Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Вычислить определители матриц:

А. По определению.

Б. Разложение определителя по элементам 1-ой строки.

В. Разложение определителя по элементам 3-го столбца.

Г. Разложение определителя по элементам строки (столбца) с общим не нулевым элементом.

Д. Метод приведения к треугольному виду.

Решение:

A. По определению:

33.

Ответ:

Ответ:

Б. Разложение определителя по элементам 1-ой строки:

Ответ:

Ответ:

В. Разложение определителя по элементам 3-го столбца:

Ответ:

Ответ:

Г. Разложение определителя по элементам строки (столбца) с общим не нулевым элементом:

= 1

Ответ:

Ответ:

Д. Метод приведения к треугольному виду:

Ответ:

Ответ:

Задание 17.1.

Решить систему уравнений:

А. Методом Крамера.

Б. Методом Жордана-Гауса.

В. Матричным методом.

Решение:

А. Метод Крамера:

Ответ: (x = 2, y = 1, z = 3);

Б. Метод Жордана-Гауса:

Ответ: (x = 2, y = 1, z = 3);

В. Матричный метод:

По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений имела решение, необходимо, что бы ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы были равны.

Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение. Если ввести матричные обозначения Найдем обратную матрицу A^-1. Для этого допишем справа единичную матрицу и при помощи элементарных преобразований приведем основную матрицу к единичному виду:

??

Обратная матрица имеет вид:

Для нахождения матрицы X умножим обратную матрицу А^-1 на матрицу С Ответ: (x = 2, y = 1, z = 3);

Задание № 13.1

Вариант № 1.

Пирамида ABCD задана координатами своих вершин:

A (-1;-2;0), B (-4;3;-1), C (4;-4;0), D (1;-2;4).

Найти:

А. Координати векторов AB, AC, AD;

Б. Длины ребер AB, AC, AD;

В. Координати ф. I, л=AI:IB=1:5;

Г. Угол между ребрами AC, AD;

Д. Площадь грани ABC;

Е. Объем пирамиды;

Решение:

А. Координаты векторов AB, AC, AD

Положим, что А=А₁, В=А₂, С=А₃ и D=A₄. Тогда координаты векторов находим по формуле:

X = x_j— x_i; Y = y_j— y_i; Z = z_j— z_i

здесь X, Y, Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i— координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j— координаты точки А_j;

Например, для вектора A₁A₂

X = x₂ — x₁; Y = y₂ — y₁; Z = z₂ — z₁

X = -4-(-1); Y = 3-(-2); Z = -1−0

A₁A₂(-3;5;-1)

A₁A₃(5;-2;0);

A₁A₄(2;0;4) .

Ответ: AB (-3;5;-1), AC (5;-2;0), AD (2;0;4).

Б. Длины ребер AB, AC, AD:

Положим: A (x_A, y_A, z_A)=A (-1;-2;0), B (x_B, y_B, z_B)=B (-4;3;-1), C (x_C, y_C, z_C)=C (4;-4;0), D (x_D, y_D, z_D)=D (1;-2;4)

Вычислим длины ребер:

;

Ответ: 5,916, 5,385.

Г. Угол между ребрами AC, AD:

=

Ответ:

Д. Площадь грани ABC:

Ответ: .

Е. Объем пирамиды:

Ответ:

Задание № 18.1

Вариант № 1.

Даны координаты точек А (4;-5), В (9;1), С (5;-1).

Найти:

А) Уравнение прямой AB, AC;

Б) Уравнение высоты CD;

В) Уравнение прямой, которая проходит через точку В паралельно прямой АС;

Г) Угол CAB;

Д) Координати середин сторон треугольника;

Е) Уравнение биссектрисы внутреннего угла А;

Ж) Уравнение медианы, которая проходит через вершину А.

Решение:

А) Уравнение прямой AB, AC:

;

;

В) Уравнение прямой, которая проходит через точку В паралельно прямой АС AC:

Находим угловой коэффициент:

Г) Угол CAB:

Д) Координати середин сторон треугольника:

Найдем точки пересечения медиан со сторонами. Пусть A₁, B₁, C₁ — точки пересечения медиан проведенных из вершин А, В и С соответственно, со сторонами ВС, АС и АВ соответственно. Тогда:

Е) Уравнение биссектрисы внутреннего угла А:

Ж) Уравнение медианы, которая проходит через вершину А:

Задание № 55.1

Вариант № 1.

Задано уравнение эллипса .

Найти:

А) Центр;

Б) Вершини;

В) Полуоси;

Г) Фокусы;

Д) Эксцентриситет;

Е) Уравнение директрис.

Решение:

А) Центр:

Так как уравнение эллипса является каноническим, то координаты центра эллипса совпадают с началом координат.

Ответ: (0, 0);

Б) вершины:

Так как a²=144, а b²=25, то a=12, b=5. Следовательно вершины эллипса А (-12, 0), В (12, 0), С (0, -5), D (0, 5).

В) Полуоси:

Ответ: а=12, b=5.

Г) Фокусы:

Так как фокусы F₁ и F₂ это точки лежащие по обе стороны от центра на расстоянии, то координаты фокусов будут иметь вид F₁(-c, 0), F₂(c, 0), имеем:

определитель матрица уравнение эллипс

отсюда

F₁(-10.9087, 0), F₂(10.9087, 0).

Д) Эксцентриситет:

Е) Уравнение директрис: Если взята каноническая для данной крий прямоугольная система координат, то уравнение директрис d₁, d₂ (соответствующих фокусам F₁, F₂₎ будет соответственно Ответ: (13,2004, — 13,2004).

Література

1. Бубняк Т. И. Высшая математика: Учебное пособие. — М.: «Новый мир -2000 «, 2006

2. Валеев К. Г., Джалладова И. А. Высшая математика: Учеб. пособие: В двух ч. — М. КНЭУ 2002 .

3. Высшая математика: Сборник задач В 2 ч. / Под общ. ред П. П. Овчинников — 2 — е изд. — К.: Техника, 2004 .

4. Высшая математика: Сборник задач: Учеб. пособие / Под ред. В. П. Дубовика, И. И. Юрика. — М., 2003 .

5. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / Руданский Ю. К., Костобий П. П. и др.- г Львов: «Бескет Бит «, 2002.

6. Компьютерная дискретная математика: Учебник / М. Ф. Бондаренко, Н. В. Белоус, А. Г. Руткас. — Харьков: «Компания СМ ИТ «, 2004.

7. Лейфура В. М. Математика. Учебник. — К.: Техника, 2003 .

8. Овчинников П. П., Михайленко В. М.. Высшая математика: Учебник. В 2 ч. — 3 — е изд. — К. :Техника, 2004 .

9. Руданский Ю. К., Костобий П. П. и др.. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учеб. учебник — М.: «Бескет Бит «, 2002. — 262 с

10. Шкиль Н. И. Математический анализ: Учебник: В 2 ч. Ч. 1. — 3 — е изд. — М.: Высшая школа. , 2005 .

11. Шкиль М. И. М атематические анализ: Учебник: В 2 ч. Ч. 2. — 3 — е изд. — М.: Высшая школа. , 2005. — 510 с .