Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида

Получим формулу для индукции магнитного поля на оси соленоида длины / и радиуса а, на единицу длины которого приходится п витков (рис. б. б). Пусть в соленоиде идет ток, сила которого равна I.

Рис. 6.10. К расчету индукции магнитного поля на оси соленоида.

Будем рассматривать соленоид как совокупность узких колец с током. Одно из таких колец показано на рис. 6.10. Положение этого кольца определяется координатой ?, которая изменяется в пределах от 0 до /, а его ширина равна d?. Так как рассматриваемое кольцо содержит nd? витков, круговой ток, текущий по кольцу, имеет силу.

Этот ток создает магнитное поле, индукцию dB которого в произвольной точке Р на оси соленоида можно найти по формуле (6.24):

х - координата точки Р.

Для вычисления этого интеграла удобно ввести новую переменную интегрирования угол 0. Как видно из рис. 6.10, угол в таков, что Индукция В магнитного поля, создаваемого в точке Р всеми витками соленоида, в силу принципа суперпозиции равна интегралу от выражения (6.27):

Продифференцировав равенство (6.30) при х = const, получим.

Подстановка выражений (6.29) и (6.31) под знак интеграла в формуле.

(6.28) дает

где 0 и 9п — наибольшее и наименьшее значения угла в, зависящие от положения точки Р на оси соленоида. Интегрирование по формуле Ньютона — Лейбница приводит к выражению.

Выразим cosfli и cos О? через х для значений х, удовлетворяющих неравенству

т.е. аля точек, лежащих на оси х внутри соленоида. Из построений на рис. 6.11 найдем, что.

Эта формула дает следующие значения магнитной индукции на торцах соленоида и в его середине:

где D = 2а — диаметр соленоида.

Рис. 6.11. К вычислению магнитной индукции поля в соленоиде.

Нетрудно убедиться в том, что формула (6.33) справедлива для всех точек на оси соленоида. Согласно этой формуле магнитная индукция монотонно убывает до нуля при |я| —? оо. График зависимости В = B (x)_t определяемый формулой (6.33), изображен на рис. 6.12. Интересно отметить, что при / —? оо формула для магнитной В (1/2) индукции в середине соленоида переходит в полученное ранее выражение В = Цо I п для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида.

Рис 6.12. Магнитная индукция на оси соленоида.

Магнитное поле, создаваемое отрезком прямого провода, обладает осевой симметрией. При этом его силовыми линиями будут окружности, центры которых лежат на оси симметрии. Одна из силовых линий показана на рис. 6.13. Найдем магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком прямого провода. Для этого применим закон Био — Савара — Лапласа (6.1).

Векторные элементы dl различных участков провода и соответствующие им векторы R, заканчивающиеся в произвольной точке Р пространства, лежат в плоскости, которая содержит в себе эту точку и провод. Поэтому согласно определению векторного произведения все векторы dB магнитной индукции полей, создаваемых в точке Р различными элементами dl провода, коллинеарны. Вследствие этого модуль В вектора В равен сумме модулей векторов dB :

где где, а — угол между векторами dl и R; dl — модуль вектора dl .

Рис. 6.18. К расчету индукции магнитного поля отрезка тока.

Из треугольника АЛ’Р на рис. 6.13 найдем, что расстояние R от точки А до точки Р и расстояние / от точки А до точки А' таковы, что.

При этом.

Подстановка этих выражений в формулу (6.35) преобразует ее к виду.

Найдем модуль В вектора В по формуле (6.34):

где а и «2 — значения угла о, соответствующие концам рассматриваемого отрезка провода. Интегрирование по формуле Ньютона — Лейбница приводит к выражению.

Для бесконечного провода <*i = 0 и а? = к. В этом случае формула (6.36) принимает вид.