Динамическая модель управления запасами со страховым запасом

В реальных экономических системах возможны задержки в поступлении очередной партии товаров, то есть в общем случае время поступления случайно. Циклограмма поступления и расходования запасов товаров будет иметь вид (рис. 3).

Компенсировать отклонения от графика поставки можно, введя страховой запас, объемом, что позволяет организовать устойчивую работу экономической системы.

Циклограмма поступления и расходования запасов товаров для системы со страховым запасом будет иметь вид (рис. 4).

Исследуем, как повлияло введение страхового запаса на оптимальные параметры системы.

Затраты, приходящиеся на единицу партии товаров при использовании страхового запаса, имеют вид.

Окончательно.

.

Продифференцировав (5) по Q и приравняв получившиеся выражение нулю, найдем оптимальное значение Q, при котором затраты, приходящиеся на единицу партии товаров, имеют минимальное значение.

Выражение (5) полностью совпадает с аналогичным выражение для оптимального объема партии товаров при простейшей динамической детерминированной модели Уилсона. Рассчитаем основные оптимальные параметры системы.

Оптимальный период заказа партии товаров T.

.

Минимальные затраты, приходящиеся на единицу партии товаров при использовании страхового запаса, имеют вид.

По сравнению с минимальными затратами для простейшей динамической детерминированной модели Уилсона, в исследуемой модели затраты возросли на величину, пропорциональную времени расхода страхового запаса.

Рассчитаем величину страхового запаса. Время поступления очередной партии товаров в общем случае случайное. В общем случае оно лежит в интервале, описывается функцией распределения с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением. Эти характеристики можно получить путем статистической обработки массива времен поступления партий товаров, сформированного по замерам времен поступления партий товаров.

Если, то будет простой производственной системы, которую обслуживает система управления запасами. Вероятность этого.

По аналогии с математической статистикой, будем называть величину уровнем значимости. События и — противоположны, поэтому вероятность.

Не теряя общности можно записать.

Но это функция распределения, то есть.

Обычно за планируемое время поставки выбирают среднее время поставки m. За время m будет расходовано mv единиц запаса. Следовательно. Подставив в (*.10) получим.

.

Подставляя в (11) выражения для конкретных функций распределения, можно получить конкретные уравнения для определения .

Пусть время поступления распределено по экспоненциальному закону с функцией распределения.

.

математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением также равным m .

Подставив в (12) аргумент функции, стоящей в левой части выражения (*.11), получим.

Логарифмируя обе части последнего выражения, получим.

откуда получим окончательное выражение для :

В выражении (13) в правой части стоит знак «минус». Но так как вероятность выбирается достаточно малой (порядка 0,05), то и общее выражение будет иметь положительный знак.

Так как мы исследуем модель, то целесообразно определить границы применимости этой модели.

Выражение должно быть меньше нуля. Чтоб было отрицательным, необходимо что бы. То есть максимальное значение равно 1/e = 0,368. При этом условии страховой запас равен нулю и примерно 37% поставок будут выполняться с запаздывание, что естественно неприемлемо.

Рассчитаем уровень запаса, при котором осуществляется заказ следующей партии товара .

Исследуем случай, когда время поступления очередной партии товаров распределено равномерно в диапазоне. Среднее значение времени поступления очередной партии товаров определяется выражением, среднеквадратическое отклонение этого времени. Плотность распределения ;

Так как плотность распределения и, соответственно, функция распределения для равномерного закона являются кусочными функциями, выражение (11) целесообразно записать через интеграл от плотности распределения.

Естественно,. После преобразований получим ограничения для.

.

После интегрирования выражения (15), получим.

После преобразований окончательно получим.

.

Если выбирать в соответствии с выражение (17), то ограничение (16) будет автоматически выполняться.

Область применимости этой модели — .

Если по результатам статистической обработки массива времен поступления партий товаров, сформированного по замерам времен поступления партий товаров, выяснилось, что распределение времени поступления равномерное с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением у, то параметры и можно определить из решения системы уравнений.

.

откуда.

.

Рассчитаем уровень запаса, при котором осуществляется заказ следующей партии товара .

И, наконец, исследуем случай, когда время поступления очередной партии товаров распределено по нормальному закону с плотность распределения.

.

средним временем поступления очередной партии товаров и среднеквадратическим отклонением этого времени. График функции изображен на рис. 5.

Время, отмеченное на графике, как равно времени расхода страхового запаса плюс планируемое время поставки партии товара —, площадь заштрихованной области равна вероятности простоя экономической системы из-за отсутствия запаса.

Так как нормальное распределение описывает случайные величины, лежащие в диапазоне от до, то целесообразно для расчета страхового запаса воспользоваться формулой (*.9), которую можно переписать в виде.

.

Для нормального закона вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (a, b) задается выражением.

где — функция Лапласа, значения которой табулированы для различных t, m — математическое ожидание, у — среднеквадратическое отклонение.

С учетом этого выражение (19) примет вид.

.

.

где — функция обратная .

Уровень запаса, при котором осуществляется заказ следующей партии товара определяется выражением.

В качестве примера рассмотрим расчет системы управления запасами со страховым запасом с применением системы компьютерной математики Maple по данным замера времен поступления партий деталей в часах, представленных следующим статистическим рядом:

3.48, 4.34, 8.99, 4.86, 2.55, 9.53, 6.42, 1.55, 8.56, 6.81, 9.63, 8.74, 9.06, 5.50, 0.841, 0.671, 6.22, 2.24, 2.74, 4.10, 6.60, 8.88, 2.34, 6.06, 0.705, 3.22, 6.12, 6.98, 7.89, 5.68, 9.85, 8.11, 6.51, 2.24, 0.597, 8.86, 2.09, 8.63, 1.35, 8.97, 8.25, 9.08, 8.52, 4.25, 9.48, 3.51, 8.72, 0.252, 1.95, 5.49, 5.59, 3.31, 2.57, 6.78, 3.26, 7.37, 5.21, 8.36, 3.73, 3.24, 5.33, 3.33, 7.77, 2.97, 0.351, 0.324, 0.413, 4.65, 6.63, 0.527, 3.64, 8.27, 4.78, 2.22, 1.69, 6.21, 8.53, 6.31, 6.03, 5.64, 2.49, 0.548, 3.29, 7.84, 4.23, 7.45, 6.94, 6.33, 0.871, 9.96, 1.87, 4.69, 0.933, 8.33, 8.77, 2.61, 0.658, 3.17, 9.40, 5.84.

Рабочий лист Maple, реализующим все расчеты, может быть следующим:

Сброс системы и установка вывода на экран трех значащих цифр

> restart: Digits:=3:

Вызов пакета статистических расчетов и средств построения графиков в нем.

> with (stats):with (stats[statplots]):

Ввод исходных данных.

>X1:=[3.48,4.34,8.99,4.86,2.55,9.53,6.42,1.55,8.56,6.81,9.63,8.74,9.06,5.50,0.841,0.671,6.22,2.24,2.74,4.10,6.60,8.88,2.34,6.06,0.705,3.22,6.12,6.98, 7.89, 5.68, 9.85, 8.11, 6.51, 2.24, 0.597, 8.86, 2.09, 8.63, 1.35, 8.97, 8.25, 9.08, 8.52, 4.25, 9.48, 3.51, 8.72, 0.252, 1.95, 5.49, 5.59, 3.31, 2.57, 6.78, 3.26, 7.37, 5.21, 8.36, 3.73, 3.24, 5.33, 3.33, 7.77, 2.97, 0.351, 0.324, 0.413, 4.65, 6.63, 0.527, 3.64, 8.27, 4.78, 2.22, 1.69, 6.21, 8.53, 6.31, 6.03, 5.64, 2.49, 0.548, 3.29, 7.84, 4.23, 7.45, 6.94, 6.33, 0.871,9.96, 1.87, 4.69, 0.933, 8.33, 8.77, 2.61, 0.658, 3.17, 9.40, 5.84]:

Строим гистограмму относительных частот.

> histogram[count](X1);

Распределение близко к равномерному с плотностью распределения.

математическим ожиданием, и среднеквадратическим отклонением.

.

Находим оценку для математического ожидания и среднеквадратического отклонения времени поставки партии товара по данным массива X1.

> m:=describe[mean](X1);

m := 5.10.

> sigma:=describe[standarddeviation](X1);

у := 2.92.

Для нахождения значений и воспользуемся формулами (18).

.

Рассчитаем объем страхового запаса при уровне значимости.

Аналогично для уровней значимости.

Рассчитываем оптимальный объём партии заказа.

Строим график суммарных затрат на хранение одной детали в зависимости от объема партии, задаваемых выражением.

при уровне значимости 0,01.

> plot (20 000/Q+0.5*Q*1/60+298/60,Q=100.6000,z=0.100);

Строим совместный график объема страхового запаса и уровня запаса, при котором осуществляется заказ следующей партии, в зависимости от уровня значимости.

Как видно из рисунка, зависимость объема страхового запаса от уровня значимости имеет линейный характер и с ростом уровня значимости расчетный объем страхового запаса уменьшается.