Линейные уравнения. 
Дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида: (1),.

где — неизвестная функция аргумента.

Уравнение (1) линейно относительно и .

Если, то уравнение (1) примет вид: (2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.

Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).

А. Интегрирование линейного однородного уравнения Рассмотрим линейное однородное уравнение.

(2).

Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть, тогда.

. (3).

Отсюда общий интеграл.

или.

заменяем на.

Но есть любое число, кроме нуля. Положим .

— произвольная постоянная (4). Это общее решение не содержит функции, которая является решением уравнения (2). Для того чтобы общее решение содержало бы все решения, его надо записать в виде:

(5),.

где С — произвольная постоянная, принимающая любые значения.

Пример. Написать общее решение уравнения .

Решение. Имеем. Поэтому.

(произвольную постоянную можно считать = 0). И.

— общее решение.

В. Интегрирование линейного неоднородного уравнения Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (1).

Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим.

Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция — новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное по (6), в (1).

или .

Отсюда.

Следовательно,. (7).

Это и есть общее решение уравнения (1). Оно содержит все решения. Особых решений нет.

Рассмотрим вопрос об отношении частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию.

. (8).

. (9).

Замечания:

Формулу (9) можно записать короче, если ввести под интеграл:

Если в формуле (10) считать произвольной постоянной (при этом значение безразлично какое), то формула (10) определит общее решение уравнения (1).

Запоминать формулу (10) не следует. Надо помнить способ получения формулы (7).

Примеры:

Найти общее решение уравнения.

Решение. Здесь.

.

Вычислим.

(С можно положить = 0).

Положим.

.

Так как, то .

Подставляем в уравнение .

Отсюда .

Следовательно, общее решение будет.

Найти решение уравнения, удовлетворяющее условию .

Решение.

Здесь .

Общее решение .

Найдем из начального условия: .

Частным решением, удовлетворяющим условию, будет.

.

Теорема. (о структуре решения линейного неоднородного уравнения) Общее решение линейного неоднородного уравнения состоит из суммы: какого-либо частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.