Примеры решения задач

6.2.1. Учитывая аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями, определить электромагнитный аналог возвращающей квазиупругой силы и силы трения.

Решение. Воспользуемся таблицей п. 6.2.2. В механике квазиупругая сила F = -кх, так что ее электромагнитный аналог C~^xq — ис — не что иное, как напряжение конденсатора. Выражение для силы трения F_c = —гу, гак что, учитывая упомянутую таблицу, получаем Ri = ur> т. е. аналог силы трения — падение напряжения на активном сопротивлении.

6.2.2. Частота свободных колебаний контура о>о, начальный заряд конденсатора <�у (0), начальный ток в катушке индуктивности /(0). Определить зависимость от времени заряда конденсатора q (t) и тока в катушке.

/(о.

Решение. Используя выражения раздела 6.2.1 в момент t= 0, получаем формулы для q (0) и /(0):

Их можно рассматривать как систему уравнений для определения <�р₀ и q_m. Решая ее, получаем.

Теперь, используя формулы того же раздела, записываем ответ.

6.2.3. Для контура на рис. 6.10 рассчитать зависимость выделяемой мощности от времени. Коэффициент затухания удовлетворяет условию Р<�С0().

Решение. Воспользуемся законом Джоуля-Ленца для переменного тока, подобно разделу 6.2.8.

где все обозначения аналогичны п. 6.2.7. Подобно разделу 6.2.8, ищем среднюю за период потерю мощности. Ввиду малого затухания полагаем, что ехр (—2(3/) — функция, очень мало меняющаяся за период, поэтому ее за знак интеграла по времени в пределах одного периода можно вынести. В результате, повторяя вычисления указанного раздела, получаем

Как и следовало ожидать, в пределе выключения затухания р —? 0 полученное выражение обращается в нуль. В целом последняя формула повторяет зависимость E (t) раздела 6.1.7.

6.2.4. Для цепи на рис. 6.10 построить векторную диа1рамму токов и напряжений на всех ее элементах. Принять, что С = ЮмкФ, L = 20 Гн. R = 2 кОм, нот = 250 В, со_в = 50 Гц.

Решение. Поскольку ток в этой цепи является общим, его фазу удобнее принять за нулевую. Амплитуду тока вычисляем, используя формулу для нее из раздела 6.2.7:

Отставание тока по фазе от внешнего напряжения составляет, согласно соотношению того же пункта.

т.е. ток опережает по фазе внешнее напряжение на л/7. Так и должно быть, ибо емкостное сопротивление равно 2000ом и превышает индуктивное, составляющее 1000ом. Общий ток рассматриваемой цепи и внешнее напряжение показано на рисунке. Важно, что ток и напряжение — величины с независимыми размерностями. Поэтому их масштаб можно выбирать совершенно произвольно, и соотношение их длин на векторной диаграмме ни о чем не говорит.

Рис. 6.23.

Амплитуда напряжения на резисторе составляет

а по фазе оно совпадает с внешним током. Поэтому иллюстрирующий его вектор должен быть коллинеарен вектору тока и направлен по оси абсцисс. Отметим, что масштаб напряжения на резисторе дол— жен соответствовать масштабу общего напряжения, поскольку это ветчины одной размерности. Амплитуда напряжения на конденсаторе равна.

а направлено оно вертикально вниз по оси ординат, т.к. по фазе отстает от тока на я/2. Амплитуда напряжения на катушке вычисляется аналогично.

Соответствующий вектор направлен вертикально вверх по оси ординат, поскольку опережает по фазе ток на я/2. Разумеется, масштабы ul и ис должны соответствовать общему масштабу напряжения.

Ясно, что ввиду последовательного характера соединения элементов вектор wo должен быть равен сумме векторов м/?, w/. и ис, причем суммирование осуществляется по обычным правилам векторной алгебры (в этом и состоит главное преимущество метода векторных диаграмм). Как видно из рис. 6.23, при выбранном направлении оси абсцисс проекция wo на эту ось дает W/?, а на ось ординат — разность ис и UL-

6.2.5. Для цепи с характеристиками С = 10мкФ, L = 20 Гн, R = 1 кОм. wo = 250 В, со, = 50Гц, показанной на рис. 6.24, вычислить полный импеданс и общий ток.

Рис. 6.24.

Решение. Активное сопротивление и емкость соединены параллельно, так что их совместный импеданс вычисляется по формуле

Следовательно, полный импеданс цепи ввиду последовательного соединения RC — цепочки и индуктивности.

Через индуктивность проходит полный ток цепи. Он равен.

т.е. отстает по фазе от внешнего напряжения на л /5, а его амплитуда.

6.2.6. Рассчитать токи и напряжения на всех элементах цепи из предыдущей задачи, а также построить их векторные диаграммы.

Решение. Ток через индуктивность рассчитан в предыдущей задаче. Амплитуда напряжения на индуктивности составит.

а его фаза опережает внешнее напряжение на л /2 — л /5 = Зл /10.

Напряжение на активном сопротивлении и емкости находим, вычитая из внешнего напряжения напряжение на индуктивности.

Следовательно, амплитуда напряжений на этих элементах.

а фаза его отстает от фазы внешнего напряжения на % 7л /20. Фаза тока на активном сопротивлении точно такая же, а его амплитуда.

11аконец, фаза тока на конденсаторе опережает внешнее напряжение на л/2 — 7л /20 = Зл /20, а его амплитуда равна.

Рис. 6.25.

Диаграмма напряжений и токов показана на рис. 6.25. За нулевую примем фазу внешнего напряжения, так что соответствующий вектор щ следует направить по оси абсцисс. Вектор и/, лежит в первой четверти и образует угол Зл /10 с осью абсцисс. Вектор uqr ^— в четвертой четверти, а угол его с осью абсцисс 7л/20. Сумма этих векторов дает uq. как и должно быть ввиду последовательного соединения индуктивности и RC — цепочки. Вектор //? направлен вдоль вектора ur, а вектор ic ему ортогонален и образует угол 3л /20 с осью абсцисс. Сумма векторов /ди ic дает вектор i^, что вполне естественно ввиду того, что RC — цепочка последовательно соединена с индуктивностью. Сам ii лежит в четвертой четверти и образует угол л/5 с вектором мо;

6.2.7. Для контура на рис. 6.26 с характеристиками С = 20 мкФ, L = 20 Гн, R = 1 кОм, ио = 250 В, со_в = 50 Гц вычислить полный импеданс и общий ток.

Рис. 6.26.

Решение. В целом расчет вполне аналогичен ранее разобранной задаче 6.2.5, с той лишь разницей, что емкость и индуктивность поменялись местами. Ввиду параллельного соединения катушки и активного сопротивления их совместный импеданс.

Полный импеданс контура ввиду последовательного соединения RL — цепочки и конденсатора равен.

Полный ток цепи, проходящий через конденсатор, можно записать как т. е. он имеет амплитуду.

и опережает по фазе внешнее напряжение на п/4.

6.2.8. Рассчитать токи и напряжения на всех элементах цепи из предыдущей задачи (рис. 6.26) и построить их векторные диаграммы. Решение. Определяем амплитуду напряжения на конденсаторе, используя ток через него, найденный в прошлой задаче.

Фаза этого напряжения отстает от внешнего напряжения на %/2 — к/4 = я/4.

Общее напряжение RL — контура находим, вычитая из входного напряжения напряжение на конденсаторе.

Таким образом, амплитуда напряжений на катушке и резисторе равна.

а его фаза опережает фазу внешнего напряжения на величину л/2. Такую же фазу имеет ток на активном сопротивлении, а амплитуда его составит.

На индуктивности фаза тока составит л/2 — к/2 % 0 по отношению к внешнему напряжению, а его амплитуда.

Диаграмма рассчитанных выше токов и напряжений показана на рисунке. Подобно задаче 6.2.6, за нулевую принята фаза внешнего напряжения, так что его вектор направлен вдоль оси абсцисс. Вектор uq лежит в четвертой четверти, образуя угол п/4 с осью абсцисс. Вектор url, характеризующий напряжение на элементах RL — цепочки, образует с вектором мо угол л/2. Сумма векторов ис и url дает вектор ио, как и должно быть в силу характера соединения этих элементов. Вектор тока через резистор i’r коллинеарен url, т. е. совпадает с направлением оси ординат. Вектор // направлен вдоль оси абсцисс и дает вектор /с в сумме с векгором //?. Еще раз обратим внимание на независимость масштабов векгоров токов и напряжений.

6.2.9. Для цепи переменного тока на рис. 6.27 вычислить полный импеданс и общий ток.

Рис. 6.27.

Решение. Определяем вначале сопротивление UC-цепочки (по сути, обычного колебательного контура):

Обратим внимание, что это сопротивление обращается в бесконечность, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой контура со_в= соо. Это означает, что на такой частоте колебательный контур эквивалентен простому обрыву электрической цепи. Полный импеданс рассматриваемой цепи.

где фаза импеданса составляет.

Таким образом, проходящий через резистор общий ток равен.

6.2.10. Для цепи на рис. 6.27 с параметрами С = 40мкФ. L — 20Гн, R = 2кОм, мо = 250 В, со_в = 50Гц вычислить токи и напряжения на всех элементах и построить для них векторные диаграммы.

Решение. Для вычисления тока на резисторе воспользуемся последней формулой предыдущей задачи. По фазе этот ток отстает от внешнего напряжения на.

т.е. опережает его на к /7, а амплитуда его составит.

Напряжение на резисторе, естественно, по фазе совпадает с током, а по амплитуде равно.

Аналогично задачам 5.26 и 5.28 находим напряжение на элементах LC- цепочки, вычитая из внешнего напряжения то напряжение, что падает на резисторе.

Таким образом, амплитуда напряжения на емкости и индуктивности.

причем по фазе это напряжение отстает от внешнего на 7л/20. Ток через индуктивность имеет амплитуду.

а фаза его меньше фазы внешнего напряжения на 1п/20+п/2 = 17л/20. Амплитуда тока через конденсатор составляет.

а фаза этого тока опережает фазу внешнего напряжения на л/2 — 7л/20 = Зтг/20.

Рис. 6.28.

Векторная диаграмма рассчитанных токов и напряжений представлена на рис. 6.28. Как и ранее, за нулевую фазу принимаем фазу внешнего напряжения и направляем соответствующий вектор по оси абсцисс. Вектор напряжения на резисторе ur лежит в первой четверти и образует с этой осью угол л /7. Таким же образом ориентирован и вектор тока на резисторе //?. Вектор напряжения LC — контура ulc располагается в четвертой четверти, причем его угол с векгором wo — 7л /20. Сумма ur и ulc дает вектор wq. Ток на конденсаторе ic, как обычно, опережает напряжение ис на л /2 по фазе и лежит в первой четверти, причем его угол с осью абсцисс 3л /20. Наконец, вектор 4 располагается в третьей четверти, образуя угол 17л /20 с осью абсцисс. Замел им, что угол между векторами /с и //. равен развернутому углу л, т. е. они находятся в противофазе, как и в чистом колебательном контуре (раздел 6.2.1).