Задачи для самостоятельного решения

Дискретные двумерные случайные величины

7.1. По таблице совместного распределения найти: а) условное распределение Е, при условии ц = 0; б) условное распределение г] при условии ?, = 0; в) функцию регрессии Е, по ц; г) функцию регрессии ц по Е,.

7.2. По таблице совместного распределения найти: а) условное распределение Е, при условии ц = 2; б) условное распределение ц при условии Е, = -1; в) функцию регрессии по ц; г) функцию регрессии ц по Е,.

Непрерывные двумерные случайные величины

• 7.3. Совместное распределение Е, и ц является равномерным в треугольнике х > 0, у > 0, у < 2 — х. Найти:
  • а) вероятность Р{0 < ^ < 1, 0 < ц < 1};
  • б) значение совместной функции распределения в точке (1; 1);
  • в) плотности р*(х) и р_п(у) случайных величин Е, и ц;
  • г) вероятность?^ > ц).
• 7.4. Случайные величины Е, и ц независимы и равномерно распределены на отрезм [0; 1]. Найти вероятность: а) Р (Е, > ц); б) Р (Е, + г) < 1);

^B)pb^>i}

7.5. Совместная плотность двух случайных величин равна.

Найти: а) коэффициент а; б) плотности р_?(х) и р_п(у) случайных величин Е, иг).

• 7.6. Случайные величины Е, и ц независимы и равномерно распределены в треугольнике 1 > у > х > 0. Найти математические ожидания ME, Мг, М (Е, г).
• 7.7. Дана функция распределения двумерной случайной величины

Найти: а) двумерную плотность распределения; б) плотность распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих; г) вероятность попадания случайной точки (?; г) в треугольник с вершинами 0(0; 0), Л (0; 1), В{ 1; 0).

7.8. Для двумерной плотности распределения.

найти функцию регрессии i; по ц и математическое ожидание М?.

7.9. Совместная плотность распределения двух равномерно распреде;

_Л [а, х²<�у0,.

ленных случайных величин равна p_t, (х, у) = < Наити:

[О, иначе.

• а) коэффициент а;
• б) математические ожидания М?, г), М (^+ц), М (^² +г|²), М (^ + ц)².
• 7.10. Совместная плотность распределения двух равномерно рас-

Га, 0<�у<1,0<�х<2,.

пред елейных случайных величин равна р_{? п}(х, у)=<

Найти: [0,иначе.

• а) коэффициент а;
• б) вероятность попадания случайной точки (^, ц) в область (х-1)² < <�У<1.
• 7.11. Совместная плотность распределения двух случайных величин

«ае~^х~У, х, у>0,.

равна р_? «(х, у) = 4 Наити:

[0, иначе.

• а) коэффициент а;
• б) вероятность попадания случайной точки (%, ц) в треугольник с вершинами А (0; 0); В (0; 2), С (2; 0).
• 7.12. Для двумерной плотности распределения р^ _п(х, у) =

[2е~^х~²У, х, у >0,.

-< ' ' найти ковариационную матрицу cov (^, r|).

[0, иначе.

7.13. Совместная плотность распределения двух равномерно распре;

{1,0<�у<1,0<�х<1,.

деленных случайных величин равна р_Е «(х, у) = <

[0, иначе.

Найти вероятность Р{^+г<�а}.

7.14. Совместная плотность распределения двух равномерно распре;

fa, l<|x|<2, 0<�у<1,.

деленных случайных величин равна р?"(х, у) = ^.

[0, иначе.

Найти: а) коэффициент a;

• б) вероятность Р{Д-г|>а}.
• 7.15. Известна двумерная плотность распределения р^_п(х, у) —

/0,5, хе[0;2], уе[0;1]. «.

• (0, иначе.
• а) условные плотности распределения р?|_П(х|у), р_п^(у|х);
• б) функции регрессии ф^_п(у), ф_л^(х);
• в) условные дисперсии D (?| г) -у), D (ri |? = х).
• 7.16. Составить совместную плотность распределения вероятностей для вектора (?, ц), если случайные величины и ц имеют равномерные распределения ?, ~ {7(0, а), ц ~ 1/(0, Ь). Найти все условные математические ожидания и дисперсии.
• 7.17. Пусть случайные величины 2, и ц нормально распределены, % ~ ~ N (1, 4), r ~ JV (2, 9), и зависимы с коэффициентом корреляции 0,9. Найти условное математическое ожидание M (i; | ц = у) и дисперсию
• 0(51л =У) —
• 7.18. Для двумерной плотности распределения р^ _п(х, у) =

[8е-^4х~²У, х, у> 0, «.

=(наити:

• (0, иначе
• а) условные плотности распределения Р;|_л(х|у), р_п^(у|х);
• б) функцию регрессии Фг, | _п (У) ^и математическое ожидание М%.
• 7.19. Известна двумерная плотность распределения р^ (х, у) = = 2хе~->', 0<�х<1, у >0. Найти:
  • а) условные плотности распределения р?|_л(х|у), р_п^(у|х);
  • б) функции регрессии Ф^|_л(у), Ф^М.
• 7.20. Известна двумерная плотность распределения р^ (х, у) = = (2х+у)е~^2х-У, х, у>0. Найти условные плотности распределения
• 7.21. Зная двумерную плотность распределения р^_;П1(х, у) =

[0,5 + Злу², х, у е [0; 1], «.

=< наити:

[0, иначе,.

• а) условные плотности распределения р^_п(х|у), р_л^(у|х);
• б) функции регрессии Ф^|_Ч(У), Ф_П|§ М-
• 7.22. Известна двумерная плотность распределения р^ _п(х, у) = 2

" [0<�х<1,.

в области < Наити и построить условную функцию распреде;

[0<�у <1-х.

ления F^_n(x|y) для трех значений ту а) 0; б) 0,5; в) 1,0.

7.23. Зная двумерную плотность распределения.

найти и графически построить функцию регрессии ?, по ц, найти математическое ожидание М?.

7.24. Для двумерной плотности распределения.

найти и графически построить условную функцию распределения А|Г|(х|у) для трех значений р: а) 0; б) 0,5; в) 1.

7.25. Пусть векторы х = (х_1; х₂)^т, у = (у, у₂)⁷' связаны соотношением у = Ах, где А — матрица 2×2. При замене вектора х на вектор у в двойном интеграле дифференциалы dx и dy связываются равенством dx =.

D (х х 1.

= | I1 dy, где 111 =-———-якобиан перехода. Найти его величину.

ЖУъУг).

• 7.26. Пусть Е_2х2 — диагональная ковариационная матрица с диагональными элементами of и of соответственно, х = (х_г, х₂)^т — вектор.
• 2 ^*2

Доказать, что х^тЕ^_1х = .

i=i erf.

• 7.27. Пусть независимые векторы ^ и г| с разными дисперсиями erf и of имеют ковариационную матрицу I. Найти симметричную матрицу, А и ее определитель | А| из матричного уравнения АА^Т =?.
• (of ГО, О2 |
• 7.28. Пусть Е= —ковариационная матрица зависи-
• 1/0,02 Of )

мых векторов и г| с коэффициентом корреляции г. Матрица второго порядка А такова, что АА^Т = I. Найти определитель |А |.

/9 Л.

Of, /'О, о₂

7.29. Пусть 1= — ковариационная матрица, х =.

/^ст1 ^ст₂ ег_{22 }}

= (xj, х₂У — вектор. Доказать, что х^тЕ^_1х =. ^ (-Щ—2г ^XlXl +—^~ ,

л/1-гЧ^СТ11 ^а1^СТ2 °22.

где г — коэффициент корреляции.