Сложение ортогональных колебаний

Пусть теперь колебания точки происходят во взаимно перпендикулярных направлениях. Тогда можно считать, что по гармоническому закону изменяются координаты точки x (t) и y (t):

Эти уравнения можно рассматривать как параметрическое задание кривой у (лг) и поступать с ним соответственно. Исключая из них параметр f, получаем.

Видно, что при (р = О.

— уравнение прямой, проходящей через 0 и лежащей в 1-й и 3-й четвертях (рис. 6.6, слева). При <�р = ±л имеем.

— уравнение прямой, проходящей через 0 и лежащей во 2-й и 4-й четвертях (рис. 6.6, справа).

Рис. 6.6.

Наконец, если ф = ±л/2, получаем уравнение эллипса (см. рисунок):

Эллипс — результат сложения ортогональных колебаний В частном случае, когда /Ь = Аь эллипс вырождается в окружность. Таким образом, доказано высказанное в разделе 6.1.1 утверждение, что как движение небесных тел, так и движение электронов в атомах можно рассматривать как колебательное. Если частоты ортогональных колебаний кратные, траектория точки дает так называевыс фигуры Лиссажу (см. рисунок).

Фигура Лиссажу — результат сложения ортогональных колебаний кратных частот.

Затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе есть трение и, следовательно, потери энергии. Поэтому колебания со временем уменьшают свою амплитуду и затухают, если потери энергии не восполнять за счет внешнего источника. В механических системах чаще всего сила трения имеет вид.

где v — скорость, г — коэффициент трения. Уравнение затухающих колебаний нетрудно получить из второго закона Ньютона, добавив в правую часть силу трения:

где р = г/2т — коэффициент затухания. Решение его (п. 1.3.3) определяется соотношением (Оо и р. При небольшом затухании Р < соо решение имеет вид

где частота затухающих колебаний о>, = ^g)q — р². График этой функции показан на рис. 6.7. Это колебания с убывающей амплитудой.

причем величину т= 1/р называют временем релаксации системы. За время т амплитуда колебаний убывает в е раз, где еъ 2,71… — основание натуральных логарифмов.

Рис. 6.7.

Декремент затухания характеризует отношение амплитуд по прошествии периода колебаний

а его логарифм.

— логарифмический декремент затухания.

Энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды и поэтому убывает как.

При большом затухании, когда (5 ^ соо характер решения меняется. Уже из формулы для периода видно, что.

т.е. процесс становится апериодическим. Это отражается и на решении уравнения (п. 1.3.3):

где О. = у/p²-wj), а постоянные А и а зависят от начальных условий. График такой функции показан на рис. 6.8, причем конкретная кривая затухания, 1 либо 2, определяется соотношением начальной скорости щ и начального отклонения xq.

Рис. 6.8.