Колебания и волны

Понятия колебания, волны. Параметры, характеризующие колебательное волновое движение

В общем случае колебания можно определить как периодические изменения материи особой формы. Например, звуковые колебания можно определить как периодические изменения плотности воздуха; электромагнитные колебания — как периодические изменения напряженности электрического поля и напряженности магнитного поля.

Волна — это колебательное движение материи в физической среде либо в вакууме, а также распространение этого движения.

Любая волна характеризуется двумя основными характеристиками: амплитудой и длиной (рис. 1.1). Амплитуда А (иначе — размах волны) — расстояние между максимумом и минимумом волны (иначе — между гребнем и впадиной)^[1]. В условиях микромира измеряется в относительных единицах.

Длина волны X — расстояние между двумя ее соседними гребнями или, то же самое, расстояние между двумя ее соседними впадинами^[2]. Измеряется в метрах или в единицах, кратных метру.

На практике используют и другую характеристику — частоту.

На рис. 1.1 ось t условно делит идеальную синусоидальную волну пополам. Время, за которое проходит материя расстояние между точками, а и b (точками пересечения волны с осью t), назовем периодом волны Т. Он соответствует времени полного колебания, т. е. период колебания — промежуток времени, необходимый для совершения полного колебания^[3]. Размерность периода колебаний — секунды ©.

Однако полное колебание может произойти в течение одного часа, а может — в течение одной минуты. Период колебания, произошедший в течение единицы времени, называют частотой. За единицу частоты принимают одно колебание в секунду и измеряют в герцах:

Рис. 1.1. Простая синусоидальная волна:

А — амплитуда; X — длина волны Для характеристики колебаний применяют более крупные единицы измерения, кратные одному герцу.

Частота v колебаний тела связана с длиной испускаемой волны X соотношением (справедливо для распространения волн в вакууме):

где с_ь — скорость распространения лучистой энергии в вакууме (2,998−10⁸ м/с); v — частота, Гц; X — длина волны, м.

Отсюда.

В случае распространения волн в иной среде, кроме вакуума, скорость распространения энергии с_ср определяется по формуле.

где п — показатель преломления лучистой энергии средой^[4][5].

Иногда вместо частоты пользуются параметром, называемым волновое число и обозначаемым V*. Оно является обратной величиной длины волны в вакууме и выражается в обратных сантиметрах (см-¹) — Физический смысл волнового числа — сколько раз определенная длина волны укладывается в 1 см:

Удобство использования волновых чисел объясняется, во-первых, тем, что они пропорциональны энергии квантов излучения.

Действительно,.

где Е — энергия квантов излучения, Дж; h — постоянная Планка (h = = 6,6262−10^-34 Дж-с = 4,136-Ю-¹⁵ эВ-с)¹.

Отсюда,.

Поскольку l/hc_b = const, v* = const-E.

Во-вторых, значения волновых чисел для некоторых диапазонов излучения оказываются меньшими значений частот, что наглядно показано на рис. 1.7.

Волновое колебание характеризуется фазой. Фаза — это состояние колеблющейся частицы по отношению к положению равновесия^[6][7]. Фаза колебаний измеряется в радианах (рад). Фаза колебаний в начальный момент времени называется нулевой фазой и обозначается ф₀. На графике удобно определять фазу отсчетом от условной нулевой точки на оси f.

Колебательный процесс на рис. 1.1 описывается уравнением.

где х — смещение тела от положения равновесия, отображаемого на рис. 1.1 осью t; А — амплитуда колебаний, иначе, модуль максимального смещения тела от положения равновесия^[8]; t — время; ср₀ — нулевая (начальная) фаза; ш — круговая частота колебаний^[9], определяемая по формуле.

где Т — период колебаний.

ГОСТ 7601–78 определяет круговую частоту как произведение частоты колебаний на 2л. Действительно, из формулы (1.1) Т = 1/v, поэтому оз = 2л/Т.

Если колебательный процесс отвечает приведенному выше уравнению, то такое колебание называется гармоническим.

На рис. 1.2 два колебания сдвинуты относительно друг друга на 90° или п/2.

Рис. 1.2. Две синусоидальные волны с одинаковыми периодом и амплитудой, но разными фазами

Если две (или более) волны имеют одинаковую фазу, то их называют синфазными. Если, к тому же, волны имеют одинаковые амплитуду и период, то их называют когерентными^[10]. При сложении двух волн, имеющих одинаковые амплитуду, период и фазу (когерентных), амплитуда суммарной волны увеличивается вдвое (рис. 1.3^[11]). Это нетрудно доказать:

Поскольку tj = t₂ = t, а ср₀₁ = ф₀₂ = ф₀, то х_х = 2А • [cos (cojt + ф₀) + + cos (co₂t + ф₀)]. Учитывая формулу приведения тригонометрических функций.

получаем.

Для синфазных и, тем более, когерентных волн разность фаз отсутствует, поэтому ф₀ = 0.

При coj = со₂ второй сомножитель — 005(1(0)! — со₂)] /2 = cos 0 = +1, т. е. амплитуда суммарной волны определяется первым сомножителем и равна удвоенной амплитуде. Нетрудно показать, что при различающихся длинах волн суммарная волна имеет длину, равную примерно половине суммы длин волн. Этот важный вывод в дальнейшем будет использован в гл. 6.

Рис. 1.3. Сложение двух когерентных волн с одинаковыми периодом и амплитудой

При сложении двух волн, имеющих одинаковую амплитуду, период, но противофазных, т. е., если сдвиг фазы у одной из них составляет ф = = л (180°), то одна волна подавляет другую и колебательное движение отсутствует (рис. 1.4).

При сложении двух гармонических колебаний одинакового периода образующееся гармоническое колебание имеет тот же период, амплитуду, определяемую формулой.

и начальную фазу, определяемую из уравнения.

Здесь Aj и А₂ — амплитуды слагаемых колебаний, ф₁ и ф₂ — их начальные фазы.

При сложении волн, различающихся по частоте (периоду) (двух гармонических колебаний) получается суммарное негармоническое колебание (рис. 1.5).

Рис. 1.4. Сложение двух противофазных волн с одинаковыми периодом и амплитудой

Справедливо и обратное утверждение: любое негармоническое колебание можно представить в виде суммы п-го числа гармонических колебаний.

Теорема Фурье^[12]. Всякое периодическое колебание периода Т может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с периодами, равными Т, Т/2, Т/3, Т/4 и т. д., т. е. с частотами v (при v = 1/Т), 2v, 3v, 4v и т. д.

Самая низкая частота v называется основной частотой. Колебание с основной частотой v называется первой гармоникой (или основным тоном), а колебания с частотами 2v, 3v, 4v и т. д. — высшими гармониками, или обертонами.

Рис. 1.5. Сложение двух волн, имеющих разные период и амплитуду

На рис. 1.1—1.5 изображены графики зависимости х = f (t) в декартовых (прямоугольных) координатах. Основные параметры положения точки в декартовых координатах определяются значением по оси х (на рис. 1.1—1.5 — t) и по оси у (на рис. 1.1—1.5 — А).

Существует еще один способ отображения графических зависимостей — в полярных (круговых) координатах. Основными параметрами положения точки в полярных координатах являются угол и величина радиуса, соответствующего данному углу. В нашем случае изображения колебательного процесса в качестве аргумента выступает угол Q, а функции — величина радиуса г, исходящего из полюса. В качестве примера на рис. 1.6 приведен график функции г = 2cos ?2 + 3sin2 ?2 в полярных координатах.

Рис. 1.6. График функции в полярных координатах

И система декартовых, и система полярных координат широко применяются в цветоведении и рассматриваются в гл. 9 и далее.

• [1] В ГОСТ 7601–78 дано определение амплитуды как наибольшего абсолютного значения величины, изменяющейся по закону гармонического колебания.
• [2] В ГОСТ 7601–78 дано следующее определение: длина волны — расстояние, на которое смещается поверхность равной фазы волны за один период колебаний.
• [3] В ГОСТ 7601–78 период колебаний определен как интервал времени, в течениекоторого фаза гармонических колебаний изменяется на 2л.
• [4] Здесь и далее скорость распространения волн обозначается латинской буквой с, а не v, во избежание смешения с обозначением частоты греческой буквой v (ню).
• [5] Рассмотрен в главе 2.
• [6] Встречается обозначение постоянной Планка h = h/2n.
• [7] В ГОСТ 7601–78 фаза определяется как аргумент функции, описывающей величину, изменяющуюся по закону гармонического колебания.
• [8] Модуль или абсолютная величина используется, поскольку отклонение колеблющейся материи относительно оси t происходит как в положительном направлении, таки в отрицательном.
• [9] Поскольку колебательное движение есть циклический процесс, круговую частотуназывали ранее циклической или угловой.
• [10] От лат. cohaereus — взаимосвязанный.
• [11] Здесь и далее 1 и 2 — суммируемые волны, 3 —- результирующая волна.
• [12] Ж. Б. Ж. Фурье (1768—1830), французский математик и физик.