Распределение фишера — Снедекора (F-распределение)

Пусть ЬЛ₂>-Лп и г|₂, г₂> •••> Л_т — наборы независимых случайных величин из нормальных совокупностей с параметрами (а_ь af) и (а₂, ст§), а Хп ^и Хт — случайные величины, построенные по этим наборам.

&-аj Л; ^_а2.

в результате их нормировки типа —-—-и распределенные.

^а1 ^ст2.

по закону х² с числами свободы пит соответственно. Введем функцию.

• 1 2
• —Хп

этих случайных величин каку-и обозначим ее через /" _т.

— Хт

т

Распределение Фишера — Снедекора F (n; m) с числами степеней свободы пит, или F- распределение, — непрерывное, сосредоточенное.

¹ 2 -ХТ,

на (0; °о) распределение вероятностей случайной величины f_nm =-у-.

— Хт т

Плотность распределения Фишера — Снедекора имеет вид.

Свойства распределения Фишера — Снедекора.

1. Математическое ожидание Mf_{n т} =-, т > 2.

' т-2

_ -г 2m²(n + m-2) .

2. Дисперсия П/_(!>т = —-——, т > 4.

п (т-2)²(т-4).

р 1 Г у² ^ 1.

3. /" _т->-у²при т оо, поскольку М — =—Му² =1.

п m J m

Отсюда следует, что при т —" оо и большом п распределение случайной величины/_{п ш} асимптотически нормально:

На рис. 13.6 представлены графики функций плотности распределения Фишера и нормального. Из рисунка очевидно, что приближение распределения Фишера — Снедекора нормальным распределением достигается при весьма больших значениях т (т «100).

Рис. 13.6. Асимптотическая нормальность распределения Фишера —.

Снедекора Если к условию т —> °о добавить требование п —> , то будет выпол- (У?⁴ ^ ^.

нено равенство М — =1. Тогда f_{n т} —>1, т. е. случайная величина/_ж ^п)

имеет вид константы: = 1. Ее распределение вероятностей.

fl, если х — 1,

Р_{х ж} =< Функция распределения представляет собой сту;

[0, если* *1.

пеньку с вертикалью высотой 1 в точке х = 1.

• 4. Если CTj = 02 ⁼ °²> ^то плотность распределения не зависит от дисперсии о² случайных величин
• 5. При п = 1 плотность ^/_1т имеет распределение Стьюдента с т степенями свободы.
• 6. Случайная величина т = ^— имеет распределение случайной

величиныf_mn. $^п'^т

7. Функция распределения.

График плотности распределения Фишера — Снедекора при относительно небольших значениях пит представлен на рис. 13.7. F-распределение применяется в первую очередь как распределение отношения двух выборочных дисперсий. Таблица критических точек F-распределения связывает вероятности р и соответствующие им критические точки х_кр соотношением P (f_{n т} > х_кр) = р" причем в числитель ставится большая исправленная дисперсия с числом степеней свободы п.