Квазилинейные предпочтения. 
Микроэкономика

Добавляя некоторую часть второго (нелинейного) товара, оставляя при этом количество первого (линейного) товара неизменным, потребитель переходит на более высокую кривую безразличия, форма которой совпадает с формой предыдущей кривой.

В предыдущем параграфе было показано, что при решении задачи оптимизации потребительского выбора получается равенство V’CX,) = (Pj/P₂). Преобразовав его, можно построить обратную функцию спроса для первого блага. Следует отметить, что в соответствии с полученным результатом приобретаемый объем первого блага будет зависеть только от отношения цен, доход в данном случае не оказывает влияния.

Однако данное обстоятельство не дает возможности определить косвенную функцию полезности для квазилинейных предпочтений в общем виде, так как нельзя явно выделить оптимальное количество первого товара из функции V (Xj) или ее первой производной. Поэтому рассмотрим частный случай, когда предпочтения описываются функцией полезности.

Для нее с учетом сказанного выше можно записать следующую систему условий первого порядка.

Выделим из первого уравнения Х_г и подставим его во второе уравнение.

Косвенная функция полезности будет иметь следующий вид: следовательно,.

Эта формула описывает случай внутреннего равновесия.

Теперь рассмотрим случай краевого выбора потребителя, когда значение производной всегда меньше отношения цен.

По определению,.

В этом случае будет приобретаться только второй товар и косвенная функция полезности выражается следующим образом:

Необходимо отметить, что квазилинейные предпочтения могут быть линейно зависимы как от одного блага, так и от другого. Формально это обстоятельство не изменяет результатов нашего анализа, так как если соблюдается линейная зависимость по благу X_v а не поХ₂, можно просто поменять местами эти блага в исходных условиях. При этом в полученной косвенной функции полезности изменятся только индексы: «1» поменяется на «2», и наоборот.

Аналогичным образом можно найти косвенные функции полезности для всех видов предпочтений.

ШПАРГАЛКА.

Наиболее важные косвенные функции полезности в мире двух товаров

1. Для стандартных предпочтений вида U = X^й ?Х¹'

2. Для совершенных субститутов.

3. Для взаимодополняемых товаров.

4. Для квазилинейных предпочтений.

Задача, иллюстрирующая теорию.

n

Функция полезности некоторой страны равна U = ^a_f lnx. Эта страна собира;

1=1.

ется вступить в Европейское сообщество (ЕС). В результате этого цена на молоко (У) увеличится в восемь раз по сравнению с ценой, которая была до вступления в ЕС. Однако цена на вино (X) упадет на 50 ден. ед. за литр. Экономисты утверждают, что жители данной страны тратят в три раза больше денег на вино, чем на молоко. Как вы считаете, в интересах ли страны вступление в ЕС?

Решение

Пусть Л — ситуация до вступления в ЕС; В — ситуация после вступления. Рассмотрим ситуацию А.

Для типичного потребителя данной страны выведем бюджетное ограничение.

Второе соотношение получается из условий задачи (жители тратят в три раза больше денег на вино, чем на молоко).

Решая эту систему, получаем Маршаллианские функции спроса.

Условие оптимального выбора потребителя удовлетворяет эквимаржинальному принципу.

На основе исходной функции полезности U = alnX + pin7 получаем Подставляя найденные значения Маршаллианских функций спроса X и Y, находим.

Таким образом, можем найти значение косвенной функции полезности в точке оптимума.

или в преобразованном виде косвенная функция полезности до вступления в ЕС равна.

Рассмотрим ситуацию В.

Будем считать, что предпочтения потребителей не изменились, т. е. соотношение Р = За выполняется и в данной ситуации. Также примем, что доходы потребителей / не изменились. В этом случае мы можем использовать старый вид косвенной функции полезности, но с новыми ценами. А новые цены можно заменить через их эквивалент в старых ценах (согласно условию). Тогда косвенная функция полезности примет вид.

Теперь выясним, что произошло со значением функции полезности в результате такого изменения. Вычитая одно значение из другого, получаем.

Выполнение неравенства будет означать невыгодность вступления в ЕС. Решая неравенство, получаем.

оно будет выполняться при значении аргумента логарифма больше единицы:

откуда Р_у > 100.

Таким образом, в ЕС выгодно вступать при цене на вино (на текущий момент), меньшей 100 ден. ед. (P_Y <100). И наоборот, при ценах на вино, выше указанной величины, в ЕС вступать невыгодно.