Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии

Рассмотрим линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под монохроматическим (одночастотным) гармоническим воздействием. Токи всех неуправляемых источников тока и ЭДС всех неуправляемых источников напряжения такой цепи являются гармоническими функциями времени одной и той же частоты со. Дифференциальное уравнение этой цепи, составленное для любого из неизвестных токов или напряжений s = s (t), имеет вид (1.46), причем правая часть этого уравнения представляет собой линейную комбинацию гармонических функций и их производных, т. е. является гармонической функцией времени той же частоты, что и внешнее воздействие:

Следовательно, задача анализа линейной цепи с сосредоточенными параметрами при гармоническом воздействии сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, правая часть которого является гармонической функцией времени.

Ограничимся пока рассмотрением установившегося режима, т. е. будем считать, что действующие в цепи источники были подключены при t = -оо и к рассматриваемому моменту времени переходные процессы в цепи полностью закончились. Из теории дифференциальных уравнений известно, что в таком режиме уравнение (2.14) имеет единственное периодическое решение.

которое является гармонической функцией времени той же частоты со, что и внешнее воздействие.

Таким образом, в установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей линейной цепи, находящейся под гармони ческим воздействием, являются гармоническими функциями времени одной частоты и, следовательно, задача анализа цепи сводится к определению начальных фаз и амплитуд {или действующих значений) интересующих токов или напряжений.

Вопросы для самопроверки

• 1. Какая функция называется периодической?
• 2. Какая функция называется гармонической?
• 3. Как соотносятся между собой частота и угловая (круговая) частота гармонической функции?
• 4. Какова размерность текущей и начальной фаз?
• 5. Какой параметр гармонического напряжения можно определить, измерив разность максимального и минимального значений напряжения?
• 6. В каких пределах может изменяться разность начальных фаз двух гармонических колебаний одинаковой частоты?
• 7. Каким образом можно измерить разность начальных фаз двух гармонических напряжений одинаковой частоты с помощью осциллографа, на экране которого отображаются несколько периодов колебаний (масштаб по осям задан)?
• 8. Если в линейной цепи имеются два источника гармонического напряжения различных частот, то какой вид (в соответствии с принципом суперпозиции) имеет решение дифференциального уравнения этой цепи?
• 9. Как связаны между собой амплитуда и действующее значение гармонической функции?
• 10. Для какого класса функций введено понятие «действующее значение функции»?
• 11. Какова амплитуда напряжения в однофазных (бытовых с частотой 50 Гц) сетях переменного (гармонического) тока?