Методы выравнивания рядов динамики

Выявление общей тенденции развития, т. е. тренда, является одной из важнейших задач, решаемых с использованием рядов динамики. Решение этой задачи на основе непосредственного анализа ряда динамики, построенного по первичным статистическим данным, возможно лишь в тех редких случаях, когда случайные колебания уровней изучаемого показателя весьма незначительны, сезонные и циклические колебания либо отсутствуют, либо настолько устойчивы и заметны, что легко обнаруживаются, но при этом не скрывают тренда. В большинстве же случаев степень изменчивости показателя такова, что для выявления тренда необходимо производить предварительную обработку ряда. Выявление тренда в статистике называют также выравниванием (сглаживанием) ряда динамики, а методы выявления основной тенденции — методами выравнивания. Выравнивание можно осуществлять разными способами: методом укрупнения интервалов, сглаживанием методом скользящей средней или аналитическим выравниванием.

Метод укрупнения интервалов применяется лишь для интервальных рядов динамики и заключается в том, что временные интервалы первоначального ряда объединяются в более крупные равные между собой интервалы (месячные в квартальные, квартальные в годовые и т. д.). Значения уровней объединяемых интервалов первоначального ряда суммируются, порождая тем самым соответствующие уровни нового ряда.

Пример. Используя данные табл. 6.10 о количестве зарегистрированных в городе в 2014 г. краж из квартир, построить новый ряд динамики с квартальными интервалами.

Решение. Сложив значения уровней соответствующих месяцев, получим новый ряд, представленный в табл. 6.9.

Таблица 6.9

Количество краж из квартир за четыре квартала в 2014 г.

Метод скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых, но счету уровней, затем из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее — начиная с третьего и т. д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один уровень. Например, при интервале в три члена скользящая средняя вычисляется следующим образом:

В результате получается ряд динамики скользящих средних, который более отчетливо дает представление о тенденции в развитии изучаемого явления. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. Поэтому при сглаживании методом скользящей средней технически удобнее укрупненный интервал составлять из нечетного числа уровней ряда. В случае использования четного числа уровней необходима дополнительная процедура центрирования средних.

Замечание. Чаще всего интервал сглаживания состоит из трех, пяти или семи уровней.

При этом надо иметь в виду, что если интервал сглаживания состоит из d = 2т + 1 уровней, то первые и последние т уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Например, если d = 5, то т = 2, первые и последние уровни сгладить нельзя.

Конечно, потеря значений последних точек является существенным недостатком, так как при исследовании последние «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью. Поэтому существуют приемы, позволяющие восстановить потерянные значения ряда динамики.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение ряда динамики напоминает прямую. Если же для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней. При сглаживании по взвешенной скользящей средней на каждом участке выравнивание осуществляется по полиномам невысоких порядков. Как правило, используются полиномы второго и третьего порядка.

Поскольку в правовой статистике на практике для выравнивания ряда динамики пользуются программным продуктом, мы не будем здесь останавливаться на математических тонкостях метода скользящей средней.

В электронных таблицах MS Excel скользящая средняя расчитывается применением линейной фильтрации по заданному числу точек.

На рис. 6.3 представлена диаграмма с графиком числа осужденных и линейной фильтрацией за пять лет. Рекомендации по построению графика динамики: в диаграмме, отражающей ряд динамики, на оси х следует обозначать годы; вид диаграммы может быть как столбчатый, так и в виде графика; для построения диаграммы в исходных данных должны быть выбраны годы и значения показателя по годам.

Рис. 6.3. Динамика судимости в Российской Федерации в 1974—2014 гг.:

— всего осуждено;—линейная фильтрация по пяти точкам Рассчитать скользящую среднюю можно с использованием формулы: сумму уровней рядов разделить на их число.

Внимание! При протягивании формулы значения рассчитываются только до момента, пока в формуле участвуют реальные значения, т. е. формула не сместится за пределы статистической таблицы.

Рассмотрим метод скользящей средней на примере использования надстройки MS Excel, представляющей определенные возможности для проведения статистического анализа.

Пример. Представлены статистические данные о числе осужденных лиц по приговорам, вступившим в законную силу в 1974—2014 гг.:

Годы… 1974 1975 1976 1977 1978 1979.

Число осужденных у,… 579 642 581 035 599 652 525 984 557 564 590 538.

Годы… 1980 1981 1982 1983 1984 1985.

Число осужденных у₍… 645 544 682 506 747 865 809 147 863 194 837 310.

Годы… 1986 1987 1988 1989 1990 1991.

Число осужденных y_t… 797 286 580 074 427 039 436 988 537 643 593 823.

Годы… 1992 1993 1994 1995 1996 1997.

Число осужденных y_t… 661 392 792 410 924 754 1 035 807 1 111 097 1 013 431.

Годы… 1998 1999 2000 2001 2002 2003.

Число осужденных y_t… 1 071 051 1 223 255 1 183 631 1 244 211 859 318 773 920.

Годы… 2004 2005 2006 2007 2008 2009.

Число осужденных у_{… 793 934 878 893 909 921 929 025 925 166 892 360.

Годы… 2010 2011 2012 2013 2014.

Число осужденных y_t… 845 071 782 274 739 278 735 340 719 305.

Выравнять ряд динамики количества осужденных методом скользящей средней. Результаты отобразить на графике.

Решение. Для выравнивания ряда с помощью скользящей средней необходимо активизировать команду «Анализ данных» в меню «Сервис». Если данная команда отсутствует, нужно прежде всего установить в Microsoft Excel пакет анализа данных. Для этого в меню «Сервис» выбрать команду «Надстройки», установить селектор на опции «Пакет анализа» и нажать клавишу ОК.

После произведенных действий в Главном меню, в опции «Сервис» появляется команда «Анализ данных», которая и обеспечивает статистический анализ данных.

Для решения задачи необходимо создать в Excel таблицу, ввести данные и активизировать инструмент процедуры анализа данных — «Скользящее среднее» из меню «Сереис» опции «Анализ данных». При этом откроется диалоговое окно «Скользящее среднее», в котором следует указать диапазон исследуемых данных, выходной диапазон и число значений, необходимых для расчета.

Процесс задания указанных данных в окне диалога предполагает ввести следующее:

• 1) во входном диапазоне — ссылку на диапазон исследуемых данных, в данном случае на $В$ 2:$В$ 27. Обычно входной диапазон состоит из одного столбца или одной строки, которые содержат нс менее четырех ячеек с данными;
• 2) в выходном диапазоне — ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона, в данном случае на $С$ 2.

Если установлен флажок Стандартные погрешности, то выводится состоящий из двух столбцов диапазон, содержащий значения стандартных погрешностей в столбце. Если предшествующих данных недостаточно для построения прогноза, Microsoft Excel возвратит ошибочное значение # Н/Д.

Примечание. Выходной диапазон и исходные данные должны находиться на одном.

листе;

• 3) в блоке Интервал — число значений, необходимых для расчета скользящего среднего. По умолчанию число значений равно 3 (но трем значениям, т. е. в данном случае среднее число осужденных за три года);
• 4) в блоке Вывод графика установите флажок для автоматического создания встроенной диаграммы на листе, который содержит выходной диапазон;
• 5) в блоке Метки установите флажок, если первая строка или первый столбец входного интервала содержит заголовок. Если заголовки отсутствуют, флажок не устанавливается, а подходящие названия для данных выходного диапазона создаются автоматически.

После произведенных действий и нажатия клавиши ОК на листе выстраивается график.

Если необходимо ввести новые данные по оси X, выделяем ось X на графике, щелкая левой кнопкой мыши, входим в меню «Вставка"/"Новые данные». Откроется окно «Новые данные» (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Меню ввода новых данных.

Ввести в «Диапазон» исходные данные, которые нужно добавить, нажать кнопку О К. Появляется окно «Специальная вставка» (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Меню специальной вставки.

Поставим флажок в поле «Категории» и поле «Заменить существующие категории», ОК. Произойдет автоматическая замена значений по оси X на годы.

Заменим названия осей X и У, созданных Excel по умолчанию, щелкнув дважды по названиям оси Х_у вводим текст «Годы», по оси У — текст «Число осужденных» (рис. 6.6).

Другой возможностью выравнивания ряда динамики с использованием надстройки MS Excel является выбор «Добавить линию тренда» в меню «Диаграмма». В открывшемся окне выбрать «Линейная фильтрация» и произвести сглаживание ряда динамики по определенному числу точек.

Замечание. Ряд скользящей средней дает нам представление только о виде функции тренда f (t).

Рис. 6.6. График с преобразованными категориями.

Первые два метода дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, но получить обобщенную статистическую модель тренда в виде функции времени f (t) посредством этих методов нельзя. Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики. Сущность метода заключается в том, что математическая модель тренда представляется в виде некоторой функции времени y_t = fit), которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) динамику изучаемого явления и использование этой функции для вычисления теоретических (выравненных) значений рассматриваемого показателя как в пределах фактически наблюдаемого ряда, так и за его пределами. Плавную кривую, аппроксимирующую ряд динамики, принято называть кривой роста. Выбор формы такой кривой должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда скользящей средней. Чаще всего используются полиномиальные и экспоненциальные кривые роста. Параметры кривых роста оцениваются МНК, т. е. подбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений между расчетными (теоретическими) значениями y_t = / (I) и фактическими (наблюдаемыми) значениями у₍ уровней ряда динамики была наименьшей. Математически критерий оценки параметров модели записывается в виде:

На практике предпочтение, как правило, отдается простым моделям кривых роста, допускающим содержательную интерпретацию. Например, если явление развивается с относительно постоянными абсолютными приростами, то на практике чаще всего применяется линейная модель роста.

где а₀ и а_х — параметры уравнения, подлежащие оценке с помощью МНК; t — время.

Параметр «, определяет направление развития. Если а, > 0, то уровни ряда динамики равномерно возрастают, если а_х< 0 — происходит их равномерное снижение.

Если уровни ряда динамики изменяются с постоянными темпами прироста, то в качестве модели кривой роста берется парабола второго порядка.

Параметр а₂ характеризует постоянное изменения интенсивности развития (в единицу времени).

Для рядов динамики, которым присущи постоянные темпы роста, модель кривой роста отображается показательной функцией.

где — темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т. е. интенсивность развития.

Применяются и другие модели кривых роста.

Аналитическое выравнивание ряда динамики дает возможность на основе полученной модели кривой роста вычислять теоретические значения уровней для периодов времени, относящихся к будущему. Продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, носит название прогнозирования (от греч. prognosis — предвидение, предсказание). Формально задача прогнозирования сводится к получению оценок значений ряда для некоторого периода в будущем. Основой прогнозирования является предположение о сохранении закономерностей прошлого развития анализируемого ряда динамики на период прогнозирования.

Грубый прогноз можно получить на основе средних показателей ряда. При прогнозировании на базе ряда динамики с постоянным абсолютным приростом применяется приближенная формула.

где y_n+k — прогнозируемый уровень ряда; у_п — фактическое значение последнего уровня ряда динамики; Ау — средний абсолютный прирост; k — срок прогноза (период упреждения).

При прогнозировании на базе ряда динамики с постоянными темпами роста применяется следующая приближенная формула:

где Т — средний коэффициент роста ряда динамики.

Пример. Имеются сведения о выявленных в субъекте РФ фактах самовольного занятия гражданами земельных участков, использования их без правоустанавливающих документов за период с 2010 но 2014 г.:

Годы… 2010 2011 2012 2013 2014.

Количество выявленных нарушений… 452 460 170 479 487.

Требуется построить на основе указанных данных грубый прогноз, но изучаемому показателю на 2015 г.

Решение. Учитывая, что цепные темпы роста числа выявленных нарушений за указанный период мало отличаются друг от друга, мы можем для решения поставленной задачи применить приближенную формулу грубого прогноза на основе среднего абсолютного прироста, который для нашего примера равен:

).

Тогда, принимая во внимание, что срок прогноза по условию задачи равен одному году, получим.

Таким образом, прогнозируемое на 2015 г. количество выявленных в субъекте РФ фактов самовольного занятия гражданами земельных участков составляет 496.

Более точные прогнозы можно получать с помощью моделей кривых роста. Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста требует привлечения большого числа математических понятий, выходящих за рамки данной книги.