Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии

Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений

Понятие о гармонических функциях.

Знакомство со свойствами электрических цепей и методами их анализа начнем с рассмотрения простейших линейных цепей при гармоническом воздействии. Если значения функции времени a (t) изменяются по синусоидальному или косинусоидальному закону.

где v|/ = |/ + л/2, то такую функцию будем называть гармонической.

Традиционно в электротехнической литературе используют синусную форму записи гармонической функции, а в радиотехнической — косинусную, которой и будем пользоваться в дальнейшем. Обе формы записи являются равноценными, отличаются только началом отсчета значений функции и их можно проиллюстрировать одной и той же кривой (рис. 2.1, а).

Наибольшее значение гармонической функции А_т называется амплитудой. Ее размерность совпадает с размерностью функции a (t). Наименьшее значение гармонической функции равно -А_т. Аргумент 0 = соt+i функции, записанной в косинусной форме, называется мгновенной фазой (фазой)I. Если гармоническая функция задана в синусной форме a{t) = А_т sin 0' = A,"sin (co? + у'), то ее фаза находится по формуле 0 = 0'- п/2.

Величина ц/, равная значению мгновенной фазы и при t = 0, называется начальной фазой гармонической функции. Фаза и начальная фаза гармонической функции являются безразмерными величинами и выражаются в радианах (рад).

Рис. 2.1. Графики гармонической функции (а) и ее модуля (б).

Фала гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость ее изменения со = dQ/dt называется угловой частотой. Она выражается в радианах в секунду (рад/с).

При выполнении практических расчетов начальную фазу гармонической функции у бывает удобно выражать в градусах (°). В этом случае при определении мгновенной фазы 9 и мгновенного значения гармонической функции (значения функции a (t) в произвольный момент времени t) начальную фазу, выраженную в градусах, необходимо пересчитать в радианы:

Гармонические функции времени представляют собой один из видов периодических функций. В общем случае функция времени называется периодической, если ее значения повторяются через определенные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, через который наблюдается повторение значений функции, называется периодом. Таким образом, если a (t) — периодическая функция времени с периодом Т, то для нее должно выполняться равенство.

где п — произвольное целое число.

Величина, обратная периоду Т, называется частотой:

Частота выражается в герцах (Гц).

Режим работы электрической цепи, при котором напряжения и токи всех ветвей цепи являются периодическими функциями времени или сохраняют неизменные значения, называется установившимся. Строго говоря, электромагнитный процесс является периодическим только в том случае, когда условие периодичности (2.2) выполняется на неограниченно большом промежутке времени t е ]-оо, оо[, т. е. если исследуемый процесс существует в цепи неограниченно длительное время. Если процесс возник или прекратился при каком-то конечном значении t, то в этот момент его периодичность нарушается. Постоянные токи и напряжения в ряде случаев также удобно рассматривать как периодические с периодом Т = оо и частотой, равной нулю.

Очевидно, что процессы, имеющие место в реальных цепях, не могут быть бесконечно длительными, поэтому они могут считаться периодическими лишь приближенно. Вследствие этого на практике принимают, что установившимся является такой процесс, при котором условие периодичности (2.2) выполняется на достаточно большом интервале времени.

Если токи и напряжения цепи изменяются не по периодическому закону, то такой режим работы цепи называется неустановившимся. Частным случаем процессов, протекающих в таком режиме, являются переходные процессы, которые имеют место при переходе цепи от одного установившегося режима к другому. Теоретически, переходные процессы в цепи затухают бесконечно долго, и новый установившийся режим наступает только при t —* оо. Как будет показано далее (см. гл. 6), переходные процессы практически прекращаются (или, точнее, затухают до пренебрежимо малого уровня) через конечный промежуток времени, по истечении которого процесс в цепи можно считать установившимся.

Таким образом, представление токов и напряжений в виде гармонических или других периодических функций времени (в том числе и в виде постоянных величин) следует рассматривать как приближенное математическое описание (математическую модель) реальных процессов, имеющих место в электрической цепи.

Определим период и частоту гармонической функции времени. Как известно, cos 0 является периодической функцией 0 с периодом, равным 2к. Следовательно, изменение времени на период Тсоответствует изменению фазы 0 на 2к:

Используя выражения (2.3) и (2.4), находим Т = 2л/со; / = со/(2л).

Выражения (2.3), (2.4) позволяют также определить угловую частоту гармонической функции по заданной частоте / или периоду Т

Интервал времени, в котором значения гармонической функции положительны, например -|л/(2со) + (vp/co)] < t < < | л/(2) — (vp/co) |, называется положительным полупериодом, а интервал времени, в котором значения функции отрицательны, например [л/(2со) — (у/со)] < t < [Зл/(2со) — (vp/co)], — отрицательным. Совокупность значений функции на положительном полупериоде называется положительной, а совокупность значений функции на отрицательном полупериоде — отрицательной полуволной гармонической функции.

При построении временных диаграмм (графиков) гармонических функций обычно бывает удобным откладывать по оси абсцисс не время Ц а пропорциональную ему величину соt (рис. 2.2).

В этом случае смещение начала координат относительно ближайшего максимума гармонической функции будет равно ее начальной фазе р. Если начало координат (точка tot = 0) смещено вправо относительно ближайшего максимума гармонической функции, то начальная фаза р является положительной (кривая у, > 0), если влево (кривая vp₂ < 0) — отрицательной.

Рис. 2.2. Гармонические функции с положительной и отрицательной начальными фазами.

Если фазы 0| и 0₂ двух гармонических функций «₍(?) = = /l_wlcos (co? + v|/]) и a₂(t) = A_m2cos ((?>t + ц/₂) отличаются на.

то говорят, что эти функции сдвинуты по фазе, причем функция Я|(Г) опережает по фазе функцию a₂{t). Как следует из выражения (2.6), разность фаз этих функций равна разности их начальных фаз и не зависит от времени. Две гармонические функции одинаковой частоты совпадают, но фазе, если разность их начальных фаз равна нулю, и находятся в противофазе, если (р = ±тг.