Комплексная схема замещения цени. 
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка линейной цепи были введены как отношения комплексных действующих значений или комплексных амплитуд напряжения и тока, приложенных к зажимам этого участка цени. В то же время комплексные сопротивление и проводимость любого участка линейной цепи, составленного из идеализированных пассивных элементов, не зависят от амплитуд (действующих значений) и начальных фаз токов и напряжений и определяются только параметрами элементов, входящих в рассматриваемый участок цепи, способом их соединения между собой и частотой внешнего гармонического воздействия.

Зная комплексное сопротивление (комплексную проводимость) участка цепи и одну из приложенных к данному участку цепи величин — ток i = 1_т или напряжение и = U_m можно, используя выражения (2.42) и (2.50), найти неизвестное напряжение или неизвестный ток исследуемого участка.

Аналогично определяют комплексные действующие значения напряжения и тока на зажимах участка цепи:

Выражения (2.56) и (2.57) по структуре напоминают соотношения между мгновенными значениями напряжения и тока на зажимах линейного сопротивления (1.9), (1.10) и являются математической записью закона Ома в комплексной форме. В отличие от выражений (1.13), (1.16), (1.22) и (1.23) уравнения (2.56) и (2.57) являются алгебраическими.

Используя закон Ома в комплексной форме, каждому участку линейной электрической цепи, составленному из идеализированных пассивных элементов и имеющему два внешних вывода (см. рис. 2.7, а), в том числе любому идеализированному пассивному двухполюсному элементу, можно поставить в соответствие комплексную схему замещения, на которой рассматриваемый участок цепи представлен комплексным сопротивлением или проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — комплексными амплитудами (см. рис. 2.7, б) или комплексными действующими значениями (см. рис. 2.7, в).

Представляя все входящие в моделирующую цепь идеализированные пассивные элементы их комплексными схемами замещения, а токи и ЭДС идеализированных источников — их комплексными амплитудами или комплексными действующими значениями, получаем комплексную схему замещения цепи (схему замещения для комплексных амплитуд или схему замещения для комплексных действующих значений). В отличие от комплексных схем замещения, рассмотренные ранее схемы, на которых были изображены идеализированные двухполюсные элементы и указаны мгновенные значения токов i и напряжений и ветвей и идеализированных источников, будем называть схемами замещения для мгновенных значений.

Таким образом, комплексная схема замещения цепи может быть получена из схемы замещения для мгновенных значений путем замены всех идеализированных пассивных двухполюсников их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех шоков и напряжений — их комплексными изображениями.

По внешнему виду комплексная схема замещения цепи подобна цепи постоянного тока, составленной только из сопротивлений и идеализированных источников энергии, причем, подобно цепи постоянного тока, компонентные уравнения всех ветвей в комплексной форме являются алгебраическими.

Мгновенные значения токов и напряжений различных ветвей электрической цепи связаны между собой линейными алгебраическими уравнениями баланса токов и напряжений, составляемыми на основании законов Кирхгофа. Учитывая, что суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных изображений, перейдем от законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений к законам Кирхгофа для комплексных изображений токов и напряжений, называемых обычно законами Кирхгофа в комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме устанавливает связь между комплексными изображениями токов в каждом из узлов моделирующей цепи: сумма комплексных амплитуд {комплексных действующих значений) токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов электрической цепи, равна нулю:

где k — помер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме определяет связь между комплексными изображениями напряжений ветвей, входящих в произвольный контур электрической цепи: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) напряжений всех ветвей, входящих в любой контур моделирующей цепи, равна нулю:

где v — номер ветви, входящей в рассматриваемый контур.

В ряде случаев бывает удобно использовать другую формулировку второго закона Кирхгофа в комплексной форме: сумма комплексных изображений напряжений на всех элементах любого контура моделирующей цепи, кроме источников напряжения, равна сумме комплексных изображений ЭДС всех входящих в контур источников напряжения:

где U_mh Uj — комплексные изображения напряжений всех элементов контура, за исключением источников напряжения; E_mj_y Ej — комплексные изображения ЭДС источников напряжения, действующих в рассматриваемом контуре.

В связи с тем, что выражения (2.58)—(2.60) непосредственно вытекают из соотношений (1.39)—(1.41), при суммировании комплексных изображений токов и напряжений ветвей электрической цепи в выражениях (2.58)—(2.60) сохраняются те же правила знаков, что и при суммировании мгновенных значений токов и напряжений.

Законы Кирхгофа были сформулированы только для мгновенных значений, комплексных амплитуд и комплексных действующих значений токов и напряжений. Они не выполняются для амплитуд и действующих значений соответствующих величин.

Используя выражения для законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме, можно составить систему уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений. В отличие от уравнений электрического равновесия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений, уравнения электрического равновесия для комплексных изображений токов и напряжений являют ся алгебраическими. Решение таких уравнений намного проще, чем решение дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений. Таким образом, с использованием комплексных схем замещения и полученных на их основании уравнений электрического равновесия цепи в комплексной форме анализ цепи переменного тока становится не сложнее анализа цепи постоянного тока и может производиться с помощью тех же приемов.