Линейная регрессия

КонтрольнаяПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R2 к 1, тем выше качество модели. Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при… Читать ещё >

Линейная регрессия (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Всероссийский Заочный Финансово-Экономический институт Филиал г. Тула

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант 8

Выполнила:

Проверил:

Тула

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.).

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощьюкритерия Фишера, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Вариант 8

Решение:

1. Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:

Таблица 1


*№наблюдения*	X	Y	X²	*X?Y*










*Сумма*
*Ср. значение*	13,3	21,9	216,1	321,1

Найдем b:

Тогда

Уравнение линейной регрессии имеет вид: y_x =11,779+0,761x.

Коэффициент регрессии показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 761 тыс. рублей.

2. Вычислим остатки при помощи. Получим:

Таблица 2


*ВЫВОД ОСТАТКА*
*Наблюдение*		Остатки
	24,72	1,284	1,649
	28,52	— 1,521	2,313
	19,39	2,611	6,817
	17,11	1,894	3,587
	20,91	0,089	0,008
	27,76	— 1,76	3,098
	22,43	— 2,433	5,919
	17,11	— 2,106	4,435
		3,001	9,006
	14,06	— 1,062	1,128
*Сумма*		— 0,003	37,961

Найдем остаточную сумму квадратов:

Дисперсия остатков равна:

График остатков имеет следующий вид:

График 1

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

· Случайный характер остатков.

Случайный характер остатков ?_i проверяется по графику. Как видно из графика 1 в расположении точек ?_i нет направленности (на графике получена горизонтальная полоса). Следовательно, ?_i — случайные величины и применение МНК оправдано.

· Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.

Так как расположение остатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от значений фактора x_i. Следовательно, модель адекватна.

· Проверка гомоскедастичности остатков.

Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем метод Голдфельда — Квандта.

1) Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.

2) Разделим на две группы — с большим и меньшим x, и для каждой группы определим уравнения регрессии.

Таблица 3


	х	y	*x· y*	x²	y	?_{i=y_{i-y_i}}	?²
					13,181	— 0,181	0,033
					17,197	1,803	3,251
					17,197	— 2,197	4,827
					20,209	1,791	3,208
					22,217	— 1,217	1,481
*Сумма*							12,799
*Ср.знач*	7,8		149,8	70,2
	х	y	*x· y*	x²	y	?_{i=y_{i-y_i}}	?²
					21,672	— 1,672	2,796
					24,252	1,748	3,056
					26,832	3,168	10,036
					27,692	— 1,692	2,863
					28,552	— 1,552	2,409
*Сумма*							21,159
*Ср.знач*	18,8	25,8	492,4

3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.

4) Вычислим Fраспределения.

F_набл=S_2y/S_1y =1,653.

5) Произведем сравнение F_набл и F_табл.

1,653<5,32 (при k₁=1 и k₂=n-2=10−2=8), следовательно, гетероскедастичность места не имеет, т. е. дисперсия остатков гомоскедастична.

· Отсутствие автокорреляции.

Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина — Уотсона:

Таблица 4


	?_i	?_i-1	?_{i- ?_i-1}	(?_{i- ?_i-1)²}
	1,284
	— 1,521	1,284	— 2,805	7,868
	2,611	— 1,521	4,132	17,073
	1,894	2,611	— 0,717	0,5141
	0,089	1,894	— 1,805	3,258
	— 1,760	0,089	— 1,849	3,4188
	— 2,433	— 1,760	— 0,673	0,4529
	— 2,106	— 2,433	0,327	0,1069
	3,001	— 2,106	5,107	26,081
	— 1,062	3,001	— 4,063	16,508
*Сумма*				75,282

; d=75,282/37,961=1,983.

Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.

· Остатки подчиняются нормальному закону распределения.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

; ,

где

Тогда,; и

t_табл=2,3060 (при 10−2=8 степенях свободы); t_а и t_b> t_табл, что говорит о значимости параметров модели.

5. Коэффициент детерминации находится по формуле:

Данные возьмем из таблицы 5:

Таблица 5


№	x	y
			3,7	4,1	13,69	16,81	1,284	4,938
			8,7	5,1	75,69	26,01	— 1,521	5,633
			— 3,3	0,1	10,89	0,01	2,611	11,868
			— 6,3	— 2,9	39,69	8,41	1,894	9,968
			— 1,3	— 0,9	1,69	0,81	0,089	0,424
			7,7	4,1	59,29	16,81	— 1,760	6,769
			0,7	— 1,9	0,49	3,61	— 2,433	12,165
			— 6,3	— 6,9	39,69	47,61	— 2,106	14,040
			6,7	8,1	44,89	65,61	3,001	10,003
			— 10,3	— 8,9	106,09	79,21	— 1,062	8,169
*Сумма*					392,1	264,9		83,979
*Ср. знач.*	13,3	21,9

Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:

F_табл=5,32 (k₁=1, k₂=8 степенями свободы) ;

F>F_табл, что говорит о значимости уравнения регрессии.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:

;

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.

Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет хорошее качество.

6. Ширина доверительного интервала находится по формулам:

где t_?=1,86 при m=n-2=8 и ?=0,1

Т.о.

Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513

Нижн. граница: 25,173−4,34=20,833

Таблица 6


Нижняя граница	Прогноз	Верхняя граница
20,83	25,17	29,51

7. Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2.

График 2

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

· Гиперболической Уравнение показательной кривой имеет вид: y = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х.

Тогда уравнение примет вид: y = a + bХлинейное уравнение регрессии.

Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6

Таблица 7


№	y	x	X	X²	Xy	y	?_i	?_i²
			0,0588	0,0035	1,5294	24,41	1,59	2,52	6,11
			0,0455	0,0021	1,2273	25,10	1,90	3,61	7,04
			0,1000	0,0100	2,2000	22,29	— 0,29	0,09	1,33
			0,1429	0,0204	2,7143	20,09	— 1,09	1,18	5,72
			0,0833	0,0069	1,7500	23,15	— 2,15	4,63	10,24
			0,0476	0,0023	1,2381	24,99	1,01	1,02	3,89
			0,0714	0,0051	1,4286	23,76	— 3,76	14,16	18,82
			0,1429	0,0204	2,1429	20,09	— 5,09	25,88	33,91
			0,0500	0,0025	1,5000	24,87	5,13	26,35	17,11
			0,3333	0,1111	4,3333	10,28	2,72	7,38	20,90
Сумма			1,0757	0,1843	20,0638			86,82	125,07
Ср.знач.	21,9	13,3	0,1076	0,0184	2,0064

Значение параметров, а и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид y = 27,44 — 51,47 X.

Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической модели:

График 3

Степенная Уравнение степенной модели имеет вид: y = a · x^b

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg y = lg a + b lg x

Обозначим Y = lg y; A = lg a; X = lg x

Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX — линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:

Таблица 8


№	y	x	Y	X	YX	X²	y	?_i	?_i²
			1,4150	1,2304	1,7411	1,5140	24,545	1,45	2,12	5,60
			1,4314	1,3424	1,9215	1,8021	27,142	— 0,14	0,02	0,52
			1,3424	1,0000	1,3424	1,0000	19,957	2,04	4,17	9,29
			1,2788	0,8451	1,0807	0,7142	17,365	1,63	2,67	8,60
			1,3222	1,0792	1,4269	1,1646	21,427	— 0,43	0,18	2,04
			1,4150	1,3222	1,8709	1,7483	26,654	— 0,65	0,43	2,51
			1,3010	1,1461	1,4911	1,3136	22,755	— 2,76	7,59	13,78
			1,1761	0,8451	0,9939	0,7142	17,365	— 2,37	5,59	15,77
			1,4771	1,3010	1,9218	1,6927	26,151	3,85	14,81	12,83
			1,1139	0,4771	0,5315	0,2276	12,479	0,52	0,27	4,01
Сумма			13,2729	10,5887	14,3218	11,8913			37,86	74,94
Ср.знач.	21,9	13,3	1,3273	1,0589	1,4322	1,1891

Значение параметров, А и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

y=10^0,91 ^· x^0,39

y =8,13 · x^0,39.

График 4

· Показательная Уравнение показательной кривой имеет вид: y = a · b^x

lg y = lg a + x lg b

Обозначим Y = lg y; A = lg a; B = lg b

Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx — линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.

Таблица 9


№наблюдения	y	x	Y	Yx	x²	y	?_i	?_i²
			1,4150	24,0545		24,564	1,436	2,06	5,52
			1,4314	31,4900		29,600	— 2,600	6,76	9,63
			1,3424	13,4242		18,920	3,080	9,49	14,00
			1,2788	8,9513		16,917	2,083	4,34	10,96
			1,3222	15,8666		20,385	0,615	0,38	2,93
			1,4150	29,7144		28,516	— 2,516	6,33	9,68
			1,3010	18,2144		21,964	— 1,964	3,86	9,82
			1,1761	8,2326		16,917	— 1,917	3,68	12,78
			1,4771	29,5424		27,472	2,528	6,39	8,43
			1,1139	3,3418		14,573	— 1,573	2,47	12,10
Сумма			13,2729	182,8324				45,75	95,84
Ср.знач.	21,9	13,3	1,3273	18,2832	216,1

Значение параметров, А и B линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

y =10^1,115· (10^0,016)^x;

y =13,03· 1,038^x.

График 5

9. Для указанных моделей найти: R² — коэффициент детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации А.

для всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).

· Степенная модель (см. таблицу 8):

;

· Показательная модель (см. таблицу 9):

;

· Гиперболическая модель (см. таблицу 7):

Таблица 10


Параметры Модели	Коэффициент детерминации R²	Средняя относительная ошибка аппроксимации А
1. Степенная	0,857	7,5
2. Показательная	0,827	9,6
3. Гиперболическая	0,672	12,5

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R² к 1, тем выше качество модели.

Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.

При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R² и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать лучшей.

Задача 2

Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Таблица 1

№ варианта

№ уравнения

Задача 2а

Задача 2б

переменные

y₁

y₂

y₃

x₁

x₂

x₃

x₄

y₁

y₂

y₃

x₁

x₂

x₃

x₄

— 1

b₁₂

b₁₃

a₁₂

a₁₃

— 1

b₁₃

a₁₁

a₁₃

a₁₄

— 1

b₂₃

a₂₁

a₂₂

a₂₄

b₂₁

— 1

b₂₃

a₂₂

a₂₄

b₃₂

— 1

a₃₁

a₃₂

a₃₃

b₃₁

— 1

a₃₁

a₃₃

a₃₄

Решение

2а), тогда система уравнений будет иметь вид:

Модель имеет 3 эндогенные (y₁, y₂, y₃) и 4 экзогенные (x₁, x₂, x₃, x₄) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y_{1= b_{12y_{2+b_{13y_{3+a_{12x_{2+a_{13x_3;}}}}}}}}

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_1, y_2, y₃; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: х_1, х₄; D=2

2+1=3 — условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют х_1, х₄. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:

Таблица 2


Уравнение	переменные
	х₁	х₄
	a₂₁	a₂₄
	a₃₁

Найдем определитель:, ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

1-ое уравнение идентифицируемо.

2 уравнение: y_{2= b_{2_{3 y_{3+a_{2_{1x_{1+a_{22x_{2+a_{24x_{4 ;}}}}}}}}}}}

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_2, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₃; D=1

1+1=2 — условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y_1, х₃. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:

Таблица 3


Уравнение	переменные
	y₁	х₃
	— 1	a₁₃
		a₃₃

Найдем определитель:, ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y_{3= b_{32y_{2+a_{31x_{1+a_{32x_{2+a_{33x_3;}}}}}}}}

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_2, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₄; D=1

1+1=2 — условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y_1, х₄. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:

Таблица 4


Уравнение	переменные
	х₁	х₄
	— 1
		a₂₄

Найдем определитель:, ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

3-е уравнение идентифицируемо.

В целом вся система уравнений является идентифицируемой.

Решение

2б) ,

Тогда система уравнений будет иметь вид:

1 уравнение: y_{1= b_{13y_{3+a_{11x_{1+a_{13x_{3+a_{14x_4;}}}}}}}}

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_1, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₂; D=1

1+1=2 — условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y₂, х₂. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:

Таблица 5


Уравнение	переменные
	y₂	х₂
	— 1	a₂₂

Найдем определитель:, следовательно, условие достаточности НЕ выполнено.

1-ое уравнение НЕидентифицируемо.

2 уравнение: y_{2= b_{11 y_{1+b_{2_{3y_{3+a_{22x_{2+a_{24x_{4 ;}}}}}}}}}}

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y₁, y_2, y₃; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: x₁, х₃; D=2

2+1=3 — условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют x_1, х₃. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:

Таблица 6


Уравнение	переменные
	x₁	х₃
	a₁₁	a₁₃
	a₃₁	a₃₃

Найдем определитель:, ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y_{3= b_{3_{1y_{2+a_{31x_{1+a_{3_{3x_{3+a_{3_{4x_4;}}}}}}}}}}}

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y₁_, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₂; D=1

1+1=2 — условие необходимости выполнено.

Таблица 7


Уравнение	переменные
	y₂	х₂

	— 1	a₂₂

Найдем определитель:, следовательно, условие достаточности НЕ выполнено

3-е уравнение НЕидентифицируемо.

В целом вся система уравнений является НЕидентифицируемой, так как первое и третье уравнение — НЕидентифицируемы.

2в) По данным, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y₁=a₀₁+b₁₂y₂+a₁₁x₁+?₁;

y₂=a₀₂+b₂₁y₁+a₂₂x₂+?₂

Таблица 8


Вариант	n	y₁	y₂	x₁	x₂
		51.3	39.4
		112.4	77.9
		67.5	45.2
		51.4	37.7
		99.3	66.1
		57.1	39.6

Решение

1) Структурную форму модели (СФМ) преобразуем в приведенную форму модели (ПФМ):

Для этого из второго уравнения выражаем y₂ и подставляем его в первое, а из первого выражаем y₁ и подставляем его во второе уравнение. Получим:

y₁=?₁₁x₁+ ?₁₂x₂+u_1;

y₂=?₂₁x₁+ ?₂₂x₂+u₂,

где u₁ и u₁ -случайные ошибки ПФМ.

Здесь

2) В каждом уравнение ПФМ с помощью МНК определим? — коэффициент.

Для первого уравнения:

Для решения системы уравнений требуются вспомогательные расчеты, которые представлены в таблице 9, 10.

Таблица 9


n	y₁	y₂	x₁	x₂
	51,3	39,4
	112,4	77,9
	67,5	45,2
	51,4	37,7
	99,3	66,1
	57,1	39,6
Сумма		305,9
Сред. знач.	73,17	50,98	5,67	6,67

Для упрощения расчетов удобнее работать с отклонениями от средних уровней:

?у = у — у_ср; ?х = х — х_ср

Таблица 10


n	?y₁	?y₂	?x₁	?x₂	?y₁?x₁	?x₁²	?x₁?x₂	?y₁?x₂	?y₂?x₁	?y₂?x₂	?x₂²
	— 21,9	— 11,6	— 2,7	3,3	58,31	7,11	— 8,89	— 72,89	30,89	— 38,61	11,11
	39,2	26,9	4,3	6,3	170,0	18,78	27,44	248,48	116,64	170,47	40,11
	— 5,7	— 5,8	— 0,7	— 3,7	3,78	0,44	2,44	20,78	3,86	21,21	13,44
	— 21,8	— 13,3	— 2,7	0,3	58,04	7,11	— 0,89	— 7,26	35,42	— 4,43	0,11
	26,1	15,1	3,3	— 0,7	87,11	11,11	— 2,22	— 17,42	50,39	— 10,08	0,44
	— 16,1	— 11,4	— 1,7	— 5,7	26,78	2,78	9,44	91,04	18,97	64,51	32,11
	— 0,2	— 0,1	— 0,2	— 0,2	404,03	47,33	27,33	262,73	256,17	203,07	97,33

С учетом приведенных данных получим:

404,03 = 47,33?₁₁ + 27,33?₁₂

262,73 = 27,33?₁₁ + 97,33?₁₂

?₁₂ = 0,36;

С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:

y₁ = 8,33х₁ + 0,36х₂ + u₁

Для второго уравнения определим? — коэффициент с помощью МНК:

Для дальнейших расчетов данные берем из таблицы 9, 10. Получим:

256,17=47,33?₂₁+27,33?₂₂

203,07=27,33?₂₁+97,33?₂₂

?₂₂ = 0,68;

Второе уравнение ПФМ примет вид:

у₂ = 5,02х₁ + 0,68х₂ + u₂

3) Выполним переход от ПФМ к СПФМ. Для этого из последнего уравнения найдем х₂:

Найденное х₂ подставим в первое уравнение.

тогда b₁₂=0,53; a₁₁=5, 67

Из первого уравнения ПФМ найдем х₁

Подставим во второе уравнение ПФМ

тогда b₂₁=0,6; a₂₂=0,46

4) Свободные члены СФМ найдем из уравнения:

а₀₁ = у_1ср — b₁₂у_2ср — а₁₁х_1ср = 73,17 — 0,53 50,98 — 5,67 5,67 = 14,00;

а₀₂ = у_2ср — b₂₁у_1ср — а₂₂х_2ср = 50,98 — 0,6 73,17 — 0,46 6,67 = 4,00.

5) Записываем СФМ в окончательном виде:

y₁=a₀₁ + b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + ?₁;

y₂=a₀₂ + b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + ?₂.

y₁ =14 + 0,53y₂ + 5,67x₁ + ?₁;

y₂ = 4 + 0,6y₁ + 0,46x₂ + ?₂_.

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой