Функция расходов потребителя

Функция Хиксианского спроса показывает оптимальные объемы товаров, которые приобретает индивид при разных ценах и различных целевых уровнях полезности. Если теперь в первоначальной линии расходов потребителя мы заменим произвольные объемы покупок оптимальными, то получим функцию расходов, которая характеризует динамику минимальных расходов индивида.

Функция расходов потребителя показывает уровень расходов, минимально необходимый в имеющейся ценовой ситуации для достижения заданного уровня полезности, представляя собой тем самым функцию минимальных значений расходов от параметров (P, U):

Можно найти функции расходов для наиболее интересных видов предпочтений потребителя.

1. Функция расходов для стандартных предпочтений вида Кобба — Дугласа.

Например, если предпочтения Кобба — Дугласа описываются функцией: U (X, У) = X^1/5Y^1/S, то функция расходов в этом случае имеет вид.

2. Функция расходов для квазилинейных предпочтений при внутреннем оптимуме примет вид.

Например, если квазилинейные предпочтения описываются функцией U (X, Y) = lnX + Y, то функция расходов будет равна.

В случае углового оптимума функция расходов примет вид: E (U, Р_у) = = P_yY* = P_YU, если предпочтения линейны по товару Y. Если предпочтения линейны по товару X, то по аналогии функция расходов будет: E (U, Р_х) =

= р_хг = р_хи.

3. Для товаров-субститутов возможны следующие варианты функции расходов.

При оптимальном выборе приобретения только товара X функция рас;

Р

ходов примет вид: E (U, P_X) = U—.

а

При оптимальном выборе покупки только товара Y функция расходов будет: E (U, P_Y) = U% о В общем виде получаем следующую функцию расходов для товаров-субститутов.

4. Подставив полученные ранее функции Хиксианского спроса в целевую функцию (Е = Р_хХ + P_yY), получим функцию расходов для товаровкомплементов.

Рассмотрим свойства функции расходов потребителя Е (_р, U).

1. Функция расходов выпукла вверх по отношению к переменной цен. Докажем это свойство.

Пусть Р, и Р₂ — векторы цен на рынке.

Возьмем вектор цен Р = к Р₁ + (1 — к)Р_г, где 0 < к < 1.

Предположим, что Х_л и Х₂ — товарные наборы, соответствующие минимуму расходов потребителя для достижения определенного (одного и того же) уровня полезности при ценах Р₁ и Р₂, а набор X — оптимальный выбор при ценах Р.

Тогда, по определению функции расходов, верны следующие неравенства:

Функция расходов представляет собой минимальную стоимость потребительского набора, все другие наборы не могут быть ниже по расходам. Умножим первое неравенство на к, а второе — на (1 — к), тогда.

Так как к — неотрицательное число, знак неравенств сохранится. Сложим правые и левые части неравенств.

Вынесем за скобки общий член.

Выражение в квадратных скобках слева равно Р. Запишем итоговое неравенство

А это и есть определение выпуклости (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Выпуклость функции расходов по переменной цен.

Вопрос для размышления

Докажите, что выпуклость функции расходов по отношению к переменной цен является следствием выпуклости функции полезности.

dE{P, U).

2. Функция расходов является неубывающей по цене товара: —гг— ^ 0.

дЕ (Р U).

Если X_i > 0,——- > 0. Если хотя бы один товар покупается индиви;

8Pi

дом, то функция расходов является возрастающей хотя бы по цене этого товара. Расходы для достижения первоначального уровня полезности возрастают при увеличении цены хотя бы одного продукта из потребительского набора.

3. Функция расходов однородна первой степени.

Пусть все цены увеличились в к раз. Общий рост цен в одинаковое число раз не изменяет относительных цен, которые и являются детерминантом потребительского выбора. Поэтому тот же набор и в тех же объемах удовлетворяет минимальным расходам для получения первоначального уровня полезности.

Если Е° = Е (Р°, U^a) = Р° ? X" (все переменные — векторы), то.

4. Функция расходов является возрастающей по переменной уровня полезности U.

При данных ценах для достижения более высокого уровня полезности.

5Е

потребуется больше расходов: —> 0. Мы можем найти это выражение: дЕ 1 ^

— = к₂ = —, где А_₂ — множитель Лагранжа в двойственной задаче, показывающий предельные расходы на единицу полезности; Х,_х — множитель Лагранжа в прямой задаче оптимального выбора потребителя (максимизации полезности при бюджетном ограничении).

Следующие два свойства настолько важны, что необходимо выделить их в отдельные параграфы.