Волновая функция и ее смысл

В силу физической природы микрочастиц их движения могут быть описаны только статистически при помощи методов теории вероятностей. Экспериментатор, исследующий какое-либо проявление свойств микроскопических частиц, всегда имеет дело не с одной частицей, а системой, состоящей из очень большого числа микрочастиц. Такая система называется статистическим ансамблем.

Рассмотрим ансамбль, состоящий из N одинаковых частиц, заполняющих некоторый объем пространства V. Статистическое описание поведения одной из частиц ансамбля осуществляется посредством функции.

которая называется плотностью вероятности и определяется следующим образом.

Разделим объем V на физически бесконечно малые объемы и рассмотрим один из них dV. Положение этого объема в пространстве определяется радиус-вектором годной из принадлежащих ему точек (рис. 19.1). Пусть в момент времени t в этом объеме оказалось dN частиц. Слова ''физически бесконечно малый объем" означают, что число dN частиц в объеме dV мало по сравнению с числом N частиц в ансамбле, но в то же время число dN существенно больше единицы.

Так как частицы непрерывно перемещаются в пространстве, число dN частиц в объеме dV может изменяться с течением времени t. Число dN зависит также от положения этого объема в пространстве, его величины и общего числа N частиц в ансамбле. Очевидно, что число частиц dN должно быть прямо пропорционально числу N и объему dV:

Это соотношение можно рассматривать как определение плотности вероятности.

Рис. 19.1. К определению плотности вероятности Величина.

называется вероятностью обнаружить в момент времени t одну произвольно выбранную частицу ансамбля внутри объема dV. Из этого определения следует, что вероятность есть неотрицательная величина, удовлетворяющая неравенству.

Так как сумма чисел dN равна числу N всех частиц в ансамбле:

сумма вероятностей dW равна единице:

Это равенство называется условием нормировки вероятности. Разделим равенство (19.7) на число N. С учетом (19.8) получим.

Подстановка этого выражения в условие нормировки (19.9) преобразует его к виду.

Покажем теперь, как при помощи плотности вероятности можно вычислить средние значения некоторых физических величин, характеризующих состояние частицы. Именно средние значения физических величин могут быть измерены в опытах с микрочастицами. Поэтому для предсказания результатов опытов, их математического описания и физического осмысления необходимо иметь теоретические формулы для расчета средних значений любых физических величин, характеризующих состояние и движение изучаемой микрочастицы.

Пусть / - некоторая физическая величина, зависящая от положения частицы в пространстве, т. е. эта величина представляет собой некоторую функцию от радиус-вектора г частицы: / = /(г). Например, это может быть потенциальная энергия частицы. Припишем каждой частице ансамбля порядковый номер i, который может принимать значения 1, 2, 3, N. Радиус-вектор частицы под номером i обозначим как г,-. В силу зависимости / = /(г) каждой частице соответствует определенное значение.

величины /. Среднее значение / величины / по определению равно сумме всех ее значений /,*, деленной на число частиц в ансамбле:

Так как число частиц в ансамбле очень велико, суммирование в этой формуле можно заменить интегрированием. Для этого сначала все слагаемые в этой сумме разделим на группы. Каждое слагаемое /, в одной такой группе.

соответствует частицам, находящимся в каком-то малом объеме dV. Если этот объем достаточно мал, то все радиус-векторы г, Е dV можно положить равными одному какому-то вектору г Е dV. При этом сумма (19.13) будет равна произведению значения /(г) на число dN частиц в объеме dV:

Подставим в эту формулу выражение (19.7). Получим.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Сумма всех N значений /, равна объемному интегралу от этого выражения. В результате придем к следующей формуле для среднего значения функции / = /(г):

Из этой формулы видно, что в общем случае среднее значение / может зависеть от времени.

В квантовой механике описание движения одной из частиц ансамбля осуществляется при помощи так называемой волновой функции

В общем случае волновая функция является комплексной величиной, т. е. она содержит в себе мнимую единицу г, квадрат которой по определению равен — 1: г² = — 1. Физический смысл волновой функции заключается в том, что квадрат ее модуля равен плотности вероятности tv (t, г) обнаружить частицу в момент времени t в некоторой окрестности точки г:

где ф^т есть функция, комплексно сопряженная по отношению к функции ф. Напомним, что комплексное число z можно представить в виде суммы z = я + iy, где я и у — действительные числа. Число с^- = х — iy называется комплексно сопряженным по отношению к числу г. Таким образом, выражение, комплексно сопряженное по отношению к данному выражению, можно получить, если изменить в этом выражении знаки перед мнимой единицей на противоположные. Подстановка выражения (19.16) в равенство (19.11) преобразует его к виду.

Это равенство называют условием нормировки волновой функции.

Экспериментальному определению доступны не сами функции w (t, г) и ip (t, г), а только средние значения различных физических величин, характеризующих положение частицы и ее движение. Такими величинами являются координата частицы я, ее радиус-вектор г, импульс частицы р, его проекция р_х на ось я, энергия и другие механические величины. Зная волновую функцию, можно вычислить средние значения всех механических величин, а затем сравнить эти значения с аналогичными средними значениями, полученными в результате экспериментальных исследований. Так, например, среднее значение координаты я можно вычислить по формуле

которая является следствием формул (19.14) и (19.16). Совпадение теоретических (расчетных) и экспериментальных значений физических величин является критерием правильности теории.