Ответы. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Глава 1.

• 1.1. Cl =84.
• 1.2. C|₀= 4060.
• 1.3. C_a⁵_s= 3003.
• 1.4. a) Cf₆ =630; 6) C| =36; в) C² =6.
• 1.5. C^₅ =105.
• 1.6.10−9-Cf =5040.
• 1.7. Cf₀₀-C|₅ «4 10¹⁵.
• 1.8. C%Cl =30.
• 1.9. C|₅C|₂= 531 300.
• 1.10. C|Cf= 400.
• 1.11. c? c| +qc| +cfc? =c₁⁶₁ -c| =406.
• 1.12. 3CfC^C| +3!C⁴C²C' +3CfC²C² =236 544.
• 1.13. 6².
• 1.14. 33.
• 1.15. 3¹⁰.
• 1.16. 7⁵.
• 1.17. 57; 7 • 4⁶.
• 1.18. 4⁶.
• 1.19. 28.
• 1.20. 10⁵.
• 1.21. 10⁶.
• 1.22. 3¹⁰-3.
• 1.23. 10⁴ — 8⁴ = 5904.
• 1.24. 2(10⁴ — 9⁴) — (10⁴ — 8⁴) = 974.
• 1.25. 15!
• 1.26. 2 • 8! = 80 640.
• 1.27. 2 • 7 • 8! = 564 480.
• 1.28. 3A| =36.
• 1.29. Л|₅ =13 800.
• 1.30. A⁴₀=5040.
• 1.31. CfoCfClAf =846 720.
• 1.32. a) AgAg =2520; 6) AgAgA²A| =2376.

• 10'
• 1.33. P₁₀(5,5) =-= 252.
• 5! 5!

_ 121 — 121.

1.34. a) P₁₂(4,4,4) =-^ = 831 600; 6) P₁₂(3,4,5)=-— = 27 720

^LZ ' (4!)3 ' ' 3!4!5!

_ i2l.

• в) P₁₂(3,4,5) = 3! ' =166 320.
• 3! 4! 5!
• 1.35. 4! P₁₀(4,3,2,1) = 4!——— = 302 400.
• 4!3!2!1!
• 1.36. Pg (2,2,2,2) =-^— = 2520.
• (2!)⁴
• 1.37. || P₆ (3,3,0) + 3 !• P₆ (3,2,1) = 420.
• 1.38. ±|P₆(3,1,1,D+^^(3,3,0,0) + 4!-P₆(3,2,1,0) = 2040.
• 1.39. 2P₁₀(6,4)-6!-4! = 7 257 600.
• 1.40. Cf =Cf =35.
• 1.41. a) Cf =28; 6) C²₀ =С_а²_г =55.
• 1.42. a) С⁴_г =330; 6) C⁴₃ =C⁴₆ =1820.
• 1.43. а) Щ = C? =28; б) Щ -7 = 21.
• 1.44. Cfo =C?₂ -220; 6) C²₀ -55 = 165.
• 1+I (C²)2
• 1.45. —-«0,0016.
• 10⁶

Глава 2.

• 2.1. ppp, ppr, prp, prr, rpp, rpr, rrp, rrr.
• 14 4'
• 2-²-^aV⁶⁾^^;BV

^{c? cc}

^{2.3. a) -^-«0,083; 6) -^- = 0,5.}

^{C 2 Г 2}

^{v_"^ ^9}

^c>c?

^{2.4. -^-«0,429.}

^c₈4

2 5 c₃³⁺q+c₅³ 68,.

Г³

^LT2.

cf.+cict

2.6. Пусть мешок содержит 20 кг картофеля. Тогда ——_ -0,75.

^20

• 2.7. -^-*0,101.
• 10⁶
• 2.8. ⁴^40⁾³^40 ~р 243.

С?бо.

2.9 18.

Ю¹⁰

4(ф³С| +^(ф²(ф2 2.10.—*0,516.

Ф

• 211 Cg+Cj+Cg 11
• 2⁶ 32'
• 2>81 2'8' 2'81
• 2.12. а) 9——= 0,2; б) 8—^*0,178; в) 7—-0,156.
• 10! 10! 10!

С⁶

2.13. —1-«7−10~⁸.

Ф

2 ^10^{990 +} ЙоФо ⁺ ^10⁹⁹⁰ .Q од С?000.

2.15. a) l^-f~l =0,99; n>4;6)l-f||j =0,99; п>164.

С³ С⁴

2.16. а) 1—1^*0,702; б) 1—^-«0,390.

рЗ р4

^ь36 ^ь36.

о ч А³0 18 ~ 8 1, А$ 3. С1С|3! 3.

'^а 10^3_25' 10^{3 _}125'^В З^{10 _}50'^Г З^{10 _}10'.

_2Л8.а,^=Т;6)3^≠А.

Afo 42 Af" 21.

• 2.19. a) 6)1 -Ж.
• 10″ > 10‘"

• 2.20. a) = Ю'¹⁰; б) — = 10-⁹; в) ^pio (M, l, l, l, l, l, l, l, D ₌ JHH Ю¹⁰ 10¹⁰ 10¹⁰ Ю¹⁰
• 1Q-9P₁₀(2,1,1 1,1,1,1,1,1)

Ю¹⁰

• 221 4^(2,1,1,1) _ 15 4^s 64'
• 2.22. p₅₌^а, 1, и, 1,1)_и0>0384. _Рб=₅^(2'1ДДДД)_а0Д152;
• — = 3. Повысится в три раза.

Рз

2.23. а) 3! Рва2,3) ₊ 3! Р₆(0,2,4)₊3!Р₆(0,1,5)_а0 667;

З⁶

Р₆(4,Ы)₊2Р₆(4,2,0).

• 36
• в) 3! Р₆(1,2,3) + Р₆ (2,2,2) + ЗР₆(4,1,1), _{Q ?4Q}

З⁶

₂.24. а) адМ _{= 0}, 444; б) 3?₄(2.1," + ЗР₄(2,2,0).

з⁴ з⁴

_в)^|М),₀, 222;_Г,^й|М, 0,444;

Р₄(2,1,1)+2Р₄(2,2,0).

З⁴

• 2.25. 0,250.
• 2.26. 0,444.
• 2.27. 0,190.
• 2.28. а) 2-Ю; б) 6-ю.
• (llY
• 2.29.1- — *0,160.

{l2J

• 2.30. 0,879.
• 2.31. —.
• 8
• 2.32.

а²

• 2.33. a) ABC; б) A + В + С; в) AB+AC + ВС; r) ABC+ABC + ABC; д) ABC+ABC+ABC; e) ABC; ж) ABC.
• 2.34. a) Q; 6) 0.
• 2.35. Внимания потребуют: а) все три станка; б) хотя бы один станок; в) только один станок; г) два станка; д) ни один станок.
• 2.36. а) АВС+АВС + АВС; б) АВС; в) АВС.
• 2.37. a) Р (АВС) = Р (А)Р (В|А)Р (С|АВ)=——-=^;
• 8 7 6 7

гннннггг.

• 2.38. а)^±5≠1_;б,^₌А.
• 8! 7 8! 14
• 2.39. Р (АВ) = Р (А)Р (В I А) = —.
• 5 4 10
• 2.40. а) Р (В | А) = ^'^5! = «0,099;

Ло Л⁵о А⁵

Р (АВ) = Р (А)Р (В I А) = ^?Р (В I А) = 0,03;

• 1 -1 -Г³.А²А³ А⁵
• б) Р (ВI А)=-^—-=-ф-*0,222; Р (АВ)=—^Р (В| А) «0,0672.

Ло Л⁵о ¹⁰⁵

С² А² А⁴

• 2.41. а) Р (В | А) = ^{6 3}/* =0,536;
• б) Р (АВ) = Р (А)Р (В | А) = ^ Р (В I А) = 0,041.
• 2.42. а) Р (В| А) =¹'¹ '^С* '^5! «О, 476; б) Р (АВ)=^-Р (В| А)*0,071.

С|-5! 7⁵

flf2 ₊ /-2fl _Г3.

• 2.43. а) Р (В|А) = ^{7 5} з ^{7 5} «0,795; б) Р (АВ)=-^-Р (В|А)*0,214.
• 6¹² С₁₈
• 2.44. а) Р (В | А) = -=-Р_б(^2,2,²)-=-* 0,167;
• 3!Р₆(1,2,3)+ЗР₆(1,1,4) + Р₆(2,2,2)
• б) _{р (}^_{) =} 31Рб (1₎2,3)+3¹, 1,4)₊Рб (2,2,2) _{р (в|А)}^_Д23

• 2.45. a) P (B | A) = lW, 3) + i|Q, 2,2) ,₀._467;
• 3P_S(1,1,3)+3P_S(1,2,2)
• 6)P (AB) = ³^^(1,1'³⁾⁺^⁽¹'²'²⁾PCB|A), 0.₂88.
• 3⁵

» ₄, JV?5⁴10² +A/?5³10³ +JV?5²10⁴ +JV?5^]10⁵

• 2.46. a) P (B A) =——?-= $-=—^-=-?-=-*
• 5⁶ +JV⁵⁵10¹ +Af|5⁴10² +Л/³ 5³10³ +Я⁴5²10⁴ +Я²5¹10⁵
• *0,980;

p s 5⁶ +АЙ5⁵10¹ +A/?5⁴10² +Л/?5³10³ +N#5²10⁴ +Д/55¹10⁵,. _s 6) P (AB) =-^-$-^|g-^-$-P (B | A)".

• *0,894.
• 2.47. a) P{B | A) = ——
• 1 q+q+q 7
• б) Р (АВ) = ^С^⁺^^+С^Р (В|Л) = 0,25.
• 2.48. a) P (B I A) = 3^-^ = 0,5; б) P (AB) =^P (B I A) *0,278.

A² 6³

• 4 4
• 2.49. P = ?Р (Я,)Р (А|Я,) = XqO, l'0,9⁴-'P (A|Я,)*0,085, где событие

i=l f=l.

A — деятельность убыточна.

2.50. Вероятность конечного риска Р = 0,8 • 0,03 + 0,15 • 0,1 + 0,05 х х 0,2 = 0,049; доход 0,8 • 1,1 + 0,15 • 1,20 + 0,05 • 1,40 = 1,13.

г2г'4 Г'2Г'4.

2.51. Р (А) = -^- 0,9² ±^2- 0,3² ±^0,9−0,3*0,352, где.

/~6 rb гЬ.. — '

^Z^P (.AH₂) P (A|H₃)

Р (Н|) Р (Н₂) Р (Н₃).

событие, А — нарушители обнаружены.

2.52. Р (А) = ^—- + ^—+Щ—-=—*0,378, где событие, А —.

q₀ 9 q₀ 9 Cj²₀ 9 45.

вытянут выигрышный билет.

о со пглл ^с5 s qq 9 q ю 5 _й

2.53. Р (А) = ———h —-1—2—-=— где событие, А — вынута.

q i6 q 16 q 16 9

шоколадная конфета.

_Dmu, P (Hj)P (A|^) 14 0,03 7 ;

2.54. Р (Я, A)=-⁴--—— =-=—, где событие.

P (A) 14−0,03+6−0,05 12.

A — менеджеру потребовалась консультация, событие Я, — менеджер из центрального офиса.

2.55. P (Hi | A) ₌_P^ili^l2p (H₁) =-5:221−0,999 *.

P (A) 0,004−0,999 + 0,996−0,002.

• * 0,667, где событие A — сигнализация сработала; событие H_i — случилось задымление.
• 2.56. P (Hi |А)=———-=—, где событие, А — обращение
• 0,7−0,6+0,3−0,1 15

с вопросом; событие Н₁ — обращение мальчика.

• 2.57. P (Hi I А) =—-——*0,001, где событие, А — безбилет-
• 0,2−0,05 + 0,95−1

ники не выявлены; событие Н_г — они имеются.

• 0 9−0 7
• 2.58. P (Hi I А)=——-*0,984, где событие, А — выявление
• 0,9−0,7 + 0,1−0,1

дефекта.

• 2.59. P (Hj | А)=—-—-— *0,652, где событие, А — достались
• 0,6% ₊ 0,4 Щ-

'г 2 г2

^24 ^ь24.

билеты в Большой театр.

— 0,3 ;

О ⁷ 1.

• 2.60. Р (Н₁1 А)=——-*—, где событие, А — наруше-
• — -0,3+—-0,7+2- — -0,7 ⁸ 3 3 3

Зя схема ний не обнаружено; событие Нj — перевод денежных средств в третью офшорную зону.

2.61. P (A + B|N) =-^Р (АВ) — -=^ = 0,02, где событие Р (АВ) + Р (АВ) + Р (АВ) + Р (АВ) А — стрелок 1 попал в цель; событие В — стрелок 2 попал в цель; событие N — сделано два выстрела.

Глава 3.

• 3.1. Р₅(3) = С|-0,1³-0,9² *0,008; 1 -Р₅(0) * 0,410.
• 3.2. Рю (7) = С₁⁷₀-0,25³-0,75⁷ =0,250.
• 3.3. Р_1О(0)=С₁¹§ -0,9° ОД¹⁰ =10^-10.
• 3.4. 1 — (Р_ю(0) + Р₁₀(1) + Р₁₀(2)) — 0,945; Р₁₀(7) + Р₁₀(8) + Р₁₀(9) +

+ Р₁₀(Ю) «0,172. ю ю.

3.5. ZP₁₀(0 = iq_o-0,25< -0,75¹⁰-'- *0,047.

i=5 i=5.

3.6. l-Pioo (0) = l-C₁°₀₀ -0,01° •0,99¹⁰⁰ *0,634.

3.7. p³ = 0,008; p = 0,2, где p — вероятность перегорания лампы; P₃(l) = q (0,2)! • (0,8)² =0,384.

f l Л³

3.8. a) q = 1−1— I, где q — вероятность того, что три медведя не поя;

log"(0,05).

вятся; 1 — qⁿ> 0,95, n_x > log₄(0,05), п_г — 646; б) п₂ >—-, п₂ = 108.

• (₂Л‘ ³¹
• 3.9. р = 1 — I, где р — вероятность того, что в коробке все пирожные
• (if

шоколадные; q = 1—1 — 1; 1 — qⁿ> 0,99; п > 51.

• 3.10. 1 — q³ = 0,9; q = 0,464, где q — вероятность отказа от покупки; Pio (5) = C₁⁵₀p⁵q⁵=0,240.
• 3.11. 1 — 0,95″ > 0,95; п > 59.
• 3.12. 1 — 0,99^п = 0,95; п = 299.
• 3.13. а) Р₇(3,2,2) = Р₇(3,2,2)^ «0−096;

З¹ 7' (lV.

• б) — Р₇(3,2,2) = 3—— - «0,288.
• 2! ⁷ 3!2!2!v3J
• 3.14. С|Р₉(4,3,2) = С|———f—1 «0,0065.
• 5 ⁵ 4!3!2!5)
• 3.15. ^5P₈(4,l, l, l, l)+|jp₈(3,2,l, l, l)+^P₈(2,2,2,l, l) j^-«0,323.
• 3.16. Р₁₀(5,4,1) = С₁⁵₀С₅⁴С₁¹(0,5)5(0,4)⁴ОД «0,101.
• 3.17. прq<�пр + р, 12 • 0,4 — 0,6 < т* < 12 ? 0,4 + 0,4; т* - 5.
• 3.18. 0,7п — 0,3 < 15 < 0,7п + 0,7; п = 21.
• 3.19. п —-—<�т<�п —+—; п = 14, 15, 16, 17.
• 3 3 3 3
• 5¹⁰
• 3.20. п — велико, р — мало, пр = 5 < 10; Р₅₀₀(10)=^уе~⁵ =0,018.
• 3.21. п — велико, р — мало, пр — 5 < 10; промахи т — 5; Psoo (5) = 5⁵

= __е-5 =0,175.

• 5!
• 2°
• 3.22. п — велико, р — мало, пр = 2 < 10; Рюо (0) =—е~² =0,135.

• 3.23. n — велико, p — мало, np = 5 < 10;
• (5⁴ 5⁵ 5⁶ ^

P (4⁵ =0,497.

V 4! 5! 6! J

X°

3.24. n — велико, p — мало; Рюо (0)⁼~^е~^я =0,2; A,*1,61;

Pioom + PiooW’fl+bp-V¹'⁶' *0,52.

3.25. a) P (60< m < 80) = Ф₀ [ ~MM);

^100 0,7 0,3 ) ^100−0,7−0,3 )

= Ф₀(2,18)-Ф₀(-2,18) = 0,971;

• 6) P (70 < m < 100) = Ф₀(5) — Ф"(0) = 0,5 — 0,0 = 0,5.
• 3.26. P (80₀(⁸⁰⁻⁹⁰ ]-Q₀[-1??z?°_ =
• 90−0,753 ) ^90−0,753 )

= Ф₀ (1,21) — Ф₀ (-1,21) * 0,774.

3.27. np — 200 • 0,5 = 100; P (0 < m < 120) = Ф₀f ^120−100 _.

{yll00−0,5)

— Ф₀ f °~^10Q 1 = Ф₀ (2,85) — Ф₀ (-14,14) = 0,498 + 0,5 = 0,998.

{yjl00 0,5 J

3.28. pf—p <_?) = 2Ф₀(е El;? E =0,05 =3,23;

) pq) pq v o, 4-o, 6.

P = 2Ф₀(3,23) = 2 • 0,499 = 0,998.

• (I—I—
• 3.29. 2Ф₀? — =0,95;? —=1,96;? = 0,0186; —p

^ v pq J pq ⁿ

x (0,1 — 0,0186) < m < 1000 • (0,1 + 0,0186), 81 < m < 119.

_oon 2,58² 2,58² 1 1.

• 3.30. n = —-—pq =———= 16 641.
• ?² 0,01² 2 2
• 3.31. 500 — <500- —+—; m* - 25; np — ne < m* ne;
• 20 20 20 20

ne = 10; e~; e — ~ =2,05; Ф₀ = 0,480; P = 2Ф₀ = 0,96.

50 pq 50. 1 19.

V20'20.

Глава 4

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6. Р (? = 4) = 0,2³ • (0,8+ 0,2);

4.7.

4.8. Р (? = 4)=—-—-—-1 = 0,1; 5 4 3

10 9 8 7 10 9 8 7, 10 9 8 7,.

ннгг, 3 случая нннг, 4 случая нннн, 1 случай.

4.10. i; = 2: пп — 1 случай; ?, = 3: нпп — 2 случая;? = 4: ннпп 3 случая; нннп — 4 случая; нннн — 1 случай; Р (?, = 4) = 8 • — = 0,5;

• 4.11. P (^ = 5) = C⁰, 1²0,9³ + Cf0, l³0,9² + 5 0,1⁴0,9 + 0,1⁵ =0,0523.
• 4.12.

4.15. M% = a, D^ =—.

n

• 4.16. cov (?, r () = 0.
• 4.17. D (5_a +) = D$i + + D^₃ + 2cov (^, ?₂) + 2cov (^, ?₃) +

+ 2cov (^₂, 4₃).

• 4.18. a) 0; б) a/a; в) ст²; г) 1.
• 4.19. D (?r|) = Dt, • Dr.

иол, ¹ О ^{5 1}, 5 4 3 2 1 7 _n6 35.

• 6 65 65 432 212
• 4.21. M? = 1,60;

4.22. MS = 1,0;

• 4.23. MS «6,65.
• 4.24. MS =-5,04 руб.;

• 4.25. Mi; = np = 30 • 0,2 = 6; = npq = 4,8; a = V^ = 2,2.
• 4.26. = np = 10 • 0,6 = 6; = npq = 2,4.
• 4.27. Mi; = 3,2; p = 0,8; q = 0,2; Р₄(^=3) = С|р³д^а =4−0,8³ 0,2;

• 4.28. 0,632.
• 4.29. 0,594.
• 4.30. 1/Я (1-е-^х).

4.31. Mt, ± а = 1000 ~{X± y/X) = 975 ± 5.

X°

• 4.32. n — велико, p — мало; P₁₀₀(0)=—e^_x =0,05; A.^3,00;M^ = X = 3.
• 2 i
• 4.33. a) M^=YM^ =2 —= 12; 6) M?= 18.

i=i P

4.34. M^=- = 5; DZ,=Ar=20.

P P²

4.35. a) =1 = 3; б) M^ = ?m^ =9; в) M_n=l±i-₊-l-=lk.

p i= 2/3 1/3 2.

5.1.

Глава 5.

5.2.

5.3.

5.4. ^ и ii зависимы; Mi; = 0,5; Mr| = 0,1; cov (i;, ri) = -0,06; cov (i; + r|, t,-r) =DZ,-Dr= -0,44;

• 0, х<-2,
• 1/9, -2<�х<-1,

_ч 5/18,-1<�лг<0,.

• 5+ч (х) — _½, _0<�х<₁₎
• 8/9, 1 < л: < 3,
• 1, х>3.

[О, х<0,.

О, у<1,.

• 0,5, 0<�х<1, ^J
• 0. 5, 1 < у < 2,
• 5.6. R (x) = <0,75, 1<�х<2, FJy) =
• 6 * ' ^п ' 0,75, 2 < у < 3,
• 0. 875, 2<�х<3, ^У
• 1, у>3.
• 1, х>3;
• 5.7. Р (? > л) = 0,94;

• 5.8. ме «0,166.
• 5.9. М0 = 1,75; D0 * 6,19.
• 5.10. при дисперсия

^иЧ2 ^Uh2

может достигнуть нуля.

• 5.14. Да, при условии D^ = Dr.
• (2,92 1,46¹
• 5.16. = 3,5; Мг| * 4,44; соу (?_ъ л) *I _{г 46 а 9у} I; K? i, л) * 0,608.
• 5.17. а) соу (?, л)=-^, г (4,л)=-^; б) cov (?, Г|) =р (1 -р); г (^, л)=-^.

' _5_ _J_'.

5.18. cov ($, л) = ³⁶; г (4, л) = -0,2.

Г зб зб,.

• (0,24 -0,06^
• 5.19. cov_K, n)=[__{006 0 24})г_Й, л)=-0,25.

' 9n_ n '.

5.20. cov (^ti)= ^{100 100} ;K^ti) = -i.

n 9n 9

TlOO 100 ,

• 5.21. Пять акций первой компании и две акции второй компании.
• 5.22. D (52, + 2г|) = 13; акции следует держать в соотношении 1: 1; инвестору следует продать две акции А и купить одну акцию В или продать одну акцию А и купить две акции В.
• 5.23. I — 2 млн руб., II — 16 млн руб., III — 2 млн руб.;

' 2 1 -0,5 1 0W1 000 2'

• 1 1 0,5 1 0 0 1 0 0 16
• -0,5 0,5 6 1 0 ~ 0 0 1 О 2
• 1 1 1 О 20J (о 0 0 1 -19,

' 1 0,5 -0,5 10W1 000 2'

• 0,5 2 -1 1 0 0 1 0 0 2
• 5.24. а) ~ ;
• -0,5 -1 1 1 0 0 0 1 0 4
• 1 1 1 0 8 J⁰ 0 0 1 -1,

Прибыль_{т|п риск} = 0,58 млн руб.; а = 2; б) Пр] = 0,4 млн руб.;

Пр_п = 0,8 млн руб.; Пр_ш = 0,56 млн руб.

5.25.

' 0,16 0,01 -0,02 1 0,16 0 ] [1 0 0 0 0 а''

• 0,01 0,12 -0,03 1 0,14 0 0 1 0 0 0 а
• -0,02 -0,03 0,1 1 0,12 0 — 100 а, где
• 1 1 100 1 10 0,25а

_ч 0,16 0,14 0,12 0 0 0,14J (о 0 0 0 1 -2,5а,

а-—; в активы инвестированы равные суммы по 33-^ млн руб.

± « А ! о)

^{99 3} fl О О О 0,25¹

О оо.

• — — -2 1 0 0100 0,25
• 5.26. Петя: 9 9 ~; доход

О 0 1 0 0,5

— 3 —² 3 ^{1 0} [о 0 0 1 0 ,.

_ч 1 1 10 1,.

110 тыс. руб.; дисперсия колебаний равна нулю; Вася:

• 1 • 1 o']
• 9 ^{9 3} fioooo^

® 28 -28 1 0 0100 0,75.

9 9 3 — _{Q 0×0 0 25}; доход 140 тыс.рув.;

«3 «T ^{28 1} ° 1° 0 0 1 0 ,.

1 1 1 0 1,.

дисперсия колебаний равна нулю.

Глава 6.

• 6.1. a=^;P (?
• 6.2. ц₃ =а₃ -За^сх! +2а^; р₄ =а₄ -4aja₃ +6а^а₂ -За^.

ГО, л: < 0,.

6.3. р (х) = ]г-2х, 0<�х<1, МЕ,=—; D^=—; Р (-1 < % < 0,5) = 0,75.

" 3 18.

[0, х>1;

f0, х<2,

6.4. рМ= 4' ^Ie[2;61,F_tM=U (x-2), xe[2;61, Pf2.

V «^[2;61; [t х>6;

• 6.5. Цз = 0_;ц₄=|1;Р₅=^=₀;_Г5^-3=-1,2.
• 6.6. Cl (P (I — Щ I < 1))³ (P (I 4 — Mi; I > 1))² = 4.
• 16
• 6.7. P = 0,577; 29,77 < V < 122,07.

_Л

• 6.8.1-e 3.
• 6.9. a = X.
• 6.10. ЩЦ-е-^е-¹ *0,441.
• 6.11. Me=^; =? = 2;y₅ =?-3=6.

Л, a⁴

• -i-0,1−2010
• 6.12. ——-*0,250.
• 4
• 6.13. e~°>⁵.
• 6.14. а=^;Р (|^|<275|) = 1-е-²^ *0,941.
• 6.15 =

6.16. Me = 0; p, = ^§- = 0; у_?=^1−3 = 3.

ct³ a⁴

• 6.17. 0,755.
• 6.18. a) 0,577; 6) 0,865; в) 0,757.
• 6.19. Т2я.
• 6.22. ri ~N (0, 1).
• 1 * (t-o)²
• 6.23. F^(x)=-_?=- J e 2c² dt; M?, = a;D^ = a²; Mo© = a.

V27TG jU

• 6.24. rj ~ N (3, 16); P{5 <? < 7} = Ф₀(3) — Ф₀(2) — 0,021.
• 6.25. 0 ~ N (2, 6) или 0 ~ N (0, 6).
• 6.26. а) 0,997; б) 0,982; в) 1; г) 0,986.
• 6.27. 0,136.
• 6.28. 0,993.
• 6.29. P‘(a)_max =—^.
• 12по
• 6.30. Р^ = 0; = 0.

^ф«(^т^) —^ф"(^аТ⁴)

• 6.31. Изменилась в —-—₇-1-7-^—- раз.
• 6.32. В —© раз.

Ф°

а

• 6.33. При к = 1 Р = 0,317; при к = 2 Р = 0,455 • 10-¹; при к = 3 Р = = 0,26 998 • 10−2.
• 6.34. —0,0124.
• 6.35. При росте 174 см п > 234.
• 6.36. —1,97%.
• 6.37. 144.
• 6.38. > 15.
• 6.39. Mi; «45,33; о «30,12.
• ? _{. 1 I fn х_<�Л а+—}
• 6.40. рДх)= .——е 2а² ;р (х) = — + Ф₀— ;М% = е 2;

/2пох ' 2 V. У ОЕ, = е^2а(е^2ст2 -е» ²).

• 1 Опдс-а)²
• 6.41. p_t(x) = —j=—е 2а² .

J2nax

• 6.42. —-Ф₀ Г ₌ о, 405.
• 2 Ч 0,2 J

6.43. a =—; F; (x) =—+—arctgx; P (-l <? < 1) = 0,5.

л 2 л.

• 1 x — x_n 1
• 6.44. F_;(x) =—arctg—h—.

л у 2.

{x²

• 1-e 2e, x>0, D^ = ₀f₂-—
• 0, x<0; ^ ²'
• 6.46. R (x)=l-f-l; a > 1; D?, =-?-, a > 2.
• * UJ a-1 (a-l)²(a-2)
• 0, x < —1,

x² 1.

• — + x+—, -l
• 6.47.K (x)= ^{2 2} il^ = 0;.D^;P (-0,5<^<0,5) =

x² 1. _ 6.

• —+ xн—, 0
• 2 2
• 1, x>l;

= 0,75.

Глава 7

7.1.

a) x 0 1 б) у -10 1.

Р₄1_П(х|0) 2/3 1/3 Р, 1=010) 0,2 0,4 0,4.

в) у -10 1 г) х 0 1.

Ф,_1п 2/3 1/3 ½ (p_nfe 0,2 О.

• 7.2.
• а) х -1 1 б) у 0 12

Pj=_ln(x|2) 3/5 2/5 P_nftO|-D 2/11 3/11 6/11.

• в) у 0 1 2 г) х -11
• 41_П <�р_{0 -½ 1/2 <�рп14 15/11 9/7}

[2-х п

7.3. а) P = i; б) F_4>n(l;l) = i; в) р^(х) = | 2 '^xe^^0,2^'.

[о, иначе;

р" (У) = |^'^{J 6 (0; 2)>} Г) Р (^ > n) = i?

О, иначе;

• 7.4. a) i; б) ±; в) «0,16.
• 7.5. a) a = 1; б) p^Cx) =e^x, x< 0; pr (у) = -ye>', у < 0.
• 7.6. Мц=|; М (^) = 1.

__, ,, f8e-^-²У, х, у>0 J 4e~4*, x>0,

7−7. a) p. (x, y) = 6) p_?(x) =.

[0, иначе; (0, иначе;

[2е~²У, у >0, ]4е⁴х>0, 2е~²У, у>0,

Р"Ск)Ч_п в) р₄(х|у)= Р _П№)Н_П

[0, иначе; [0, иначе; [0, иначе;

^г) ^роав = 1 + е-4 — 2е-² ~ 0,748.

• 7.8. Ф^, Л (У) = 0,25; М?, = 0,25.
• 3 1 9 22 79
• 7.9. а) а = ±; б) МЬ = ± М^ + ц) = ^; М^² +Л²) = ^; М (^ + _Л)² =^.
• 7.10. а) а=—; б) Р = ~.
• 2 3
• 7.11. а) <�х=1; б) Р = 1−4-«0,594.

е²

'1 0″ .

7.12. cov (?, r|) = 1 .

V 4 у.

а²

• 7.13. Если, а < 0, то Р = 0; если 0 < а < 1, то Р =—; ^если 1 < а < 2,
• (а-2)²

то Р =1—; если, а > 2, то Р = 1.

• 2
• 1 (2-а)²
• 7.14. а) а = —; б) если а > 2, то Р = 0; если 1 < а < 2, то Р=-;
• 2 4

la² 1.

если 0 < а < 1, то Р=—-; если -1 < а < 0, то Р =—; если -2 < а < -1,.

2 4 2.

то Р = 1+—-—если -3 < а < -2, тоР = 1 + 1-^—^если, а < -3, 2 4 2 2 4.

то Р = 1.

7.15. р^(х|у) = 1; p_nft(y|x) = l; (p_4h(y) = l; ф_п,(х)=1; ОДг| = у)=1; D (n|§ = x)=^.

• 71,, , W, xe[0;a], y e[0;b], .a, b
• 7−16. p, _n (x, у) = < ab | r| = у) = -; M (r| | ^ = x) = -;

[о, иначе;

D? =y)=^; D (4 $=x)=^.

• 7.17. M (^ | n = У) = 1 + 0,6(у — 2); D (^ | л = у) = 0,76.
• 710 _Л , (4e~^4x, x>0, 2е~²У, у>0,
• 7−18. a) p₄| (x|y) = ;P | (y|_x) = ^ ;
• 1 [0, иначе; ¹ [0, иначе;
• б) Ф^|п (у) = 0,25; M^ = 0,25.
• 2
• 7.19. _P?|_n (х | у) = 2х; _Р«_fe (у | х) =; ср_ф (у) = (p_nfe (х) = 1.
• 7.20. _p,_|n(x|y) = 2^^e-2^; p»_fe(y |*) = f^7e~^y-

тот /- I т 1 + 6лу². _Л 1 + 6ху² 1 + 4у²

⁷'²¹' ^p«⁽* W'775^ ^p*^Cy|x,=T7iT^{; ,}®^{w =} 27i^^;

. 1 + Зх Фл|?С^)=-——- 2 + 4х.

• 7.22.F_th(x|y) = -^-, 0
• ⁷'23^W=^;a^.
• 724.nh&ly)=^ff.
• 7'^{25'|,| = R}

Г ^ai о Л | |.

• 7.27. A = ¹ 5 A =CTiCT₂.
• 1° <*₂) ' '
• 7.28. |A| = CT! CT₂ Vl-r².
• 8.1.

Глава 8.

8.2.

8.3.

8.4.

• 8.5. ^(y) = 1-F^(x); p_n(y) = F,(x (y));y-².
• 8.6. C = 4; p_n(y) = 2<�У⁵ при у > 2.
• —i=, ye (0;27],
• 8−7. p,(y) = j 9^/y²

О, иначе.

• 0, y< 1,
• 8−8. P,(y) = |_l_

.y²'.

• 1 Лу2/5
• 8−9. Рц (у) = i— e s при у * 0.
• 5л/2яу^4/5

(lny-a)² —-? 2a²

• 8.10. p₄(y) = j V2Ttqy, У >0,
• 0, y<0.
• 8.11. р_ц(у) = Хе~^кУ, у>0.
• —jJ=, y€[ 0;1), J—-, ye (-l;l),
• 8.12. a) p_n (y) = j n^jl—y² 6) p,(y) = j я^Г^У²
• 0, иначе; 0, иначе.
• 1 яа² _{< <} яЬ²
• 8.13. р,(у) = -Т^(Ь-а)' 4 ^{_, У} 4
• 0, иначе.

О, х<1,.

• —, 1 <�х<2
• 3
• 8.14. р_п(х) = < i, 2
• 6
• —, 5<�х<7,
• 12

О, х>7.

О, х < 2,

• —, 2<�х<3
• 8.15. p"(x) = ³
• —, 3<�х<6,
• 9

О, х >6.

., _х [0, х<0,.

• 8.16. p₅., W = |_4;ce^^₀
• 1-х
• -е^х, х<�О_у
• 8.17. р*_+ч(х) = М
• -e~*, x>0.

{ 4.

О, х<0, j, 0<�х<2,

• 8.18. pr₊Jx) =
• 1—, 2<�х<4,
• 4

О, х>4.

• 1 (*-«²
• 8.19. р_4+п(х) =—ре 4 де1.
• 2 л/ я

О, х<0,.

• 8.20. р^_+л(х) = < 1-е" ^х, 0<�х<1,
• (е-1)е~*, х>1.

рд: —рХ-1

—2~-

р-^х _1_рд:-1.

8.21. p_4+n(x) = 1——, 0<�х<1,.

pl-X _р-Х

• -, х > 1.
• 2
• 8.22. р_4+|) (х) = ^(Ф₀(х) — Ф₀(х — 2)).

Zi.

8.23. р,_+п(х) = 2е²-²-^ + Ф₀(х-2) .

О, х<-1,5,.

• 1,5 + х,-1,5<�х<-1,
• 0,5, -1<�х<-0,5,
• -х, -0,5<�х<0,
• 8.24. Рр_+п(х) = ^

х, 0<�х<0,5,.

• 0,5, 0,5<�х<1,
• 1,5-х, 1<�х<1,5,
• 0, х >1,5.
• 8.25. Р (? + г|<1) = -.
• 8.26. Р (^ + 2п<1)=—•
• 8.27. Р (? + л < 1) = 1 — 2е-! «0,264.
• 8.28. Р ($ + г| < 2) = 1 — Зе-² ~ 0,594.
• 8.29. Р (2? + л < 2) = (1 — е-²)² «0,748.
• 8.30. Р (5 + Т1<1) = 1-—*0,540.
• 4е
• 0, х < —1,
• 1 + х,-1<�х<0,
• 8.31 .p_cJx) =

^{п ц} 1-х, 0<�х<1,.

0, х > 1.

. [е~^2х, х>0,.

• 8.32. _Рг__пМ=|_е2^_<�о
• 8.33. Р (^-л<1) = 1-—"0,816.
• 0, х<0,

In2, 0<�х<1,.

8.34. р, (х)= 2.

In—, 1<�х<2, х.

0, х>2.

[l-(x + l) e^_jr

8.35. p_i(x) = j х² '^Х> '.

п (о, х<0.

f 1 (-L}

• —j= 1-е 2х² , х^О,
• 8.36. р_г (х) = • ^^2я V )
• 4 -jL, х = 0.

/2п

8.37. piloU-.

in 1 4.

• 8.38. P{1 <? + л < 3} = 0,516.
• 2-х
• -е^х, х<0,
• 8.39. F₆."M= ⁴
• 1—^——е~^х, х>0.
• 4

^а401|Ыу)^р''⁰'^{, ф}''

+<�".

• 8−41. j lylPi (ay)p_n(y)dy.
• —СО
• 1 1 (*-3)²
• 8.42. а) р_4+л+е(х) = ^=е" б; б) p,_+t]+0(x)=-j=e~ 28 .
• 0, х<0,
• 0<�х<2,
• 6
• 8.43. р₂$+згМ ⁼ ‘ 2<�х <3,
• 3<�х<5,
• 6
• 0, х>5.

О, х < 0,.

• —, 0<�х<1,
• 2
• 8-^{44- 1<�лг<2,}
• ^{1−72 _2<�ЛГ<3 2}
• ^{0, х>3.}
• ^{0, х < -2,}

^{^5−2<�х<-1,}

• ²
• ^{8.45. Р2_2Л(^) = 41,-1<�х<0,}
• 1-л/х
• -, 0<�х<1,
• 2
• 0, х>1.

• —e^x+1, x<�—1,
• 8−46 .p_lns₊24-i (x)=' x+i
• —e 2 x>-i.

[3

Глава 9.

• 9.1. 0,4.
• 9.2. 0,75.
• 9.3. 0,1.
• 9.4. 0,67.
• 9.5. 0,95.
• 9.6. P>-~.

n

9.7. He более чем на 0,1.

pitx

9.8. —.

it

• 9.9. eK
• 9.10. —i—.
• 1 -it
• 9.11. g^t)=e~2.
• 1
• 9.13. pAx) = —j=e 2.

v27T.

9.14. g^(t) = (pe^ + q)". 9.15 .g^t) = eW‘-'

Г йТ¹

9.16. g^(0=ll-| .

e" -1.

• 9.17. •
• 9.19.

л/VA _pita

• 9 ²⁰
• 9.21. g₄(t) = 2—1.

C'.

nt cos —.

9.22. «.(0 = -^.

• 1 + p^int
• 9'²³'^'^{)=2^) —}
• ⁹-^{24'-w ₂}

^{«25.g_Sl4!(_t) = [^j.}

^{9.26. p^(x)= 71 ₂, isR.}

e~M

• 9.27. P^(x)=—^—, xeR.
• 9.28. p?(x) = xe~^x, x>0.
• 9.29. 100 ±21.
• 9.30. 0,841.
• 9.31. n> 4356.
• 9.32. n > 294.
• 9.33. n > 236.
• 9.34. [7897; 8103].
• 9.35. 0,092.
• 9.36. 0,982.
• 9.37. 544.
• 9.38. 950.
• 9.39. 0,982.

Глава 10

• 10.1. Последнее.
• 10.2. a) J—; 6) Ar—>V2.

V too.

• 10.3. Ay_max =(xj⁾) —^v2-¹1*0At, |+(х")^Л'2 |ln (x?)Ar₂ |.
• 1 Ato 1 | fl I
• 10.4. At, =, = —t²— +——— arcsmxy — At? .
• 1 4 (*2⁰)^{2 3}
• 10.5. 3(|x^ |cr_t +1лг{* |ст₂ + 3a, a₂).
• 10.6. 7-КГ⁵.

Глава 11

11.4. M —— cov (^, ti) = cov (?, ri); cov (4, ri)_HeCM =-^-cov (4, л).

n-1__ n-1

< со^у(^, л) несм >

,, «covferO

• 11-⁶-^{г5.л=-7трГ-}
• ^{11.8. 5_IIcnp = ^а".}
• ^— 1
• ^{119 0 = г +—}

^{ii-/. ииспр лтах 1}

• 1 П
• 11.10. 0_ИСПр ^{—min — —}•

Г 1 «1.

• 11.11.0 = 1+— х_тах.
• 1 ^ а"
• 11.22; оценка эффективна.
• 11.28; оценка не эффективна.
• 11.29; оценка не эффективна, ее дисперсия бесконечна.
• 11.30; оценка не эффективна.

и

11.31. Хуже эффективной в — раз.

и,.

• 11.32. Хуже эффективной в два раза.
• 11.37. Н© = 0.
• 11.38. Н© = 0,69.

11.40. a) -q q -plnp; б) ln (b — а); в) 1 — 1пЛ; г) 1п2е — 1пХ;

д) п (а¹'2пе); е) — p— q.

Р

• 11.41; оценка эффективна.
• 11.42; оценка эффективна.
• 11.43; оценка не эффективна.
• 11.44; оценка эффективна.
• 11.45. х = 11; а² =2,0; S² «2,5.
• 11.46. х® 25,69 мм; точность измерения 0,18%.
• 11.47. х = 45 тыс. руб.; а = 0,6 тыс. руб.
• 11.48. л'= 4,21 св. л.; За®0,07 св. л.
• 11.49. За®7 кг.

Глава 12.

• 12.1. = х; оценка несмещенная, эффективная.
• 12.2. а-х; оценка несмещенная, эффективная.
• 12.3. а) а² = а²; оценка несмещенная, эффективная; б) а² =5²; оценка несмещенная, асимптотически эффективная.
• 12.4. 0 = х; оценка несмещенная, эффективная.
• 12.5. 0 = х; оценка несмещенная, эффективная.
• 12.6. 0 =х-1; оценка несмещенная, эффективная.

• 12.7. 0 = 5″; Д = х-5_И.
• 12.8. 0 = 2x; оценка несмещенная.
• 12.9. a=x-/зS_n; b = x + Т35″.
• 12.10. p = —.
• 1-x
• 12.11. X=^.

S"

a 2.

12.12. a)0=—x²; оценка асимптотически несмещенная, неэффектив;

л, А 1 — А 2 *.

ная; б) 0 =—х²; оценка несмещенная, эффективная; в) 0=-5²;

2 4-л оценка несмещенная, неэффективная.

• 12.13. i=x.
• 12.14. а-х.
• 12.15. а²=-У (Х:-й)².
• 12.16. а = х; ст² =—У (х- -х)².

«ы

• 12.17. Аг=—-.
• 1 «
• -Zly I

п 1=1.

12.18.1 = 4;

х.

12.19. р=-.

х.

12.20. 0 = х-1.

А ( 1 «У¹

12.21.0= -1х_Г² .

V^й 1=1 /.

• 7 1 Я у¹
• 12.22. а = — У 1п х, — .

I^й 1=1 )

_А 7 -I я у¹

12.23. р = - -?1пх, .

V ^и '=1 >

12.24. A = x_min; 0 = x-x_min.

A X

• 12.25. p-—; совпадает.
• (Л
• 12.26. 0 —x_max, 0_ИСПр — I 1+— лг_тах.
• 12 27 0 = x • • О = x •__-

л_тш, v/_HCnp ^тт.

• 12.28.1 = 0,2; t «0,26ч.
• 12.29. a = 2; 4%.
• 12.30. MM: (3 = 9,00; 13,4%; ММП: p = 9,42; 12,2%.
• 12.31. ММП: a = 3,94; 6,5%; MM: a = 4,21; 5,4%.
• 12.32. ММП: 0»_&np =11,04мин; ММ: 0 = 9,6мин.
• 12.33. §_Б =4,7; р_ммц =4,3; p_A =4,0.
• 12.34. 0_Б =9,1 мин; 0_ММ11 =14,0 мин; 0_Л =10,0.
• 12.35. А._Б =3,4; =7,0; А. д =2,5.
• 12.36. 0_Б =0,56 год^_1;0_ммп =0,50 год^-1; 0_А =0,50 год^-1.

_ «а²

X «b 0Q ;

12.37. 0_Б=;

.

1 +;

П

12.38. Г (х) = 2>,-;

i=i.

12.39. Г (х) = ?*,-•.

i=i.

12.40. T (x) = Y_jx_i.

i=1.

12.41. Т(х) =.

i= 1.

• 12.42. Г (х) = ||>_|._>2>?|.
• 12.43. 7'(х) = Х-^!_Г-

i=i^х,

12.44. T (x) = YXj.

i=1.

12.45. ТОО =x_max.

12.46. 7'(x) = |x_min>Xx,.|.

Глава 13.

• 13.1. а)7я; б) 1; в) аГ (а); г) л!
• 13.2. а) аГ (а); б) (а+ 1) аГ (а).

О Г

• 13.3. а) —; б) 120.
• 4
• 13.4. С=—-—; = a; = а.

Г (а) сх сх.

13.5. С=^—;

Г (а) А, Л/.

13.6. а = х; оценка несмещенная.

«7* 21 1.

^•/.Л_нссм-_з_- .

~2>;

• 2 ;=1
• 13.8. DA,_liecM =——> —=—-—; оценка асимптотически эффективная. п- 2 п nl (k)

yfp — 1.

13.10. = 0,239.

е

• 13.11. Mil =п.
• 13.12. Dil =^2п-

I.

13.13. Пт Р< ¹⁼¹ .——<�х • — Ф (.г).

^п-^>0° 12п

• 1 -?
• 13.14. р>(х) = ~.—

V 2лх.

• 1
• 13.15. р^(х)= .— е~^л.

V TLX

_{Л А} 2г

13.16. r-x; Dr-—; оценка несмещенная.

п

13.17. a) pUx, 1Д); б) рЛ *,|, Д.

• 13.18. Распределение Стьюдента.
• 13.19. 0,75.
• 1
• 13.20. рЛх) =-—;М? и не существуют.

^s л (1 + х²).

13.21. Надо взять lim p_t .

П-> Q0 ^п

_А 2с2.".

• 13.22. г=——; возможно при г > 2.
• 13.23. Распределение Фишера.
• 13.24. Распределение Фишера F_x «.
• 13.25. /, «.
• 13.26. Распределение Стьюдента.
• 13.27. /» =—Хи> = 1; D% = —.

п п

• 13.28. -.
• 3
• 13.29. —.
• 10
• 13.30. п — велико, т —" оо.
• — Зет⁴
• 13.31. DSI =—.

гг-1

13.32. D&l = ^2(м~¹⁾о⁴.

п¹

• 13.38. _Х2₊ш-2- _а
• 13.39. 5²_=х^— 1(и_;-1)5?.

i=i.

13.42. 4n~St_{2n 2}.

pi+s'i

13.46. а =. —; /(0)lim nD9=n-2, оценка не эффективна.

V 2 Я-«оо Г 1V.

13.47. Увеличится в 1н— раз.

V п)

• 02 _А 02
• 13.48. М, =— -; 00, =—; 09, <09,.

п (п + 2) 3 п

• 13.49. Оценка 0, несмещенная, состоятельная, сверхэффективная, асимптотической нормальностью не обладает; оценка 0₂ несмещенная, состоятельная, эффективная, асимптотически нормальная.
• 13.50. ₂ независимы; ~ N (0, 0,5); ₂ ~ ЛГ (0, 0,5а^-2).

Глава 14.

14.1. х i=x_Kp < а < х ну— х_кр.

V п }п

л.

S _ s

• 14.2. X 1=^Ха_П— <�Х + j— X_a._n_ 1-
• 1ИО *31; я ₉ *31; я
• 14.3. -<�а² <-.

^Хщ>2 п *^кр1; п

_иА.(&#& ^ -(«-iA².

• ?*кр2;я-1 ^кр1;я-1
• 14.5. а —аг_кр <�х_п+1 <�а + ах_кр.
• 14.6. x-aJl+^x_Kp <�х"₊₁ <�х + о¹+^х_кр.
• 14.7. а-о_а;пх_кр." <�х_п+1 <�а + а_а;пх_кр._п.
• 14.8. х—S_n^1+^-х_Кр._Я_1 <-Г_{и+1 кр}."_,.
• (_Г V Г Г V
• 14.9. л/j —у- <�Х<, гдеФ₀(.г_кр) = ^.
• 2Vw J ^ 2 л/я J ^

Г х ^ Г _х А.

14.10. sin² arcsin^—yL.

² arcsin^+—yL .

_ч 2у]п J ^ 2y/n ,.

_j4cp_ ~*кр

14.11. xe <0.

Г г V Г r V.

• 14.12.
• 4 <2n) v2П;

л ^гкр. ^.

14.13. —e ^ <<�—eJ".

X X

^лер -*кр

Р П pyjn

14.14. —-<<�—-.

Л П АП

п 1=1 п /=1.

• (2 V 2 f /— _ —
• 14.15. — <�р< -— , где, а = /х+1х-1, Ь=е²^" .

1 а о ай + —- т+;

V аЬ J о a J

• 14.16.5 = 0,339 мм.
• 14.17. п = 25.
• 14.18. 19,68 < а < 23,32.
• 14.19. п = 1498.
• 14.20. 4615
• 14.21. 99,97 кг < а < 102,03 кг; 5,93 кг² < а² < 15,65 кг².
• 14.22. МП 0,47 < р < 0,73; МФП 0,472 < р < 0,722.
• 14.23. МП 0,08 < р < 0,12; МФП 0,082 < р < 0,119.
• 14.24. МП 0,10 < р < 0,14; МФП 0,100 < р < 0,141.
• 14.25. МП 0,05 < р < 0,07; МФП 0,048 < р < 0,073.
• 14.26. МП 0,01 < р < 0,03; п = 3012; МФП 0,010 < р < 0,034; п — ЗОН.
• 14.27. 0,820 < 0 < 1,220.

Глава 15.

15.1. Гипотеза Н₀ отклоняется, если: а) ———4п>х_ко, где а.

^ф(*к_Р) = ^-а; ^б) _кр, гдеФ (х_кр)=|-а; в) >х_кр,

, Ч 1 — Of.

гдеФ (х_кр) = —.

• 15._{2. |пК«=^М{|-а)-1(^4}
• 15.3. я = ^^{а g}, где Ф (х_а)=|-а, Ф (х_р) = ^-р.
• («1-"о> 2 2
• — (1~
• 15.4. Р = —-^фо (а_{ -а₀)—-х_а .
• 2 I ° J

» _ _ _ гг х — а_п г~

15.5. Гипотеза Н₀ отклоняется, если для t_n__x =—тг~^п выполнены условия: a) t_n_j > х_кр. «__x; б) t_n__a < -х_{кр; п}__а; в) | t_n_, | > х_кр. _n__v

n ( Л^{2 u} X — ~Cl

15.6. Гипотеза H₀ принимается, если для х^{2 =} S -— выполнены.

j=i V ^ао j

условия: а) г²<�х^. _п б) х² > *_кр."; в) *_кр1. «__г < х² < *_{кр2; n}__v

п (_х, _jpS²

15.7. Гипотеза Я₀ принимается, если для х^{2 =} X -— выполнены.

i=l V с0 у условия: а) Х²< *_Кр; б) X² > *_Кр; п-Ь ^В) *кр1; n-l < х² < *кр2; п-1;

• 0_
• 15.8. Гипотеза Н₀ принимается, если для г| =. ⁰ у/? выпол-

у1Ро (¹~Ро) йены условия: а) г| < х_кр; б) г| > -х_кр; в) | ц < х_кр.

• (^xaJpaO—Po)^+xnJp—Pi))² 1 1
• 15.9. п =^{V aV/0V 102}-^РУ‘, где Ф<�Х) = - - а, Ф (*_в)=- - р.
• (p₀-_Pl)^{2 а} 2 ^{V р}' 2 ^Н
• 15.10. Если .—⁰ л/у? >х, то гипотеза Н₀ отклоняется;

V^o.

(*"s+*3^)².. 1.. 1 ;

п =-Ц—, где Ф (*")= — а, Ф (х_в) =—6.

(Xo-Xj)^{2 v а}' 2 ^р' 2 ^н

С —

15.11. Если 2л/з 2—1%/и >х_кр, то гипотеза Я₀ отклоняется.

V °0 J.

• 15.12. Если |хХ₀ -1|4п <�х_кр, то гипотеза Я₀ принимается.
• 15.13. Если ^Xf-2.— 4п <�х_кр, то гипотеза Я₀ принимается.

V¹-Ро

15.14. Если — X ^xi l^o ^-1 <�дг_К1), то гипотеза Н₀ принимается.

п /=1.

п

• 1*2
• 15.15. Если ¹⁻¹₂ > *_кр.", то гипотеза Я₀ отклоняется, гипотеза Я_: принимается.
• 15.16. Гипотеза Я₀ отклоняется.
• 15.17. Да.
• 15.18. а) 0,82; б) n_a = 99.
• 15.19. Да.
• 15.20. Гипотеза Я₀ принимается.
• 15.21. Да.
• 15.22. Да.

• 15.23. Да.
• 15.24. Нет.
• 15.25. Да.
• 15.26. Да.
• 15.27. Да.
• 15.28. Нет.

П

Z xf

• 15.29. Если ¹⁻¹ _ш) >х_кр.", то гипотеза Н₀ отклоняется, гипотеза Я, принимается. ^с
• 15.30. Да.
• 15.31. Нет. Гипотеза Н₀ отклоняется.
• 15.32. Гипотеза Н₀ принимается.
• 15.33. Нет.
• 15.34. Да.
• 15.35. Да.
• 15.36. Гипотеза Н₀ отклоняется.
• 15.37. Гипотеза Я₀ отклоняется.
• 15.38. С вероятностью 0,99 информация недостоверна.
• 15.39. С вероятностью 0,95 тренировка результативна.
• 15.40. Нет.

у — х

• 15.41. Гипотеза Н₀ принимается, если |г|| < х_кр, где г)= J-—
• 1-а /а?
• 15.42. Гипотеза Я₀ принимается, если t_2n-2 ^{< ха}; 2п-2> ^гДе hn-2 ⁼

х-у, а.

= V". ^Фо (^кр) = 1-^;

yJS’f +5| ²

• 15.43. Гипотеза Н₀ принимается, если /_п__{1; т}__х < /_кр. «__{1; т}__1; где 9²
• *?' 2
• 15.44. Гипотеза Я₀ принимается, если | ц | < х^, где

Р1-Р2 . С,_^т1^+т2.ъ

1-« *V ²'.

V V^я! ^я2 7.

, -X.,.

15.45. Гипотеза Я₀ принимается, если |г| | < х_кр, где ц- .—!-f—;

. № Ш.

_Х=М_^Л_. ia.

п + тп 2.

±_JL.

15.46. Гипотеза H₀ принимается, если |г|| < х_кр, где г| = ?;

п + т, .. 1-а 1-рГ1,0.

" «^;Ф°^(Хкр)» 2 ' V р² U ™)

Lxj + Lyi

i=1 7=1.

Ли Х.О.

15.47. Гипотеза Н₀ принимается, если г| > -х_кр, где г| =-, =.

х=

? п + т 1 1 /Г 1, О Х =-; Ф (.г_К|,) = —а. —, -+—.

"™ ^кр 2 XvW wj.

Lx, + 2. у,.

<=1 7=1.

• 15.48. Нет.
• 15.49. Гипотеза Н₀ отклоняется.
• 15.50. Гипотеза Н₀ принимается.
• 15.51. С вероятностью 0,95 они по меткости не различаются.
• 15.52. Ка = е-³³>⁵.

Глава 16.

• 16.6. С законом Пуассона с параметром X = 2 не согласуется.
• 16.7. С законом Пуассона с параметром X = 4 согласуется.
• 16.8. С геометрическим распределением с параметром р = 0,2 согласуется.
• 1
• 16.9. С геометрическим распределением с параметром р = — согласуется.
• 16.10. С законом Лапласа с параметром X = 2 согласуется.