Интегрирование функций комплексного переменного

Интеграл от функции комплексного переменного

Рассмотрим гладкую кривую Г на комплексной плоскости, заданную параметрическими уравнениями.

(определение гладкой кривой дано в начале § 8). Как уже отмечалось в § 8, эти уравнения можно записать в компактной форме:

При изменении параметра t от а до /3 соответствующая точка z (t) будет двигаться по кривой Г. Поэтому уравнения (15.1) и (15.2) не только определяют точки кривой Г, но и задают направление обхода этой кривой. Кривая Г с заданным направлением ее обхода называется ориентированной кривой.

Пусть в области D С С задана непрерывная функция /(г) = = и (х, у) + iv (x. у), и пусть кривая Г лежит в D. Чтобы ввести понятие интеграла [ f (z)dz от функции f (z) по кривой Г, определим г дифференциал dz равенством dz = dx + idy. Подынтегральное выражение преобразуется к виду.

Таким образом, интеграл от комплексной функции f (z) по кривой Г естественно определить равенством.

в правую часть которого входят два действительных криволинейных интеграла второго рода от действительных функций и и и. Для вычисления этих интегралов следует вместо х и у подставить функции x (t) и t/(/), а вместо dx и dy — дифференциалы этих функций dx = x'(t) dt и dy = y'(t) dt. Тогда интегралы в правой части (15.3) сведутся к двум интегралам от функций действительного переменного t

Теперь мы готовы дать следующее определение.

Интегралом вдоль кривой Г от функции комплексного переменного f (z) называется число, обозначаемое J' f (z)dz и вычисляемое по г.

формуле где z (t) = x (t) + iy (t), а ^ t ^ ft, — уравнение кривой Г, a z'(t) = = x'(t) + iy'{t).

Пример 15.1. Вычислить интеграл от функции f (z) = (г — а)^п по окружности радиуса г с центром а, направление обхода которой против часовой стрелки.

Р е ш е н и е. Уравнение окружности z — а = г будет z — а = ге^а, или

При изменении t. от 0 до 2тг точка z (t.) движется по окружности Г против часовой стрелки. Тогда.

Применяя равенство (15.5) и формулу Муавра (2.10), получаем.

Мы получили результат, важный для дальнейшего изложения:

Заметим, что значение интеграла не зависит от радиуса г окружности.

П р и мер 15.2. Вычислить интеграл от функции f (z) = 1 но гладкой кривой Г с началом в точке а и концом в точке Ь.

Р е ш е н и е. Пусть кривая Г задается уравнением z (t.) = x (t) + + iy{t), а ^ t ^ /3, причем а = -г (а), Ь = z ({3). Используя формулу (15.5), а также формулу Ньютона Лейбница для вычисления интегралов от действительных функций, получим.

Мы видим, что интеграл f 1 dz не зависит от вида пути Г, соединяю;

г щего точки, а и 6, а зависит только от концевых точек.

Изложим вкратце другой подход к определению интеграла от комплексной функции f (z) по кривой, аналогичный определению интеграла от действительной функции по отрезку.

Рис. 31.

Разобьем кривую Г произвольным образом на п участков точками zq = a, z 1, …, z_n-ь z_n = Ь, занумерованными в направлении движения от начальной точки к конечной (рис. 31). Обозначим z — zo = = Az> …, Zlc — Zk-l = Az/c, z_n — Z_n- 1 = = Az_n. (Число Azk изображается вектором, идущим из точки ziL_i в Zk-) На каждом участке (zk-i, Zk) кривой выберем произвольную точку (ди составим сумму.

Эта сумма называется интегральной суммой. Обозначим через Л длину наибольшего из участков, на которые разбита кривая Г. Рассмотрим последовательность разбиений, для которой Л —? 0 (при этом п -* оо).

П1>едел интегральных сумм, вычисленный при условии, что длина наибольшего из участков разбиения стремится к нулю, называется интегралом от функции /(г) по кривой Г и обозначается Г f (z)dz:

Можно показать, что это определение также приводит нас к формуле (15.3) и, следовательно, эквивалентно определению (15.5), данному выше.

Установим основные свойства интеграла / f (z)dz.

г.

1°. Линейность. Для любых комплексных постоянных, а и b

Это свойство следует из равенства (15.5) и соответствующих свойств интеграла по отрезку.

2°. Аддитивность. Если кривая Г разбита на участки Ti м Г2, то

Доказательство. Пусть кривая Г с концами а, Ь разбита точкой с на две части: кривую Гi с концами а, с и кривую Гг с концами с, Ь. Пусть Г задается уравнением z = z (t), а ^ t ^ в. причем а = 2(a), b = z (ft), с = 2(7). Тогда уравнения кривых Г1 и Гг будут z = z (t), где а ^ t ^ 7 для Ti и 7 ^ t ^ /? для Гг. Применяя определение (15.5) и соответствующие свойства интеграла по отрезку, получим.

что и требовалось доказать.

Свойство 2° позволяет вычислять интегралы не только по гладким кривым, но также и, но кусочно гладким, т. е. кривым, которые можно разбить на конечное число гладких участков.

3°. При изменении направления обхода кривой интеграл меняет знак.

Доказаге л ь с т в о. Пусть кривая Г с концами а и Ь задается уравнением г = г (?), о ^ t ^ $. Кривую, состоящую из тех же точек, что и Г, но отличающуюся от Г направлением обхода (ориентацией), обозначим через Г". Тогда Г^- задается уравнением z = 2i (J)> где z (t) = 2(0 -I— fi — t), Действительно, введем новое переменное г = а + — t. При изменении t от, а до (д переменное г изменяется от (5 до а. Следовательно, точка г (т) пробежит кривую Г" .

Свойство 3° доказано. (Заметим, что из определения интеграла (15.8) это свойство следует непосредственно: при изменении ориентации кривой все приращения AZk меняют знак.).

4°. Модуль интеграла f f (z)dz не превосходит значения криволи- г.

нейного интеграла от модуля функции по длине кривой s (криволинейного интеграла от f (z) первого рода):

Легко видеть, что z[(t) = г'_г(т)(а + — t)J = —z'_t(t), dt = —dr. Используя определение (15.5) и переходя к переменному г, получим.

Доказательство. Воспользуемся тем, что для интеграла по отрезку.

(это неравенство сразу следует из определения интеграла по отрезку как предела интегральных сумм). Отсюда и из (15.5) имеем.