Свойства двумерной функции распределения

1. Функция распределения F (x, y) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, то есть

Это утверждение базируется на том, что интегральная функция распределения двумерной СВ есть вероятность.

2. Функция распределения F (x, y) есть неубывающая функция, по каждому из аргументов:

Так как при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рис. 5.1 увеличивается, то вероятность попадания случайной точки в эту область, по крайней мере, уменьшиться не может.

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в -оо, функция распределения F{x, y) равна нулю:

Функция распределения F{x, y) в данных случаях равна нулю, так как события X < -оо, Y < -оо и их произведение представляют невозможные события.

4. Если один из аргументов равен +оо, двумерная функция распределения F (x, y) становится равной одномерной функции распределения от другого аргумента:

где F (x) = P (X < x), F₂(y) = P (Y < у). Очевидность данного свойства.

• (5.6) вытекает из того, что произведение события (X <�х) и достоверного события (Y < +оо) есть само событие (X < х), аналогично можно показать и для (Y < у).
• 5. Если оба аргумента равны +со, то функция распределения F{x, y) равна единице:

Эго свойство обусловлено тем фактом, что совместная реализация двух достоверных событий (X < +оо) и (Y < +оо) есть событие достоверное, а вероятность достоверного события равна единице.

Рассмотрим вероятность попадания двумерной СВ в некоторый прямоугольник S (рис. 5.2). Вероятность попадания случайной точки в указанный прямоугольник можно записать:

Рис. 5.2. Вероятность попадания в прямоугольник

Зная функцию распределения F (x, y), выразим искомую вероятность. Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной В (х₂, у₂) минус вероятность попадания в квадранты с вершинами A (x_v у₂) и С{х₂, у) плюс вероятность попадания в квадрант D{x^, y^) (так как эта вероятность вычиталась дважды). Окончательно получим: