Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками

Основная проблема, возникающая при формировании уравнений электрического равновесия цепей с управляемыми источниками, заключается в том, что в этих уравнениях могут появляться новые переменные, не входящие в выбранную систему независимых переменных, представляющие собой управляющие токи или напряжения источников. Обычно эта проблема решается одним из двух способов:

• 1) введением дополнительных уравнений, выражающих управляющие токи или напряжения через величины, выбранные в используемом методе анализа в качестве независимых переменных;
• 2) преобразованием исходной цепи, направленным на замену заданных управляемых источников другими источниками, управляемыми токами или напряжениями, выбранными в качестве независимых переменных.

При формировании уравнений различают зависимые источники, управляемые током или напряжением какой-либо невырожденной, т. е не содержащей источников тока и не составленной только из источников напряжения, ветви, и источники, у которых управляющее воздействие нс является током или напряжением какой-либо невырожденной ветви.

Рассмотрим сначала методику формирования уравнений электрического равновесия цепей, содержащих зависимые источники первого типа. Особенностью таких цепей является возможность преобразования источников, управляемых напряжением какой-либо ветви, в источники, управляемые током этой же ветви, и наоборот.

Пусть в исследуемой цепи имеются источники напряжения и тока, управляемые напряжением а-й ветви:

где К, S — коэффициенты управления источников.

Используя компонентное уравнение а-й ветви, напряжение U_a в соотношениях (4.21) можно выразить через ток этой ветви 1_а, при этом источник, управляемый напряжением, преобразуется в источник, управляемый током. В простейшем случае связь напряжения и тока а-й ветви описывается законом Ома в комплексной форме:

Подставляя формулу (4.22) в выражения (4.21), получаем.

Аналогичным образом можно преобразовать источники, управляемые током какой-либо ветви, в источники, управляемые напряжением этой же ветви.

При составлении основной системы уравнений электрического равновесия цепей, содержащих зависимые источники напряжения или тока рассматриваемого типа, эти источники учитывают в уравнениях, составленных на основании законов Кирхгофа, наряду с независимыми источниками, а затем токи и ЭДС зависимых источников выражают через соответствующие управляющие воздействия. В связи с тем, что управляющие воздействия представляют собой токи и напряжения ветвей цепи, в основной системе уравнений электрического равновесия цепи не появится новых неизвестных токов или напряжений. При формировании уравнений электрического равновесия цепи по методу ТВ задающие токи и ЭДС управляемых источников должны быть выражены через неизвестные токи, а при формировании таких уравнений по методу НВ — через известные напряжения ветвей.

Пример 4.7. Используя метод токов ветвей, составим уравнения электрического равновесия цепи (см. рис. 4.2, а) при условии, что ток источника тока является функцией напряжения ветви, содержащей индуктивность: J = SU₃.

Задача решается в два этапа. На первом формируют систему уравнений по методу ТВ, в которой ток источника J учитывается так же, как если бы это был ток независимого источника (см. пример 4.2):

Па втором этапе ток управляемого источника выражают через ток третьей ветви./ = 5?/₃ = Z3S/3 и подставляют в полученную систему уравнений.

Таким образом, получаем систему из пяти уравнений для определения пяти неизвестных токов ветвей, после решения которой и расчета тока /₃ находят ток управляемого источника /5 = J = Z₃SI₃ и напряжения всех ветвей.

Метод контурных токов позволяет сформировать систему уравнений электрического равновесия цепи, содержащей зависимые источники напряжения, управляемые током. Если в цепь входят также зависимые источники других типов, то они должны быть преобразованы в источники напряжения, управляемые током. При составлении контурных уравнений ЭДС таких источников учитываются наравне с ЭДС независимых источников, а затем переносятся в левую часть уравнений и выражаются через соответствующие контурные токи. Таким образом, наличие в исследуемой цепи источников ЭДС, управляемых током, приводит к изменению коэффициентов перед некоторыми из контурных токов и может обусловить несимметричность матрицы контурных сопротивлений относительно главной диагонали.

Рис. 4.6. К примеру 4.8.

Пример 4.8. Составим систему контурных уравнений цени (см. рис. 4.2) при условии, что ток источника тока является функцией напряжения на сопротивлении Z₃: J = SU3.

Преобразуем схему цепи таким образом, чтобы управляемый напряжением источник тока был заменен на управляемый током источник напряжения (рис. 4.6, а)

Выбрав систему независимых контуров (рис. 4.6, б), составим систему контурных уравнений цепи, в которой ЭДС источника учтена так, как будто этот источник независимый:

где/_и=/₂;/₂₂=/₄. .

Перенося ЭДС Ё₂ в левую часть контурных уравнений и выражая се через контурные токи Ё₂ = Z_mI3 = Z_m(I_n — /₂₂), получаем.

Матрица контурных сопротивлений данной цепи несимметрична относительно главной диагонали:

Метод узловых напряжений позволяет составить систему уравнений электрического равновесия цепей, содержащих управляемые напряжением источники тока. Если цепь содержит зависимые источники других типов, то они должны быть заменены на источники тока, управляемые напряжением. При составлении узловых уравнений токи таких источников учитывают наравне с токами независимых источников, а затем выражают через соответствующие узловые напряжения. Наличие в рассматриваемой цепи управляемых источников, как правило, приводит к тому, что матрица узловых проводимостей цепи становится несимметричной относительно главной диагонали.

Пример 4.9. Составим узловые уравнения цепи (рис. 4.2, а) при условии, что ЭДС источника напряжения является функцией тока /₄: Е = Z_nl4.

Рис. 4.7. К примеру 4.9.

Преобразуем схему цени таким образом, чтобы управляемый током источник ЭДС был заменен на управляемый напряжением источник тока J₂ (рис. 4.7).

Составляем узловые уравнения преобразованной цепи, учитывая ток управляемого источника J2 наравне с током независимого источника J.

Перенося ток управляемого источника j в левую часть узло; вых уравнений и выражая его через узловые напряжения J У"(и = У_п(й₂о — 4о), получаем.

Как и следовало ожидать, матрица узловых проводимостей рассматриваемой цепи несимметрична относительно главной диагонали:

Рассмотрим особенности формирования уравнений электрического равновесия цепей, содержащих зависимые источники, у которых управляющее воздействие не является током или напряжением какой-либо невырожденной ветви. Можно выделить три случая: 1) источники, управляемые токами неуправляемых источников тока или напряжениями неуправляемых источников напряжения; 2) источники, управляемые токами неуправляемых источников напряжения и напряжениями неуправляемых источников тока; 3) источники, у которых управляющие токи или напряжения не являются токами или напряжениями каких-либо ветвей цепи.

Наличие в цепи источников, управляемых токами неуправляемых источников тока или напряжениями неуправляемых источников напряжения, не приводит к появлению в уравнениях электрического равновесия новых переменных, поскольку управляющие воздействия у таких источников являются заданными величинами. Источники такого типа учитываются в уравнениях электрического равновесия так же, как и неуправляемые источники.

Если исследуемая цепь содержит источники, управляемые напряжением ветви, содержащей источники тока, то вследствие отсутствия непосредственной зависимости между током и напряжением вырожденной ветви они не могут быть преобразованы в источники, управляемые током этой же ветви. Аналогично этому, источники, управляемые током ветви, составленной только из источников напряжения, не могут быть преобразованы в источники, управляемые напряжением этой же ветви. В этом случае для изменения вида управляющего воздействия это воздействие сначала должно быть выражено через токи или напряжения невырожденных ветвей. (Напомним, что напряжение на источнике тока может быть выражено через напряжения ветвей дерева, входящих в главный контур, замыкаемый ветвью с этим источником, а ток ветви, составленной только из источников напряжения, — через токи главных ветвей, входящих в соответствующее главное сечение.).

Если цепь содержит зависимые источники, управляющие токи или напряжения которых не являются токами или напряжениями ветвей этой цепи, то при составлении системы уравнений электрического равновесия обязательно появятся дополнительные неизвестные — соответствующие управляющие токи или напряжения. Для того чтобы получить достаточное число уравнений для определения всех неизвестных токов и напряжений, в состав рассматриваемых цепей обычно включают дополнительные вырожденные ветви, со;

Рис. 4.8.

Введение

в цепь вырожденной ветви, соответствующей управляющему напряжению

ответствующие управляющим воздействиям зависимых источников. Так, если в цепи (рис. 4.8, а) имеется источник напряжения, ЭДС которого зависит от напряжения Й_упр, не являющегося напряжением какой-либо ветви, то для составления основной системы уравнений электрического равновесия эту цепь дополняют вырожденной ветвью (рис. 4.8,6), содержащей независимый источник тока J = 0, напряжение которого равно (/_у||р. Если электрическая цепь содержит зависимый источник тока J, управляемый током /_упр, нс являющимся током какой-либо ветви (рис. 4.9, а), то для составления основной системы уравнений электрического равновесия эту цепь следует дополнить вырождениойветвыо, содержащей независимый источник напряжения Е₂ = 0 (рис. 4.9, б), ток которого равен /_упр.

После введения дополнительных вырожденных ветвей основную систему уравнений электрического равновесия преобразованных цепей составляют по изложенным ранее правилам.