Начальные условия. 
Основы теории цепей

Значения токов через индуктивности ^(0+) и напряжении на конденсаторах и_с(0+) в момент времени t = 0+ (т.е. сразу после коммутации) называют независимыми начальными условиями. Они остаются такими же, какими они были до коммутации.

Начальные значения токов и напряжений на других элементах при t = 0_ называют зависимыми начальными условиями. Для их определения используют независимые начальные условия и системы уравнений, составленные по первому и второму закону Кирхгофа.

Пример 5.1. Короткое замыкание цени RL

Чтобы определить ток i_L во время переходного процесса, составим уравнение цепи (рис. 5.1), получившейся после коммутации:

и решим его классическим методом. Для этого сначала определим начальные условия ifX0+), которые в данном случае являются независимыми и могут быть определены, но схеме, имевшейся до коммутации в установившемся режиме.

После этого определим принужденную составляющую тока по уравнению.

di

(5.3) (в установившемся режиме, когда производная — = 0), тогда из уравне;

dt

Рис. 5.1. Схема электрической цени к примеру 5.1

ния (5.3) i_npRi, = 0 или г'_пр = 0. Решение уравнения (5.3) в соответствии с классическим методом имеет вид.

Корень характеристического ураинения определим, приравняв операторное сопротивление цепи нулю. Для этого определим комплексное сопротивление цепи Z (ja>, получившейся после коммутации, и заменим в нем усо на р:

R.

Корень характеристического уравнения р =

Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия. При t = 0_Ч

Таким образом, уравнение для переходного тока имеет вид

На рис. 5.2 приведен график переходного процесса в рассматриваемой цепи. Полученную кривую называют экспонентой. Она обладает рядом свойств, которые могут быть использованы для построения графика. Величи- 1 L

на т = —; = —, которая называется постоянной времени, является значимой Р К

характеристикой экспоненты. За время, равное т, экспоненциатьная функция уменьшается в е = 2,73 раза. Это используется для графического построения. Отложим на оси абсцисс отрезки, равные т, 2 т, Зт, над ними по оси ординат отложим значения тока, уменьшенные сначала в е раз, затем полученную ординату снова уменьшим в е раз и т. д. За время, равное 4 т, переходный процесс практически завершится. Другим свойством экспоненты является то, что подкасательная к ней в любой точке экспоненты равна постоянной времени т.

Рис. 5.2. График переходного процесса в цепи RL.

Пример 5.2. Подключение цени RL под постоянное напряжение

Дифференциальное уравнение цепи (рис. 5.3) после коммутации имеет вид.

Ток до коммутации был равен нулю, и по первому закону коммутации он останется неизменным сразу после коммутации, т. е. /(0.) = г (0_) = 0.

Рис. 53. Схема электрической цепи к примеру 5.2

Решение дифференциального уравнения имеет вид.

Е.

где г_пр = — — ток, который установится после завершения переходного про- К

цссса; р — корень характеристического уравнения.

Для определения постоянной интегрирования используем начальные ус;

Е

ловия. При t = 0+ г (0+) = 0, и в уравнении (5.4) г (0) = 0 = — + Ле°, откуда.

R

Е

А = Таким образом,.

Для построения графика переходного тока на рис. 5.4 строим сначала график принужденной составляющей, затем — график свободной составляющей тока, а затем их суммируем. Напряжение на индуктивном элементе определим, дифференцируя уравнение тока.

Рис. 5.4. Графики переходных процессов в цепи RL:

а — зависимость /(?); б — зависимость u_L(t)

Пример 5.3. Разрыв цепи, содержащей индуктивность Дифференциальное уравнение цепи (рис. 5.5), получившееся после коммутации, имеет вид.

Рис. 5.5. Схема электрической цепи к примеру 5.3.

Для определения начальных условий учтем, что ток через индуктивность.

' Е

до коммутации был равен i (0_) = —, и по закону коммутации он останется та;

R

Е

ким же сразу после коммутации, т. е. i (0+) = г (0_) = —. Решение уравнения.

R

(5.5) имеет вид.

R + R_v где i_lip = 0, p = ——.

Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия.

Е Е

При t = 0+ /(0) = - = /_пр(0₊) + г’а.(0+) = 0 + Ае°, откуда А =

Итак,.

Напряжение на зажимах вольтметра, имеющего обычно во много раз большее сопротивление, чем сопротивление цепи RL, резко увеличивается в первый момент времени:

R_v

т.е. при t = 0+ к вольтметру будет приложено напряжение в — раз больше,.

R

чем напряжение источника Е, и он может выйти из строя. Это же напряжение будет приложено к обмотке, где может произойти пробой изоляции. Это же напряжение будет приложено к ключу, и там возникнут пробой воздушного промежутка и искра, а при большой индуктивности будет гореть дуга до тех пор, пока запасенная в магнитном поле катушки индуктивности магнитная энергия не преобразуется в тепло в сопротивлении R и в дуге.

Чтобы исключить повышение напряжения на индуктивности при разрыве цепи, параллельно цени RL включают диод. Диод включают таким образом, чтобы при замкнутом ключе ток через него не проходил (включить встречно), но при размыкании ключа ток цепи RL мог замкнуться через диод.

Пример 5.4. Подключение цени RC под ноетоянное напряжение Уравнение напряжений для цени (рис. 5.6), получившейся после коммутации, имеет вид iR + Uq = Е.

Рис. 5.6. Схема электрической цепи к примеру 5.4

Так как.

то.

Начальные условия в цепи нулевые, т. е.

Решение дифференциального уравнения (5.6) имеет вид.

где ис_пр = Е — принужденная составляющая, т. е. напряжение на конденсаторе после завершения переходного процесса. Характеристическое уравнение.

получим методом входного сопротивления Z (j>) = 0 = R + —, откуда р = 1 /RC.

рС

Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия. При t = 0+ М (Ч0+) = 0 = м_(|||>(0+) + ц_Сп1(0₊) = Ле°, откуда А = -Е.

Итак,.

Переходный ток.

Графики переходного тока и напряжения на конденсаторе представлены на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Графики в переходных процессов в цепи RC:

а — зависимость г (Г); б — зависимость u₍{t)

Пример 5.5. Включение цени RC иод переменное напряжение Дифференциальное уравнение и начальные условия цени аналогичны уравнению (5.6).

Аналогично предыдущему определяется и корень характеристического уравнения.

Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе и_С[1р, т. е. то напряжение, которое установится после завершения переходного процесса, рассчитывается сначала в комплексной форме:

где.

а затем записывается его мгновенное значение.

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид.

Постоянная интегрирования определяется при использовании начальны условий. При t = 0+.

Отсюда, А = -Uc_ms 0.

Таким образом, переходное напряжение па конденсаторе имеет ви, (рис. 5.8, а)

На рис. 5.8, б видно, что напряжение на конденсаторе «с (0 ¹¹⁰ время переходного режима может превысить амплитуду напряжения на конденсаторе при установившемся режиме Uq», но не более чем в 2 раза. Наибольшее пре;

п п

вышение может быть, когда угол 0 = у + <�р — — = — или когда начальная фаза напряжения сети |/ (определяемая моментом включения рубильника) равна углу сдвига фаз (р между напряжением и током при установившемся режи;

Рис. 5.8. Схемы электрической цепи к примеру 5.5:

а — цепь RC; б — график м^(Г); в — схема линии электропередачи ме, т. е. vp = ф. При 0 = vp + ф — — = 0 свободная составляющая напряжения равна нулю, и в цепи сразу наступает установившийся режим.

Переходный ток в цепи равен.

Полученное выражение для тока объясняет возникновение больших толчков тока при включении ненагруженной линии электропередачи, имеющей схему замещения, представленную на рис. 5.8, в.

При включении цепи RL под синусоидальное напряжение уравнение и график переходного тока будут аналогичны уравнению и графику напряжения на конденсаторе:

где Z = sJr² +(юА)², т = —. При этом, как и в рассмотренном случае, ток i (C) во R

время переходного режима может превысить амплитуду i_m установившегося тока после завершения переходного режима, но не более чем в 2 раза. Наиболь;

п

шее превышение может оыть, когда угол + (р = —. Аналогично, при |/ + ср = О свободная составляющая тока равна нулю, и в цепи сразу наступает установившейся режим.

Пример 5.6. Разряд конденсатора на цепь RL

Дифференциальное уравнение цепи (рис. 5.9) имеет вид.

du_c d²u_c du_c

так как i = С——, то LC—. ₀ + RC-— + и_с = 0. dt dt² dt

Начальные условия udO-) = «с (0+) ⁼ Uq, (0_) — г (0+) = 0. Характеристическое уравнение составим методом входного сопротивления:

Рис. 5.9. Схема электрической цепи к примеру 5.6.

Корни характеристического уравнения

могут быть трех видов в зависимости от значения подкоренного выражения.

(R V 1.

А. Апериодический разряд конденсатора происходит при ——— > О,.

LC

т.с. при R > R_Kр, где R_Kp = 2^ — критическое сопротивление. При этом корни р и р> различны и.

Учитывая начальные условия, определим постоянные интегрирования Aj и Л₂. При t = 0+

Отсюда.

Таким образом,.

таккакр!р₂ = —.

По этим уравнениям построены графики на рис. 5.10.

Отметим, что кривая U/(t) пересекает ось абсцисс в точке, где ток i (t) до;

di

стигает максимума. При этом u_L(t) = L— = 0.

dt

Рис. 5.10. Графики переходных процессов в цени RLC:

а — график Uc (t); б — графики /'(f) и u_L(t)

(R V 1.

Б. Колебательный разряд конденсатора происходит при — < —, т.с.

у Ll/.

при R < R_Kр = При этом корни характеристического уравнения — комплексные сопряженные:

где 5 = —; со = -ч/сог, — 8²; со^ - —.

2L ^{v 0 0} LC

Переходное напряжение на конденсаторе.

а ток.

Используя начальные условия, определим А и vp. При t = 0+.

Решая совместно полученные уравнения, определим.

СО ().

Таким образом, u_c(t) = Uq—е ^f>'sin (o)f + у),.

со

Puc. 5.11. График затухающих колебаний На рис. 5.11 представлены графики затухающих колебаний i (t), udt), построенные по полученным выше уравнениям. Быстроту затухания таких колебаний характеризуют отношением двух последующих амплитуд, которое называют декрементом колебаний.

Часто используют и другую величину, называемую логарифмическим де;

udt)

крементом колебаний Д = In- = бТ.

^uc (t + Т)

В. Предельный случай апериодического разряда происходит при.

m² 1 [z

— = —, т.с. при R = R_Kр = 2 /—и кратных корнях характеристического.

LC V С

уравнения. В этом случае определяют свободную составляющую напряжения на конденсаторе по уравнению.

dur.

При _это" ток m — С— - С (Л_{г +} рЛ, Т рл.пе" .

При t = 0+.

Отсюда.

Графики этих величин по форме не отличаются от приведенных на рис. 5.10.

Пример 5.7. Включение цени RLC под постоянное напряжение

Дифференциальное уравнение цепи имеет вид.

Начальные условия: г/_с(0₊) ⁼ 0. *(0+) ⁼ 0.

Принужденные составляющие: Uc = E, i = 0.

Характеристическое уравнение:

Корни этого уравнения, как и в предыдущем случае, могут быть трех видов: различные, кратные и комплексные. В соответствии с этим рассмотрим три режима.

1. Апериодический процесс происходит при R > R_Kp = (когда корни различные). При этом.

На рис. 5.12, а представлены графики, построенные по этим уравнениям.

2. Предельный случай апериодического процесса (критический) происходит при R = R_Kp = (когда корни кратные). При этом.

Используя начальные условия и₍{0.) = 0, /(О-) = 0, определяем Л, и А₂: Графики этих уравнений аналогичны графикам на рис. 5.12, а.

Рис. 5.12. Графики переходных процессов при подключении цепи RLC под постоянное напряжение:

а — при апериодическом процессе; б — при затухающих колебаниях.

3. Затухающие колебания происходят при R < R_Kp = 2.1— (когда корни комплексные). При этом.

Используя начальные условия Ис (0+) = О, i (0+) = 0, определяем А и ц/. При этом.

На рис. 5.12, б представлены графики, построенные, но этим уравнениям. Отметим, что напряжение па конденсаторе во время переходного процесса может превысить напряжение источника, но не более чем в два раза.