Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения

Диссертация: Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Исследования диссертационной работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений смешанного типа, а с другой — к направлению, связанному с теорией дробного интегро-дифференцирования. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, который интенсивно… Читать ещё >

Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Композиционные свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре
    • 1. 1. Основные определения и обозначения
    • 1. 2. Вывод формул-композиций обобщенных операторов laof’cxdf{t)x) при, а <
    • 1. 3. Таблица преобразований Меллина некоторых интегральных операторов
  • Глава 2. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения
    • 2. 1. Постановка задачи
    • 2. 2. Задача Дирихле-Неймана
    • 2. 3. Исследование уравнения (2.1) в гиперболической области. Доказательство единственности решения задачи
    • 2. 4. Доказательство существования решения задачи
    • 2. 5. Частный случай задачи 1 (ос — р)
  • Глава 3. Задача со смещением для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырояедения
    • 3. 1. Постановка задачи
    • 3. 2. Задача Неймана
    • 3. 3. Исследование уравнения (3.1) в гиперболической области. Доказательство единственности решения задачи
    • 3. 4. Доказательство существования решения задачи

Изучение краевых задач для уравнений смешанного типа находится в центре внимания специалистов по дифференциальным уравнениям с частными производными благодаря глубокому математическому содержанию этих задач и наличию многочисленных приложений при исследовании проблем математической физики. Эта теория включает рассмотрение ряда трудных и интересных задач. К их числу относятся краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения.

Исследования диссертационной работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений смешанного типа, а с другой — к направлению, связанному с теорией дробного интегро-дифференцирования. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, который интенсивно развивается. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями. Возникшая в начале 20-ых годов прошлого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в магнитной гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории оболочек, в прогнозировании уровня грунтовых вод и других областях науки и техники (см. JI. Берс [6], И. Н. Векуа [7], М. Н. Коган [20], Ф. И. Франкль [64]).

Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта [61, 62, 67], систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах М. А. Лаврентьева, Ф. И. Франкля, И. Н. Векуа, А. В. Бицадзе, К. И. Бабенко, Т. Д. Джураева, В. Ф. Волкодавова, С.П. Пуль-кина, М. М. Смирнова, М. С. Салахитдинова, В. И. Жегалова, A.M. Нахушева, Е. И. Моисеева, А. П. Солдатова, А. Н. Зарубина, К. Б. Сабитова и других математиков.

В 60-ые годы прошлого столетия А. В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных условий.

Исследования A.M. Нахушева и В. И. Жегалова сыграли важную роль при решении данной проблемы. В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд нелокальных задач нового типа [28, 29], которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. В отличии от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья на линии вырождения уравнения.

Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло и массообмена в капилляро-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [32].

В направлении развития теории краевых задач со смещением появилась серия работ A.M. Нахушева [30−33], В. И. Жегалова [13], М. М. Смирнова [57−59], Е. И. Моисеева [26], О. А. Репина [36, 38, 41, 43] их учеников и последователей.

Классические и современные результаты теории дробного интегродиффе-ренцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. И. Маричева [55]. Среди математических объектов дифференциальные и интегральные уравнения и интегральные преобразования являются наиболее близкими к конструкциям дробного интегроднфференцирования. А поскольку дифференциальные и интегральные уравнения имеют многочисленные приложения в естественных науках, то и дробное интегродифференциро-вание находит важные приложения. Например, в математической биологии, что нашло отражение в монографии A.M. Нахушева [32].

Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов стали операторы, введенные Э. Лавом (E.R Love, Австралия) [69, 70], А. Мак-Брайдом (А.С. McBride, Англия) [71], М. Сайго.

M.Saigo, Япония) [72].

Отметим, что при исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа с необходимостью возникает проблема изучения свойств и законов композиции обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с одинаковыми и различными началами, ядра которых содержат гипергеометрические функции Гаусса и Мейера.

В работах М. С. Салахитдинова и A.M. Нахушева [53], Б. Исломова [17], О. А. Репина и Л. Р. Гайсиной [42] найдены различные свойства и законы композиции операторов обобщенного интегродифференцирования дробного порядка, которые широко применяются при изучении краевых задач.

Исследованием нелокальных задач с обобщенными операторами в краевых условиях занимались многие математики.

Д. Аманов [2], В. Исломов [16], А. Хасанов [65], С. И. Макаров [23, 24] изучали задачи с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы, введенные Э. Лавом, для уравнения с двумя линиями вырождения в случае, когда порядок вырождения различен.

О.А. Репин [45], Е. В. Филимонова [63] исследовали задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов, краевые условия которых содержат линейную комбинацию обобщенных дробных интегродифференциальных операторов с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. О. А. Репиным получен явный вид решения такой задачи.

В работах О. А. Репина [44], С. В. Ефимовой [12], А. В. Ефимова [11] поставлены и изучены задачи, характерной особенностью которых является наличие в краевых условиях операторов Сайго, с помощью которых связываются след искомого решения на характеристике и нормальная производная на линии вырождения уравнения.

Заметим, что подобные операторы широко используются в работах М. С. Салахитдинова и его учеников [48−52, 54].

Краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы Сайго, рассматривали М. Сайго [72−76], О. А. Репин [35, 37, 39, 40], А. А. Килбас [18, 19].

В работе А. А. Андреева и Е. Н. Огородникова [3] получены законы композиций для операторов М. Caxtro на матричный случай и исследованы нелокальные краевые задачи для вырождающихся систем гиперболического типа, где широко используются операторы Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго в матричном представлении.

В совместных работах М. Сайго, А. А. Килбаса, О. А. Репина [68, 76] рассмотрены краевые задачи, содержащие операторы в смысле Сайго, для уравнения Бицадзе-Лыкова, и параболо-гиперболических уравнений.

Отметим некоторые статьи, связанные с тематикой нашего исследования.

В работе [23] доказаны единственность и существование решения задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа хихх + yiiyy + аих + риу = 0, ^ < а < (3 < 1.

Проблема однозначной разрешимости исследуемой задачи сводится к вопросу о разрешимости эквивалентного интегрального уравнения Фредгольма II рода с регулярным ядром и непрерывной правой частью.

В работе [65] исследованы две задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения гиперболического типа.

Утихх — хпиуу = 0, га > п > 0.

В статье [44] доказана однозначная разрешимость задачи для уравнения гиперболического типа.

1 3 хихх + уиуу + аих -1- fitly = 0, — < а, /3 < с операторами М. Сайго в краевом условии.

Вопрос об однозначной разрешимости задачи эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

В работе [8] для уравнения I ихх.

Щ+уЩ У > о, 0 < а < 1, ихх — (-у)тиуу, у < 0, 0 < т < 1, где Dq+v — частная производная Римана-Лиувилля порядка, а от функции и (х, у) по второй переменной, изучена нелокальная задача, краевое условие которой содержит линейную комбинацию обобщенных операторов в смысле.

М. Сайго. Решение исследуемой задачи получено в явном виде через специальную функцию Миттаг-Леффлера.

Настоящая диссертация посвящена изучению новых нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Поставленные и исследованные в работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях обобщенные операторы дробного интегродифферен-цирования в смысле М. Сайго с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, включающих двенадцать параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации — 129 страниц.

Список использованных источников

на 10 страницах содержит 87 наименований, при этом работы автора по теме диссертации приведены в конце списка.

Заключение

.

Настоящая диссертационная работа является продолжением исследований задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Характерной особенностью поставленных и изученных в работе задач является наличие в краевых условиях обобщенных операторов дробного ин-тегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, введенных японским математиком М. Сайго, с помощью которых связываются след искомого решения на характеристике и нормальная производная на линии вырождения уравнения. Выполненные в диссертации исследования позволяют сформулировать следующие достигнутые результаты.

1. С помощью аппарата специальных функций и преобразования Меллина получены важные формулы композиций обобщенных дробных производных в смысле М. Сайго.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.В. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в полуплоскости. / В. В. Азовский // Волжский математический сборник. — Куйбышев, 1971. — Выпуск 9. — С. 3−7.
  2. Д. Краевая задача для уравнения sgnyymuxx + хпиуу = 0 в неограниченной области. / Д. Аманов j j Известия АН Уз.ССР. Серия физ.-мат. наук, 1984. № 2. С. 8−10.
  3. А.А. Матричные интегродифференциальные операторы и их приложение. / А. А. Андреев, Е. Н. Огородников // Вестник СГТУ. Самара. Выпуск 7. Серия «Физико-математические науки». 1999. — С. 27−37.
  4. Г. Таблицы интегральных преобразований. / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 343 с.
  5. Г. Высшие трансцендентные функции. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 294 с.
  6. JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. / А. Берс. М.: ИЛ, 1961. — 208 с.
  7. И.Н. Обобщенные аналитические функции. / И. Н. Векуа. М.: Фитматгиз, 1959. — 628 с.
  8. Н.А. О разрешимости в замкнутой форме нелокальной задачи для уравнения смешанного типа второго рода. / Н. А. Вирченко, О. А. Репин // Долов1д1 НАН Укршни, 2007. № 10. — С. 15−23.
  9. Ф.Д. Краевые задачи. / Ф. Д. Гахов. М.: Наука, 1977. — 640 с.
  10. A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / A.M. Гордеев // Волжский математический сборник. Куйбышев, 1968. — Вып. 6. — С. 56−61.
  11. А.В. О постановке и разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с дробной производной. / А. В. Ефимов // Труды
  12. Международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и информационной технологии». Ташкент, 2003. -Т. 1. — С. 27−33.
  13. В.И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешано-составного типа. / В. И. Жегалов // Изв. вузов. Математика, 1982. МО. — С. 15−18.
  14. М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. / М. М. Зайнулабидов // Дифференц. уравнения. 1969. — Т. 5. — № 1. — С. 91−99.
  15. М.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения. / М. М. Зайнулабидов // Дифференц. уравнения. 1970. — Т. 6. — № 1. С. 99−108.
  16. . Краевые задачи типа задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. / Б. Исломов // Известия АН Уз.ССР. 1985. — Т. 6. — С. 12−17.
  17. . Свойства операторов обобщенного интегродифференцирова-ния дробного порядка с одинаковыми и различными началами. / Б. Исломов // Дифференц. уравнения и их приложения. Сборник научных трудов. Самара, 2002. — С. 412−416.
  18. А.А. Асимптотические разложения дробных интегралов и решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. / А. А. Килбас // Дифференц. уравнения. 1986. — т. 24. — № 10. — С. 1764−1777.
  19. А.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения. // А. А. Килбас, О. А. Репин // Дифференц. уравнения. 1998. -Т. 34. — № 6. — С. 799−805.
  20. М.Н. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа. / М. Н. Коган // Прикладная математика и механика. 1961. — Т. 25. -С. 132−137.
  21. И.А. Теория потенциала для уравнений с двумя линиями вырождения. / И. А. Макаров // Дифференц. уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. 1973. — Вып. 2. -С. 145−155.
  22. С.И. Вычисление композиций и формулы обращения некоторых интегродифференциальных операторов. / С. И. Макаров. Деп. в ВИНИТИ 1.10.86, № 6942−886. — 12 с.
  23. С.И. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. / С. И. Макаров // Вестник ЛГУ. Серия 1. Выпуск 1. — 1987. — С. 117−118. '
  24. С.И. Задача Трикоми с комбинированными условиями склеивания для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. / С. И. Макаров // Аналитические методы решения дифференциальных уравнений. Куйбышев: Издательство КГУ, 1988. С. 105−111.
  25. О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. / О. И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1978. — 310 с.
  26. Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа. / Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1992. — Т. 28. — № 1.-С. 110−121.
  27. Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике / Н. И. Мусхелишвили // М.: Наука, 1968. 511 с.
  28. A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1969. — Т. 5. — № 1. — С. 44−59.
  29. A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уранвения. / A.M. Нахушев // ДАН СССР. 1969. — Т. 187.- № 4. С. 736−739.
  30. A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями. / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения.- 1985. Т. 21. — т. — С. 92−101.
  31. A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. / A.M. Нахушев.- Нальчик, 1992. 155 с.
  32. A.M. Уравнения математической биологии. / A.M. Нахушев. -М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
  33. A.M. Задачи со смещением для уранвений в частных производных. / A.M. Нахушев. М.: Наука, 2006. — 287 с.
  34. А.П. Интегралы иряды. Дополнительные главы. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. М.: Наука, 1986. — 800 с.
  35. О.А. О задаче типа Бицадзе-Самарского для вырождающегося гиперболического уравнения. / О. А. Репин // Математическая физика. Межвузовский сборник. Ленинград, 1987. — С. 71−74.
  36. О.А. Краевая задача со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. / О. А. Репин // Саратовский государственный университет, 1992. 161 с.
  37. О.А. О краевой задаче со смещением для вырождающегося уравнения гиперболического типа. / О. А. Репин // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Сборник трудов всесоюзной конференции. Владивосток, 1992. — С. 92−97.
  38. О.А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения . / О. А. Репин // Дифференц. уравнения. 1998. — Т. 34. — № 1. — С. 110−113.
  39. О.А. О смешанной задаче для вырождающегося нагруженного ин-тегродифференциального уравнения второго порядка. // О. А. Репин // Труды третьей международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск, 1998. — С. 161−162.
  40. О.А. Задача со смещением для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения. / О. А. Репин // Вестник Самарской государственной экономической академии. 1999. — № 1. — С. 208−213.
  41. О.А. Об одной задаче со смещением с оператором М. Сайго и Римана-Лиувилля. / О. А. Репин, Е. В. Филимонова // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2003. — Т. 6. — № 2. — С. 74−77.
  42. О.А. О задаче с обобщенными операторами дробного интегродиф-ференцирования для уравнения гиперболического типа. / О. А. Репин // Вестник СамГТУ. № 30. — Серия «Физико-математ. науки». — 2004. -С. 70−72.
  43. К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. / К. Б. Сабитов, Г. Г. Шара-футдинова // Дифференц. уравнения. 2003. — Т. 39. -№ 6. — С. 788−800.
  44. К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. / К. Б. Сабитов, Г. Г. Бикулова, А. А. Гималтдинова. -Уфа: Гилем, 2006. 150 с.
  45. М.С. Уравнения смешанно-составного типа. / М.С. Сала-хитдинов. Ташкент: Фан, 1974. — 156 с.
  46. М.С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. / М. С. Салахитдинов, А. Хасанов // Дифференц. уравнения. 1983. — Т. 19. — № 1. С. 110−119.
  47. М.С. Задача Трикоми для общего линейного уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. /М.С. Салахитдинов, Б. Исломов // Доклады АН СССР. 1986. — Т. 289. — № 3. — С. 549−553.
  48. М.С. Задача с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения. / М. С. Салахитдинов, 3. Кадыров // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 1. — С. 103−114.
  49. М.С. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения {—у)тихх + хпиуу — 2хп(—у)ти = 0. / М. С. Салахитдинов, Б. Исломов // Неклассические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. Ташкент. ФАН, 1988. — С. 24−34.
  50. М.С. О законе композиции операторов дробного интегродифференцирования с различными началами. / М. С. Салахитдинов, A.M. Нахушев // Доклады АН СССР. 1988. — Т. 299. — С. 1313−1316.
  51. М.С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя внутренними линиями вырождения. /М.С. Салахитдинов // Доклады АН СССР. 1991. — Т. 316. — № 5. — С. 1051−1054.
  52. С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
  53. М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1966. — 292 с.
  54. М.М. Уравнения смешанного типа. / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1970. — 295 с.
  55. М.М. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа второго рода с двумя линиями вырождения. / М. М. Смирнов. Изв. вузов. Математика. — 1982. — № 3. — С. 68−75.
  56. М.М. Уравнения смешанного типа. / М. М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.
  57. С.А. Введение в теорию уравнений вырождающихся на границе. / С. А. Терсенов. Новосибирск: НГУ, 1973. — 144 с.
  58. Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. / Ф. Трикоми. МЛ. — Гостехиздат, 1947. -192 с.
  59. Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. / Ф. Трикоми. М.: Наука, 1957. — 443 с.
  60. Е.В. Краевая задача с оператором М. Сайго для параболо-гиперболического уравнения. / Е. В. Филимонова // Вестник СамГТУ. -Серия «Физико-математ. науки»: 2004. — № 30. — С. 78−82.
  61. Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. / Ф. И. Франкль. М.: Наука, 1973. — 771 с.
  62. А. О некоторых задачах типа Бицадзе-Самарского для уравнения гиперболического типа. / А. Хасанов // Краевые задачи для уравнений математической физики и их приложения. Ташкент, ФАН, 1983. -С. 45−49.
  63. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения. / Хе Кан Чер // Дифференц. уравнения с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1980. -С. 64−67.
  64. Gellerstedt S. Quelques problems michtes pour l’equation ymzxx + zyy — 0./ S. Gellerstedt // Arciv Math., Astr. och. F>sik. 1938/ - B. 26 A. — № 3. -P. 1−32.
  65. Kilbass A. A. Solution in closed form of boundary value problem for degenerate equation of hyperbolic type. / A.A. Kilbas, O.A. Repin, M. Saigo // Kyungpook. Mathematical Journal. 1996. — Vol. 36. — № 2. — P. 261−273.
  66. Love E.R. Two more hypergeometric integral equations. / E.R. Love // Proc. Combridge Phil. Soc. 1967. — Vol. 63. — № 4. — P. 241−259.
  67. Love E.R. Some integral equations involving hypergeometric functions. / E.R. Love // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1967. — Vol. 15. — № 3. — P. 169−198.
  68. McBride A.C. Solution of hypergeometric integral equations involving generalized functions. / A.C. McBride // Proc Edinbourgh Math. Soc. 1975.- Vol. 19. № 3. — P. 265−285.
  69. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions. / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ 1978. — Vol. 11. — № 2. -P. 135−143.
  70. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation / M. Saigo // Math. Japan. 1979. — Vol. 24. — № 4. — P. 377−385.
  71. Saigo M. On the Holder continuity of the generalized fractional integrals and derivatives. / M. Saigo // Math. Rep. Kyushu Univ. 1980. — Vol. 12. — № 2.- P. 55−62.
  72. Saigo M. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces. / M. Saigo, A.A. Kilbas // Transform Methods and Special Functions. Sofia 94. (Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ. Singapore. -1995. P. 282−293.
  73. Saigo M. On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type. / M. Saigo, O.A. Repin, a, A, Kilbas // International Journal of Mathemat. and Statistical. 1996. — Vol. 5. — № 1. -P. 104−117.
  74. Saigo M. More generalization of fractional calculus. / M. Saigo, N. Maeda // Transform. Methods. Functions. Varna. 1996. — P. 386−400.
  75. Srivastava H.M. Multiplication of Fractional Calculus Operators and Boundary Value Problems involving the Euler-Darboux equation. / H.M. Srivastava, M. Saigo // J. Math. Anal, and Appl. 1987. — Vol. 121. — № 2. -P. 325−369.
  76. T.B. Некоторые композиционные свойства обобщенных операторов дробного дифференцирования. / Т. В. Шувалова // Вестник Самарского государственного технического университета. Выпуск 42, Серия «Физико-математические науки». 2006. — С. 45−48.
  77. Шувалова Т. В'. Об одном эффективном методе получения сингулярногоинтегрального уранения. / Т. В. Шувалова // Материалы 12-ой международной научной конференции имени академика М. Кравчука. Киев, 2008. — С. 869.
  78. Т.В. К вопросу о единственности решения задачи со смещением для уравнения смешанного типа. / Т. В. Шувалова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. — Т. 10. — № 1. -С. 87−91.
  79. О.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. / О. А. Репин, Т. В. Шувалова // Дифферент уравнения. 2008. — Т. 44. — № 6. — С. 848−851.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!