Расшифруйте понятия коррелированных и некоррелированных случайных величин. Что считается границей между этими случайными величинами при их суммировании?
• 11. Как суммируются случайные и систематические погрешности?