Элементы математической логики

Традиционная логика и логика математическая

Логика есть наука о правилах рассуждений, наука о доказательствах, наука о том, как из верных посылок посредством правильных выводов получать верные заключения. Именно способность, возможность и необходимость правильных рассуждений отделила человека от остальной природы. В средние века и до середины XIX столетия изучалась и разрабатывалась логика, бытовавшая у эллинов около двух с половиной тысяч лет назад. Логика древних греков до нас дошла в сочинении «Аналитики» Аристотеля (384−322 гг. до н.э.) и поэтому называемая еще Аристотелевой. В Аристотелевой логике рассматриваются высказывания четырех типов:

• 1) общеутвердительные: вес S суть Р;
• 2) общеотрицательные: ни одно S не есть Р;
• 3) частноутвердительные: некоторые S есть Р
• 4) частноотрицательные: некоторые S не есть Р.

Не имея такого мощного стимула развития как приложения, древнегреческая логика, как и вся математика и наука в целом, развивалась в древние и средние века очень медленно.

Впервые возможность построения универсального математического языка и полной формализации математических доказательств была осознана Готфридом Лейбницем (1.07.1646−14.11.1716), немецким математиком, физиком и философом, который заложил основы символической логики, хотя более известен как создатель дифференциального и интегрального исчисления. Но только в середине XIX века появились первые научные работы по алгебраизации Аристотелевой логики.

Ирландский математик Джордж Буль (1.11.1815−8.12.1864) опубликовал в 1847 году работу о математическом анализе логики, положившую начало алгебре высказываний. В этом же году шотландский математик О. де Морган (27.06.1806−18.03.1871) издал трактат «Формальная логика, или исчисление выводов необходимых и возможных». К концу XIX века работами Готлоба Фреге (8.11.1848−26.07.1925), немецкого математика и логика, и американского ученого Чарльза Пирса (10.09.1839−19.04.1914) было завершено создание математической логики как одной из фундаментальных наук. В 1890—1895 годах немецкий математик Эрнст Шредер (15.11.1841−16.06.1902) издал «Лекции по алгебраической логике», в которых систематизировал и усовершенствовал результаты предшественников.

В 1894 году итальянские математики во главе с Джузеппе Пеано (27.08.1858−20.04.1932) начали издавать «Formulaire de matematiques» «Формуляр математики»), в котором все математические дисциплины должны были быть представлены в логическом исчислении. В этой попытке итальянские математики опередили более чем на 40 лет француза Н. Бурбаки.

Но как раз в это время на рубеже XIX и XX веков математический мир был потрясен открытием в теории множеств парадоксов, антиномий, т. е. противоречий, получаемых с помощью верных рассуждений из верных посылок (о парадоксах см. ниже в п. 3.7). Стремление избежать логических и языковых семантических антиномий вызвало небывалый рост исследований в области оснований математики, и в области математической логики в том числе. И в 1908 году были независимо созданы две аксиоматические теории: теория множеств Эрнеста Цермело (27.07.1871−21.05.1953) и теория типов Бертрана Рассела (18.05.1872−03.02.1970).

Известно, что область возникновения парадоксов не пересекается с основным содержанием анализа и геометрии, антиномии возникают в сфере крайних обобщений, поэтому при аксиоматизации математических теорий исходят из двух следующих принципов.

A. Набор исходных понятий и их объем не должны быть слишком широки, чтобы избежать известных парадоксов (никакая, достаточно богатая содержанием аксиоматическая теория априори не застрахована от их появления).

B. Набор исходных понятий не должен быть слишком беден, если мы хотим описать всю (или почти всю) математику или даже только отдельно взятую, с нетривиальным содержанием, теорию.

При неформализованном описании математической дисциплины понятие о более общих методах и об аксиоматических системах дает средство избежать, где это возможно и необходимо, двусмысленностей естественного языка.