Амебы комплексных плоскостей и разностные уравнения

Определение амебы алгебраической гиперповерхности было сформулировано относительно недавно в известной монографии Гельфанда-Капранова-Зелевинского [13] (1994 г.). Неудивительно, что ввиду фундаментальности понятия амебы оно могло возникнуть и в более ранних исследованиях, связанных с разложением Лорана рациональных функций многих переменных, либо в попытках описать предельные положения алгебраических множеств [10] (1971 г.).

Пионерскими работами по теории амеб являются статьи Форсберга-Пассаре-Циха [12] (2000) и Михалкина [18] (2000). После этих работ появилось множество других, связанных как с описанием самих амеб (Михалкин-Рульгорд [19], Энрикес [15], Теобальд [24], Нисс [20]), так и с их применением в теории димеров (Кеньон-Окуньков-Шеффилд [17]), в теории расширений неархимедовых нолей (Айнзидлер-Капранов-Линд [11]), и др. Благодаря этим работам получило существенное развитие новое направление — тропическая геометрия (Капранов, Штурмфельс, Михалкин и др.) Недавно, Лейнартасом-Пассаре-Цихом [5] (2005) теория амеб была применена к исследованию асимптотик многомерных разностных уравнений, играющих важную роль в теории обработки цифровых сигналов, в частности, при исследовании устойчивости цифровых рекурсивных фильтров [9].

Несмотря на обилие работ по тематике, лишь в С2 хорошо исследована структура амеб и развиты методы их построения, а в n-мерной ситуации многие фундаментальные вопросы остаются неисследованными. Например, строение контура амеб даже для плоскостей произвольной размерности пока неизвестно (в данной работе полностью исследованы два крайних случая — размерности 1 и коразмерности 1).

Цель диссертации состоит в описании контуров амеб для поверхностей произвольной коразмерности, их логарифмического отображения Гаусса, а также исследовании критических точек мономиальпых функций и приложении полученных результатов к описанию асимптотики решений разностных уравнений.

Исследование контуров амеб комплексных плоскостей проводится с использованием понятия компактифицированной амебы [12] и логарифмического отображения Гаусса [16]. Для формулировки теоремы о контурах амеб произвольных поверхностей понятие логарифмического отображения Гаусса обобщается на случай поверхностей произвольной коразмерности.

Критические точки мономиальных функций исследуются с привлечением теории Морса [6]. В основе исследований асимптотики решений разностных уравнений лежит результат Лейнартаса-Пассаре-Циха — многомерная версия теоремы Пуанкаре для систем разностных уравнений с переменными коэффициентами [5], а также теория многомерных вычетов и некоторые факты топологии гиперповерхностей в комплексном торе [2].

Перейдем к изложению основных результатов диссертации, опубликованных в статьях [25]-[28].

Первая глава посвящена изучению контуров амеб различных поверхностей. Мы будем рассматривать поверхности в (С{0})п, поэтому введем для этого множества специальное обозначение.

Г = (С{0})п. и будем называть его комплексным n-мерным тором.

Понятие амебы, впервые введенное Гельфандом-Капрановым-Зеле-винским для гиперповерхности в [13], без изменений можно перенести на произвольное алгебраическое множество [21].

Определение. Амебой Лу алгебраического множества V С Т" называется образ V при логарифмическом отображении Log: Tn —> М", действующем по формуле:

Log: (zb., zn) -f (1одг} |,., logzn).

Важным при изучении амеб является понятие контура амебы [21].

Определение. Контуром амебы Лу называется множество Су критических точек логарифмического отображения Log, суженного на V:

Log: V —> Rn.

Строение контура описывается с помощью логарифмического отображения Гаусса. В данной работе понятие логарифмического отображения Гаусса, введенное Капрановым в [16] для гиперповерхностей, обобщается на случай поверхности V коразмерности к.

Определение. Пусть Gv (n, k) — грассманиан /г-мерных подпространств в Сп. Логарифмическим отображением Гаусса назовем отображение 7: V —> Gr (n, k), которое каждой гладкой точке z? reg V ставит в соответствие нормальное подпространство 7(z) к образу log У.

В случае гиперповерхности в торе.

V = {z е Г: f{z) = 0} т. е. в случае, когда к = 1 и, тем самым, Gr (n, 1) = CPrai) логарифмическое отображение Гаусса 7: V —> CP"i имеет следующий аналитический вид:

Теорема [18], [24]. Точка гиперповерхности V является критической для отображения Logv тогда и только тогда, когда ее образ при логарифмическом отображении Гаусса леснсит в действительном проективном подпространстве МРП.

1 С СРП1.

Таким образом, контур Су амебы Ау гиперповерхности есть множество Log (7−1(MPn-i)).

Граница амебы дАу для гиперповерхности V всегда входит в контур Су, но в общем случае не совпадает с ним. Поэтому границу дАу мы назовем внешней частью контура, а дополнение Су дАу — внутренней частью.

Описание контура амебы поверхности произвольной коразмерности является трудной задачей. Определенные затруднения вызывает уже построение амебы гиперплоскости в С3. Поэтому в первой главе вначале подробно изучаются две крайние ситуации:

1) случай гиперплоскости в Сп и.

2) случай комплексной прямой в С" .

В обоих случаях описание строения контура амебы дается в явном виде, однако в случае гиперплоскости это удается сделать лишь с привлечением понятия компактифицированной амебы [12].

Определение. Компактифицированной амебой Ау проективного алгебраического многообразия V С СРп, заданного в однородных координатах (Z0: ¦ ¦ ¦: Z"), называется образ этого многообразия при моментном отображении /х: СР&bdquo- —> Еп.

7.. 7 ' ' ' ' в стандартный симплекс Е&bdquo- = {? € En+1: tj ^ 0, to———h tn = 1}.

Для компактифицированной амебы аналогично определяется ее контур, как образ множества критических точек проекции Log|v при моментном отображении ц.

В параграфе 1.1 доказывается теорема, описывающая строение контура компактифицированной амебы гиперплоскости (данное утверждение является усилением предложения 4.2 из [12]).

Теорема 1.1. Компактифицированная амеба Ау гиперплоскости.

V = {z е Г: / = bo + blZl + -. + bnzn = 0}, bj ф 0, есть n-мерный многогранник в симплексе Еп с 2(n + 1) гипергранями, заданный условиями п.

Ц > о, ti = 1, Pjtj ^ Pjtk, j = 0,., n, гс>е pj — bj. Внешняя часть контура амебы (т.е. лежащая на границе дАу) состоит из п + 1 симплициальных граней Ау: t? ?": Pjtj = fatk >, j = 0, • • •, n,.

I Mi J, а внутренняя часть — из 2n — n — 2 многогранников вида С {0,., п}, 2.