Идеальная жидкость. 
Прикладная гидродинамика

В этой главе мы рассмотрим простейшую, но, тем не менее, описывающую очень широкий класс гидродинамических явлений модель идеальной жидкости. В рамках этой модели прснсбрегается эффектами вязкости и другими процессами, вызывающими диссипацию энергии движения жидкости.

Уравнение Эйлера

Уравнения неразрывности (1) недостаточно для определения пяти функций, описывающих движущуюся среду, — плотности р, давления р и трех компонент скорости v. В этом разделе мы выведем уравнение движения жидкой среды, являющееся вторым законом Ньютона, записанным в форме, удобной для решения гидродинамических задач. Все последующие рассуждения одинаково применимы как для жидкостей, так и для газов. Поэтому, если не будет оговорено особо, под словом «жидкость» мы будем понимать как собственно жидкость, так и газ.

Выделим в жидкости малый параллелепипед со сторонами dx, dy, dz, движущийся вместе с жидкостью. Этот параллелепипед показан на рис. 2.

Учитывая, что объем параллелепипеда dV = dxdydz, второй закон Ньютона для него можно записать так:

где dF — сила, действующая на этот параллелепипед. Эта сила состоит из следующих компонент.

1. Сила давления сЛЕС Давление жидкости с одной стороны параллелепипеда (скажем, слева) может отличаться от давления с другой стороны (справа). Это порождает силу нескомпенсированного давления, действующую на параллелепипед. Учитывая, что сила, действующая по нормали к грани параллелепипеда, равна произведению давления на площадь этой грани, у-компоненту этой силы мы можем рассчитать так:

Аналогично.

Полученные выражения для компонент силы c/F_p могут быть объединены в одно векторное равенство.

Здесь, следуя традиции, мы использовали векторный оператор где i, j, k — орты, направленные вдоль осей х, у, z соответственно.

Рис. 2.

2. Объемная (массовая сила) F. Сила давления действует на наш параллелепипед через его поверхность. В отличие от этого на жидкость в каждой ее точке, т. е. в каждой точке внутри параллелепипеда, могут действовать силы, называемые объемны м и или массовыми. Примерами таких сил могут быть силы гравитации, электрические, магнитные и др. Так как в задачах гидродинамики чаще всего объемными являются силы гравитации, для обозначения этих сил мы используем индекс g. Введем плотность f объемных сил по правилу.

В случае гравитационных сил f = pg, где g — ускорение свободного падения. В случае действия других объемных сил плотность силы определяется исходя из физической природы этой силы. Соотношение (10) мы будем использовать в уравнении (8), предполагая, что плотность объемной силы нам известна.

3. Третьим типом сил, действующих на выделенный объем жидкости, являются силы трения этого объема с окружающими слоями жидкости. Эти силы, как и силы давления, действуют через поверхность параллелепипеда. Внутреннее трение между различными частями жидкости называется вязкостью. Вязкие силы, как и силы трения между различными телами, приводят к диссипации механической энергии движения среды в тепловую энергию.

Моделью идеальной жидкости называется приближение, в котором пренебрегается действием всех диссипативных сил и процессов в жидкости. К таким процессам, помимо вязкости, относятся теплопроводность, электрическое сопротивление и ряд других. Мы начнем знакомство с гидродинамикой с приближения идеальной жидкости. Это приближение не только простейшее, но и вполне работоспособное. В следующих главах мы увидим, что очень многие гидродинамические явления могут быть успешно описаны в приближении идеальной жидкости, а также установим критерии, когда это приближение является успешным.

ю В рамках приближения идеальной жидкости мы пренебрегаем вязкими силами, поэтому в (8) dF = dF_/t + dF^. Учитывая соотношения (9) и (10), а также то, что dV = dxdydz, получаем.

Учтем теперь, что каждая компонента скорости v является функцией от грех пространственных координат х, у, z параллелепипеда и времени t. Поэтому для /-Й компоненты скорости получаем.

Учитывая, что х, у, z — координаты параллелепипеда, движущегося вместе с жидкостью, имеем.

Поэтому последнее соотношение может быть переписано так:

Здесь мы учли определение оператора V.

Подставляя последний результат в закон Ньютона (11), приходим к векторному уравнению.

Соотношение (12) называется уравнением Эйлера.

Скалярное уравнение неразрывности (1) и векторное уравнение Эйлера (12) образуют систему из четырех уравнений, в то время как нам нужно определить пять неизвестных функций р, р, v_x, v_v, и v_. Уравнения (1) и (12) никак не отражают внутреннюю молекулярную структуру движущейся среды. Пятое уравнение, замыкающее задачу, является уравнением состояния вещества, которое связывает между собой концентрацию молекул в веществе, давление и температуру. Такое уравнение может быть получено или методами молекулярной физики, или же, если проблема вывода этого уравнения оказывается слишком сложной для теории, — эмпирическими методами, на основе результатов экспериментов. Из курса молекулярной физики известны уравнения состояния идеального газа и газа Ван-дер-Ваальса, которые позволяют записать давление в виде функции плотности вещества р = р (р). Используя явный вид этой функции, соответствующий веществу, движение которого нам нужно описать, мы приходим к замкнутой системе пяти уравнений, состоящей из уравнений (1), (12) и уравнения состояния р = р ( р), из которой можно определить три компоненты скорости, а также давление и плотность вещества.

В случае несжимаемой жидкости (р = const) нам необходимо найти четыре функции — р, v_v, v, и v_. Для этого достаточно четырех уравнений — уравнения несжимаемости (7) и трех уравнений в векторном уравнении Эйлера (12).

Итак, полная система уравнений гидродинамики идеальной жидкости состоит из уравнения неразрывности (1), уравнения Эйлера (12) и соответствующего уравнения состояния. Если жидкость может рассматриваться как несжимаемая, замкнутую систему образуют уравнения несжимаемости (7) и Эйлера (12).