Использование моделирования в обучении решению задач в 5 классе

ГОУ СПО «Кунгурское педагогическое училище»

ПЦК преподавателей естественно-математических дисциплин Допущена к защите:

Зам. директора по учебной работе Л. А. Патракова

2008 г.

Председатель ПЦК естественно-математических дисциплин Т. А. Трясцына

2008 г.

Использование моделирования в обучении решению

задач в 5 классе

Выпускная квалификационная работа по методике преподавания математики Власовой Ольги Сергеевны специальность: 50 201

Математика группа: М — 51 отделение: очное Руководитель:

преподаватель методики математики Т. А. Трясцына Защита состоялась:

Отметка:

Председатель ГАК:

Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретические основы использования моделирования в процессе обучения.

1.1. Понятие модели и моделирования в учебно-методической литературе

1.2. Моделирование в решении текстовых задач Глава 2. Методико-математические основы использования моделирования.

2.1. Практический опыт использования моделей при решении задач на движение в 5 классе

2.2. Опытно-экспериментальная работа. Анализ ее результатов Заключение Литература Приложения

Решению текстовых задач отводится достаточно много времени в школьном курсе математики. В ходе работы над задачами педагог раскрывает связи между данными и искомыми величинами, отношения, заданные в условии.

Учебная деятельность при решении задач складывается из умственных действий и осуществляется эффективно, если первоначально она происходит на основе внешних действий с предметами. Главной проблемой остается то, что дети не могут перейти от текста задачи к математической модели.

Обучение математике требует развития у детей самостоятельности в решении текстовых задач. Каждый ученик должен уметь кратко записывать условие задачи, иллюстрируя ее с помощью рисунка, схемы, чертежа и других видов моделей, обосновывать каждый шаг в анализе задачи и ее решении, проверять правильность решения.

«Рисунки, схемы, чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их. Эти условия необходимы для того, чтобы обучение носило развивающий характер» [10, 7].

Графические изображения, используемые для постановки познавательных задач, наглядно представляя соотношения между данными и искомыми величинами, помогают ученикам схватить речевой смысл проблемной ситуации, а затем и найти возможный путь решения.

Главное для каждого ученика на этом этапе — понять задачу, то есть уяснить, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми параметрами. Для этого следует применять моделирование и учить этому детей.

Действующая программа обучения математике требует развития самостоятельности у учащихся в решении текстовых задач. Еще в начальной

школе каждый ученик должен уметь кратко записывать условие задачи, иллюстрируя ее с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновывать каждый шаг в анализе задачи и в ее решении, проверять правильность ее решения. Однако на практике требования программы выполняются далеко не полностью, что приводит к серьезным проблемам в знаниях и навыках учащихся.

Целью данной выпускной квалификационной работы является разработка различных вспомогательных моделей, используемых при решении задач.

Задачи:

1. изучить научную, методическую литературу по данному вопросу;

2. разработать конспекты уроков математики;

3. провести уроки и проанализировать их.

Объект исследования: процесс обучения пятиклассников решению текстовых задач на уроках математики.

Предмет: моделирование как средство обучения решению задач.

Контингент: учащиеся 5 классов Бреховской школы.

Гипотеза: использование моделирования способствует формированию умения решать текстовые задачи.

При написании данной работы, использовалась научная, методическая литература, справочные материалы. Всего проанализировано более двадцати источников.

Глава 1. Теоретические основы моделирования

1.1. Понятие модели и моделирования

С середины XX века в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Вообще в науке широко используется метод моделирования. Он заключается в том, что для исследования какого-либо объекта или явления выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении, подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследование задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальные явления или объект.

«Под моделью (от лат. modulus — мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект — оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели, называется моделированием.» [6, 123]

Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания.

Например:

1. Люди издавна интересуются, как устроена наша Вселенная. Этот интерес не только познавательный, но и сугубо практический, так как люди хотели научиться предсказывать периодические явления, связанные с устройством Вселенной, такие, как: затмение солнца и луны, наступление времен года.

«Для решения этих задач, ученые строили свои представления о Вселенной в виде схемы картины мира, в которой объекты (планеты, Солнце, звезды, Земля и Луна) изображались точками, движущимся по каким-то кривым — траекториям их движения. Таковы, например, схемы, построенные Птолемеем, в которых центральное место занимала наша Земля, или схема Коперника, в которой центральное место занимало Солнце.

С помощью этих схем ученые решали задачи предсказания отдельных астрономических явлений. Эти схемы или картины мира — суть модели Вселенной, а метод исследования Вселенной, нахождение законов и решения задач, связанных с помощью этих моделей, является методом моделирования" [19, 185].

2. Люди издавна интересуются, как устроены они сами, как функционирует человеческий организм. Но исследовать эти вопросы на живом человеческом организме очень трудно. Ибо такое изучение до появления особых приборов было связано с гибелью этого организма. Тогда ученые стали исследовать устройство человеческого организма на подобных его организму животных. Изучение организма животных, их функционирование помогло установить многие важнейшие закономерности функционирования человеческого организма.

В этих исследованиях организмы животных выступали в качестве модели человеческого организма.

В математике широко используется метод моделирования при решении задач.

«Математической моделью можно назвать специальное описание (часто приближенное) некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально — логический аппарат математики. При математическом моделировании имеем дело с теоретической копией, которая в математической форме выражает основные закономерности, свойства изучаемого объекта» [17, 131].

Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

«В процессе математического моделирования выделяют три этапа:

1. Формализация — перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи).

2. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).

3.Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация решения)." [20, 2]

Чаще всего математическая модель представляет собой несколько упрощенную схему (описание) оригинала, а значит, обладает определенным уровнем погрешности.

Одна и та же модель может описывать различные процессы, объекты, поэтому результаты внутримодельного исследования одного явления зачастую могут быть перенесены на другое. В этом состоит одно из основных достоинств математического моделирования.

«Математика не только создала разнообразные внутренние модели алгебры, геометрии, функции комплексного переменного, дифференциальных уравнений и т. д., но и помогла естествознанию построить математические модели механики, электродинамики, термодинамики, химической кинетики, микромира, пространства — времени и тяготения, вероятностей передачи сообщений, управления, логического вывода.» [6, 124]

Созданием моделей математика часто опережала потребности естествознания и техники. [Приложение 1]

Реализация универсального математического метода познания есть основная цель и задача современной математики. Она включает, в первую очередь, построение новых, неведомых математических моделей, в частности в биологии, для познания жизни и деятельности мозга, микромира, новых, фантастических технологий и техники, а также познание экономических и социальных явлений также с помощью математических моделей различными математическими методами. Любая математическая задача состоит из условия (утверждения), вопроса или требования. Причем, в задаче обычно не одно, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношения между ними.

Требований в заданиях тоже может быть несколько. Они могут быть сформулированы, как в вопросительной, так и в утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью (словесной).

«Глубина и значимость открытий, которые делает школьник, решая задачи, определяется характером осуществляемой им деятельности и мерой ее усвоения, тем, какими средствами этой деятельности он овладеет. Для того чтобы ученик мог выделить и освоить способ решения широкого класса задач, а не ограничивался нахождением ответа в данной, конкретной задаче, он должен овладеть некоторыми теоретическими знаниями о задаче, прежде всего, о ее структуре» [5, 132].

Чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств — моделей, однозначно отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия школьниками.

«В структуре любой задачи выделяют:

1. Предметную область, то есть объекты, о которых идет речь в задаче.

2. Отношения, которые связывают объекты предметной области.

3. Требования задачи" [7, 93].

Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов, они могут быть представлены разного рода исценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

«Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

· рисунок;

· условный рисунок;

· чертеж;

· схематический чертеж (или просто схема).

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести:

— краткую запись задачи;

— таблицы" [22, 130].

Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются:

— выражение;

— уравнение;

— система уравнений;

— запись решения задачи по действиям.

Схематизированные, графические и знаковые модели, выполненные на естественном языке — вспомогательные модели, а знаковые модели, выполненные на математическом языке — решающие.

Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи.

Полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок — схемы, моделирование с помощью отрезков и таблиц.

«Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: левая — правая, верхняя — нижняя, увязывать пространственную информацию с информацией меры, тем самым, формируя умение решать задачи.» [14, 113]

Итак, модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития; научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях.

1.2. Моделирование в решении текстовых задач

«Задача — это такая ситуация, которая связана с числами и требует выполнения арифметических действий над ними» [1, 171].

«Текстовая задача — это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, то есть построить ее математическую модель.

Решение любой задачи — процесс сложной умственной деятельности. Реальные объекты и процессы в задаче бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели как мощного орудия познания." [4, 5]

Решению текстовых задач в обучении уделяется огромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное — средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей. Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни выбрал учитель, ему надо знать, как построены такие задачи.

«Любая текстовая задача представляет собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой точки зрения текстовая задача есть словесная модель явления (ситуации, процесса). И, как во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики.» [22, 121]

Обобщая, можно сказать, что текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Утверждения задачи называют условиями. В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи. Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило, дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефразировать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо обозначения и т. д.

«Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.

Решить задачу арифметическим методом - это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи" [16, 374].

Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами.

Решение любой задачи — процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения.

Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы:

1. Анализ задачи.

2. Поиск плана решения задачи.

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Все зависит от уровня знаний и умений решающего.

1. Анализ задачи

Основное назначение этого этапа — понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними. Производя анализ задачи, вычленяя ее условия, мы должны соотносить этот анализ с требованиями задачи.

И таблица, и схематический чертеж являются вспомогательными моделями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана ее решения.

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты задачи показаны на модели;

2) все ли отношения между объектами отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?

2. Поиск и составление плана решения задачи

Назначение этого этапа: установить связь между данными и исходными объектами, наметить последовательность действий. План решения задачи — это лишь идея решения, его замысел.

Поиск плана решения задачи является трудным процессом. Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели.

Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться от данных задачи, так и от ее вопросов.

3. Осуществление плана решения задачи

Назначение данного этапа — найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, используются следующие приемы:

— запись по действиям; (с пояснением, без пояснения, с вопросами)

— запись в виде выражения.

4. Проверка решения задачи

Назначение данного этапа — установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача:

1. Установление соответствия между результатом и условиями задачи.

Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

2. Решение задачи другим способом.

Подробнее остановимся на моделировании и использовании этого метода при работе над текстовой задачей.

Обучение с применением моделирования повышает активность мыслительной деятельности учащихся, помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решение. Модель дает возможность более полно увидеть зависимость между данными и искомыми в задаче, представить задачу в целом, помогает обобщить теоретические знания. Постановка учебной задачи составляет мотивационно-ориентировочное звено — первое звено учебной деятельности. Вторым (центральным) звеном учебной деятельности является исполнительское, то есть следующие учебные действия для решения учебной задачи:

1) преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;

2) моделирование выделенного в ней отношения в предметной, графической или буквенной форме;

3) преобразование модели отношения для изучения его свойств;

4) построение системы частных задач, решаемых общим способом.

«Чтобы научить школьников самостоятельно и творчески учиться, нужно включать их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности. Одним из способов включения учащихся в активную деятельность в процессе решения задач и является моделирование.

Умение решать задачи — один из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала" [11, 28].

«Одна из основных причин допускаемых ошибок в решении текстовых задач — неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее графического моделирования» [8, 16].

В 5 классе, как правило, в процессе анализа используются разные виды краткой записи или готовые схемы, а создание модели задачи на глазах учеников или самими учащимися в процессе решения задач используется крайне редко. Учителя при фронтальном анализе и решении задачи нередко ограничиваются правильными ответами двух-трех учеников, а остальные записывают за ними готовые решения без глубокого их понимания.

«Для устранения отмеченных недостатков следует, прежде всего, решительно улучшить методику организации первичного восприятия и анализа задачи, чтобы обеспечить осознанный и доказательный выбор арифметического действия всеми учащимися» [1, 174]. Главное для каждого ученика на этом этапе — понять задачу, то есть уяснить, о чем эта задача, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми и т. п. Для этого, где возможно, следует применять метод моделирования ситуации, отраженной в задаче.

«Используемый в науке метод моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому; построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.» [21, 156]

В 5 классе, анализируя задачу № 59: [3, 19]

«Длина Волги 3530 км Днепр на 1330 км короче Волги, а Урал длиннее Днепра на 228 км. Какова длина реки Урал?», обычно записывают ее кратко примерно так:

длина Волги — 3530 км;

длина Днепра — ?, на 1330 км короче Волги;

длина Урала — ?, на 228 км длиннее Днепра.

Такая запись при первичном анализе задачи нерациональная, так как не раскрывает наглядно взаимодействия между данными и искомыми, не помогает в выборе действия.

Учащимся предлагается смоделировать условие задачи следующим образом:

длина Волги ;

1330 км длина Днепра ;

228 км

длина Урала ;

Эта модель дает наглядное представление об отношениях между данными и искомыми в задачах.

Анализируя задачу, учащиеся выясняют, что Днепр на 1330 км короче Волги, то есть столько же, но без 1330; поэтому отрезок на схеме, изображающий длину Днепра, они начертят короче отрезка, показывающего длину Волги. А так как Урал длиннее Днепра на 228 км, то есть столько же и еще 228; то и отрезок, показывающий длину Урала, должен быть длиннее отрезка, показывающего длину Днепра.

Рассмотрим, как можно смоделировать задачу № 468: [3, 106]

«На мельницу привезли 9600 кг пшеницы. При размоле отходы составили 1200 кг. Муку насыпали в мешки и погрузили на 3 машины. На первую погрузили — 30 мешков, на вторую — 35 мешков, а на третью — 40 мешков. Сколько килограммов муки погрузили на первую машину, если во всех мешках муки было поровну?»

В процессе разбора этой задачи с учащимися, получаем примерно такие вспомогательные модели:

Осталось?

9600 кг

30 мешков

1-ая машина:

? кг

2-ая машина:

3-ья машина:

Такая модель помогает уяснить одно из важных условий задачи, которое вызвало наибольшее затруднение в решении, а именно: после того, как муку насыпали в мешки, во всех мешках муки стало поровну.

Модель создает предпосылки активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи.

Рассмотрим еще одну задачу и модель к ней.

Задача 1318: [3, 290]

«Для посева было приготовлено 25,2 т семян. В первый день на посев израсходовали всех семян, а во второй остатка. Сколько семян осталось после двух дней посева?»

По предложению учеников «весь посев» изобразим в виде прямоугольника. На схематическом чертеже отметим данные и установим, что будем определять. Получится такая схема:

25,2 т

Схема помогает ученикам самостоятельно найти правильные решения данной задачи.

«Иногда в 5 классе задачу не проверяют или понимают под проверкой, например, прочтение способа решения задачи для всего класса или сверку на доске. Модель не только поможет найти рациональный способ решения задачи, но и поможет проверить его правильность.» [27, 23]

Условие задачи с пропорциональными величинами обычно кратко записывают в таблицу. Например, следующим образом.

Задача 411: [3, 97]

«Привезли 12 ящиков яблок по 30 кг в каждом и 8 ящиков груш по 40 кг в каждом. Какова масса всех фруктов?»

«Таблица — это тоже модель задачи, но более абстрактная, чем схематический рисунок или чертеж. Она предполагает уже хорошее знание учащимися взаимозависимостей пропорциональных величин, так как сама таблица этих взаимозависимостей не показывает. Поэтому при первичном знакомстве с такой задачей таблица мало помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие» [26, 127].

При первичном знакомстве с таким видом задач целесообразно смоделировать условие в виде схематического рисунка или чертежа.

? ?

По такой модели решение задачи становится более понятным для всех учащихся.

Рассмотрим задачу 179: [3, 49]

«Масса яблока 140 г, а масса груши на 60 г больше. Какова масса трех таких груш и яблок?»

Масса яблока ;

Масса груши ;

Какова масса трех таких груш и яблока?

Схематический рисунок этой задачи позволяет наглядно убедиться, что разница между массой яблока и массой груши составляет 60 г. При решении главное — понять, что сначала нужно найти массу одной груши. Поняв это, дети сами записывают решение.

Модели помогают найти разные способы решения одной и той же задачи.

«Движение является темой для самых разнообразных задач. Существует самостоятельный тип задач „на движение“. Он объединяет такие задачи, которые решаются на основании зависимости между тремя величинами, характеризующими движение: скоростью, временем и расстоянием. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении» [28, 31].

«Основные объекты задач „на движение“: пройденный путь (s), скорость (v), время (t); основное отношение (зависимость): s = vt.» [9, 40]

Рассмотрим особенности решения основных видов задач «на движение».

Задачи на встречное движение двух тел.

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁; движение второго — s₂, v₂, t₂. Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

v₁ v₂

t₁ t₂

А s₁ t _встр. s₂ В

SЕсли два тела начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т. е. t₁= t₂= t _встр..

Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения, то есть v _сбл.= v₁+ v₂.

Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: S= v _{сбл *} t_сбл..

Задачи на движение двух тел в одном направлении.

«Среди них следует различать два типа задач:

1) движение начинается одновременно из разных пунктов;

2) движение начинается в разное время из одного пункта". [23, 61].

Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁, а движение второго — s₂, v₂, t₂.

Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

v₁ v₂

t₁ t₂

А s s₂ В

S₁

Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v₁ > v₂. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстоянии v₁— v₂. Это расстояние называют скоростью сближения: v _сбл.= v₁— v₂.

Расстояние S, представляющее длину отрезка АВ, находят по формулам:

S = s₁ — s₂ и S = v _{сбл *} t_встр.

Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях.

«В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки: а) одновременно; б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время» [18, 9].

Общим теоретическим положением для них будет следующее:

v _удал. = v₁+ v₂, где v₁ и v₂ соответственно скорости первого и второго тел,

а v _удал — это скорость удаления, то есть расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.

«Четкие условные обозначения помогают детям строить сложные схемы, видеть в них нужные формулы, отношения для решения задачи. Иногда четкое соблюдение условных обозначений в схеме позволяет не запутаться в числовых значениях задачи и предотвращает многие ошибки. Анализируя модель, можно увидеть несколько способов решения задачи». [22,148]

Использование графических изображений способствует сознательному и прочному усвоению многих понятий. Благодаря им математические связи и зависимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся.

«Соблюдение точности и аккуратности при выполнении рисунков, схем, чертежей, помимо учебного, имеет важнейшее воспитательное значение. Аккуратно выполненные графические изображения в значительной степени способствуют эстетическому воспитанию детей: заставляют любоваться неожиданным, остроумным графическим решением задачи, стимулируют поиски рациональных путей решения, снижают утомляемость, повышают активность, воспитывают внимание. И наоборот, грубый чертеж мешает увидеть скрытые в условии задачи закономерности, на которых основано решение» [13, 4].

Графические изображения служат хорошим и удобным средством для организации коллективной и индивидуальной (дифференцированной) самостоятельной работы учащихся, быстродействующим средством для проверки знаний учащихся.

«Правильно построенные графические модели условий задач позволяют ученикам во многих случаях сделать прикидку ожидаемого ответа, графическую проверку правильности решения задачи, выполненной аналитическим способом» [15, 70].

Также графические модели помогают организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить; на моделях легче увидеть, каких именно данных не достает (или какие данные являются лишними) для того, чтобы, используя нужную зависимость, решить ту или иную задачу.

«Умение строить учебные модели и работать с ними является одним из компонентов общего приема решения задач. С помощью модели словесно заданный текст можно перевести на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте. Использование одних и тех же знаково-символических средств при построении модели для математических задач с разными сюжетами и разных типов способствует формированию обобщенного способа анализа задачи, выделению составляющих ее компонентов и нахождению путей решения» [16, 342].

Таким образом, использование модели при решении задач обеспечит качественный анализ задач, осознанный поиск их решения, обоснованный выбор арифметического действия, рациональный способ решения и предупредит многие ошибки в решении задач учащимися. Модель задачи может быть применена и для составления и решения обратных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает поставить условия, при которых задача имеет решение или не имеет решения; выяснить, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин; помогает обобщить теоретические знания; развивает самостоятельность и вариативность мышления.

Глава 2. Методико-математические основы использования моделирования

2.1. Практический опыт использования моделей при решении задач на движение в 5 классе

В учебно-методический комплект (УМК), необходимый для обучения математике, включается:

— учебник как ведущий элемент УМК;

— дидактические материалы (задачник, рабочие тетради, карточки и т. д.);

— книга для учителя.

Автором был выбран учебник «Математика 5» Н. Я. Виленкина. Учебник содержит две главы, которые разбиты на параграфы по определенным темам.

В учебнике предложено большое количество задач на движение, но автором данной работы были подробно (составлены модели, проведен поиск решения задачи и выполнено решение) рассмотрены только те, которые находятся в теме «Десятичные дроби». Данная тема рассчитана на 38 часов:

Десятичная запись дробных чисел (2 ч);

Сравнение десятичных дробей (2 ч);

Сложение и вычитание десятичных дробей (5 ч);

Округление десятичных дробей (3 ч);

Контрольная работа (1 ч);

Умножение десятичных дробей на натуральные числа (4 ч);

Деление десятичных дробей на натуральные числа (5 ч);

Контрольная работа (1 ч);

Умножение десятичных дробей (5 ч);

Деление десятичных дробей (6 ч);

Среднее арифметическое (3 ч).

Задача 1: (№ 1142)

«Из двух пунктов, расстояние между которыми 7 км 500 м, одновременно в одном направлении вышел пешеход со скоростью 6 км/ч и выехал автобус. Определите скорость автобуса, если он догнал пешехода через 15 мин?»

— Читаем внимательно задачу.

— Давайте к этой задаче составим чертеж.

— Что нам уже известно? (Из двух пунктов одновременно в одном направлении вышел пешеход и выехал автобус)

— Отметим это на чертеже.

? _{км/ч 6 км/ч}

А 7 км 500 м В t_встр=15 мин

— Что еще известно? (Расстояние между пунктами 7 км 500 м; скорость пешехода 6 км/ч; автобус догнал пешехода через 15 мин)

— Отметим все данные на чертеже.

— Что нужно узнать в задаче? (Скорость автобуса)

— Можем сразу ее найти? (Нет)

— Почему? (Не знаем расстояние, которое прошел пешеход за 15 мин)

— А можем это узнать? (Да)

— Как? (Скорость умножить на время)

— А сейчас можем ответить на главный вопрос задачи? (Нет)

— Почему? (Так как не знаем путь, который проехал автобус)

— Можем это узнать? (Да)

— Как узнаем? (К расстоянию между пунктами прибавим тот путь, который прошел пешеход за 15 мин)

— Можем теперь ответить на вопрос задачи? (Да)

— Как? (Надо весь путь, который проехал автобус, разделить на время)

— Итак, во сколько действий решается задача? (В 3 действия)

— Записываем решение:

15 мин =

1) 6 У 4 • 1 = 1,5 (км) — прошел поезд за 15 мин.

2) 7,5 + 1,5 = 9 (км) — прошел автобус до того, как догнал пешехода.

3) 9: 1 • 4 = 36 (км/ч) — скорость автобуса.

Ответ: 36 км/ч.

Задача 2: (№ 1169)

«а) Теплоход идет вниз по реке. Какова скорость движения теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч, а собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде) равна 21 км/ч?

б) Моторная лодка идет вверх по реке. Какова скорость движения лодки, если скорость течения 3 км/ч, а собственная скорость лодки 14 км/ч?"

— Внимательно читаем задачи.

— О каких величинах идет речь в задачах?

— Для решения данных задач составим таблицу.

— Запишем, что уже известно.

а) б)

— То, что нужно найти обозначим знаком вопроса.

— Что узнаем сначала? (Скорость теплохода по течению реки)

— Как можно ее найти? (Надо к собственной скорости теплохода прибавить скорость течения реки)

— Что можно узнать сейчас? (Скорость моторной лодки против течения реки)

— Как найдем? (Нужно из собственной скорости лодки вычесть скорость течения реки) Записываем решение:

а) 21 + 4 = 25 (км/ч) — скорость движения теплохода.

б) 14 — 3 = 11 (км/ч) — скорость движения лодки.

Ответ: а) 25 км/ч;

б) 11 км/ч.

— Давайте еще раз повторим:

Как же найти скорость по течению реки и против течения реки?

Задача 3: (№ 1172)

«Со станции вышел товарный поезд со скоростью 50 км/ч. Через 3 ч с той же станции вслед за ним вышел электропоезд со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов после своего выхода электропоезд догонит товарный поезд?»

— Внимательно читаем задачу.

— Для решения данной задачи составим чертеж.

— Что нам известно? (Со станции вышел товарный поезд, а через 3 ч с той же станции вслед за ним вышел электропоезд)

— Отметим это на чертеже.

_{80 км/ч 50 км/ч}

3 ч t_встр — ?

— Что еще известно в задаче? (Скорость товарного поезда 50 км/ч, скорость электропоезда 80 км/ч)

— Отметим эти данные на чертеже.

— Что нужно узнать? (Через сколько часов после своего выхода электропоезд догонит товарный поезд?)

— Обозначим неизвестное знаком вопроса.

— Известно, что товарный поезд шел 3 ч со скоростью 50 км/ч. Что можно узнать по этим данным? (Расстояние, которое пошел поезд за 3 ч)

— Что для этого нужно сделать? (Нужно скорость умножить на время)

— Зная скорость товарного поезда и электропоезда, что можно узнать? (Скорость сближения)

— Что для этого нужно сделать? (Нужно из скорости электропоезда вычесть скорость товарного поезда)

— Зная, сколько километров прошел товарный поезд и скорость сближения поездов, что можем найти? (Время, через которое встретятся поезда)

— Как можем это найти? (Расстояние разделить на скорость сближения)

— Записываем решение:

1) 50 • 3 = 150 (км) — прошел товарный поезд.

2) 80 — 50 = 30 (км/ч) — скорость сближения.

3) 150: 30 = 5 (ч) — через это время электропоезд догонит товарный поезд.

Ответ: через 5 часов.

Задача 4: (№ 1179)

«Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 782 км. Скорость первого поезда 52 км/ч, а второго 61 км/ч. Пройдя 416 км, первый поезд встретился со вторым. На сколько один из поездов вышел раньше другого?»

— Читаем внимательно задачу.

— Давайте к этой задаче составим чертеж.

— Что нам известно в задаче? (Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу из двух городов)

— Отметим это на чертеже.

52 км/ч 61 км/ч

416 км

782 км

На сколько один из поездов вышел раньше другого?

— Что еще известно? (Расстояние между городами 782 км; скорость первого поезда 52 км/ч, а второго 61 км/ч)

— Отметим все данные на чертеже.

— Что нам еще дано? (Пройдя 416 км, первый поезд встретился со вторым)

— Покажем это на чертеже.

— Что нужно узнать в задаче? (На сколько один из поездов вышел раньше другого?)

— Можем сразу на него ответить? (Нет)

— Почему? (Не знаем, сколько часов ехал первый поезд)

— Можем это найти? (Да)

— Как? (Надо расстояние, которое прошел первый поезд, разделить на скорость)

— А сейчас можем ответить на главный вопрос? (Нет)

— Почему? (Сначала надо найти расстояние, которое прошел второй поезд)

— Можем найти это расстояние? (Да)

— Как найдем? (Нужно из расстояния между городами вычесть то расстояние, которое прошел первый поезд)

— Теперь мы можем ответить на главный вопрос? (Нет, так как мы не знаем, сколько часов ехал второй поезд)

— Можем это узнать? (Да)

— Как узнаем? (Надо расстояние, которое прошел второй поезд, разделить на время)

— А сейчас можем ответить на главный вопрос? (Да)

— Что для этого нужно сделать? (Надо из времени, которое шел первый поезд, вычесть то время, которое шел второй поезд)

— Итак, во сколько действий решили задачу? (В 4 действия)

— Записываем решение:

1) 416: 52 = 8 (ч) — шел первый поезд.

2) 782 — 416 = 366 (км) — прошел второй поезд.

3) 366: 61 = 6 (ч) — шел второй поезд.

4) 8 — 6 = 2 (ч) — на это время первый поезд вышел раньше второго.

Ответ: на 2 часа.

Задача 5: (№ 1193)

«Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна 21,6 км/ч, а скорость течения реки 4,7 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения реки.»

— Внимательно читаем задачу.

— Давайте построим таблицу к данной задаче.

— О каких величинах идет речь в задаче?

— Запишем данные в таблицу.

— То, что неизвестно, обозначим знаком вопроса.

— Что узнаем сначала? (Скорость катера по течению реки)

— Как найдем? (Надо к собственной скорости катера прибавить скорость течения)

— Что можем узнать сейчас? (Скорость катера против течения)

— Что для этого нужно сделать? (Из собственной скорости катера вычесть скорость течения)

— Записываем решение:

1) 21,6 + 4,7 = 26,3 (км/ч) — скорость катера по течению.

2) 21,6 — 4,7 = 16,9 (км/ч) — скорость катера против течения.

Ответ: 26,3 км/ч; 16,9 км/ч.

Задача 6: (№ 1194)

«Скорость теплохода по течению реки равна 37,6 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода и его скорость против течения, если скорость течения реки 3,9 км/ч.»

— Внимательно читаем задачу.

— О каких величинах идет речь в задаче?

— Построим таблицу к данной задаче.

— Что уже известно в задаче? (Скорость по течению реки 37,6 км/ч, скорость течения реки 3,9 км/ч)

— Отметим это в таблице.

— Что нужно найти в задаче? (Собственную скорость и скорость против течения)

— Обозначим неизвестное знаком вопроса.

— Известна скорость теплохода по течению реки и скорость течения. Что можем узнать по этим данным? (Собственную скорость теплохода)

— Что для этого нужно сделать? (Нужно из скорости теплохода по течению вычесть скорость течения реки)

— Зная собственную скорость теплохода и скорость течения реки, что можем узнать? (Скорость теплохода против течения реки)

— Как узнаем? (Нужно из собственной скорости теплохода вычесть скорость течения реки)

— Записываем решение:

1) 37,6 — 3,9 = 33,7 (км/ч) — собственная скорость теплохода.

2) 33,7 — 3,9 = 29,8 (км/ч) — скорость против течения.

Ответ: 33, 7 км/ч; 29,8 км/ч.

Задача 7: (№ 1196)

«Расстояние между городами 156 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Один проезжает в час 13,6 км, а другой 10,4 км. Через сколько часов они встретятся?»

— Внимательно читаем задачу.

— Давайте к этой задаче сделаем чертеж.

— Что нам известно в задаче? (Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста)

— Отметим это на чертеже.

_{13,6 км/ч 10,4 км/ч}

t_встр -?_.

156 км

— Что еще известно? (Расстояние между городами 156 км; скорость первого велосипедиста — 13,6 км/ч, а скорость второго — 10,4 км/ч)

— Отметим эти данные на чертеже.

— Что нужно найти в задаче? (Через сколько часов встретятся велосипедисты?)

— Можем сразу ответить на данный вопрос? (Нет)

— Почему? (Сначала надо найти скорость сближения)

— Можем ее найти? (Да)

— Как? (К скорости первого велосипедиста прибавить скорость второго)

— А сейчас можем ответить на главный вопрос задачи? (Да)

— Что для этого нужно сделать? (Расстояние между городами разделить на скорость сближения)

— Записываем решение по действиям с вопросами:

1) Какова скорость сближения велосипедистов?

13,6 + 10,4 = 24 (км/ч)

2) Через сколько часов встретятся велосипедисты?

156: 24 = 6,5 (ч)

Ответ: через 6,5 часа.

Задача 8: (№ 1233)

«Автомашина в первый час прошла 48,3 км, во второй час она прошла на 15,8 км меньше, чем в первый, а в третий час — на 24,3 км меньше, чем за первые два часа вместе. Какой путь прошла автомашина за эти три часа?»

— Читаем внимательно задачу.

— Для решения данной задачи сделаем схему.

— Что известно в задаче? (Машина в первый час прошла 48,3 км, во второй — на 15,8 км меньше, чем в первый, а в третий час — на 24,3 км меньше, чем за первые два часа вместе)

— Отметим это на схеме.

1 ч.

48,3 км

2 ч. ?

? 15,8 км

3 ч.

? 24,3 км

— Какой главный вопрос задачи? (Какой путь прошла автомашина за эти три часа?)

— Можем сразу на него ответить? (Нет)

— Почему? (Мы не знаем расстояние, которое проехала автомашина во второй час)

— Можем это узнать? (Да)

— Как? (Надо из пути, пройденного в первый час, вычесть 15,8 км)

— А сейчас можем ответить на вопрос задачи? (Нет)

— Почему? (Сначала надо узнать, какой путь прошла автомашина за третий час)

— Можем это узнать? (Нет)

— Почему? (Не знаем путь, который прошла машина за 1 и 2 час)

— Можем его найти? (Да)

— Как найдем? (Надо сложить путь, пройденный за 1 и 2 час)

— Сейчас можем найти путь, который прошла машина за третий час? (Да)

— Как узнаем? (Надо из расстояния, которое прошла машина за 1 и 2 час вычесть 24,3 км)

— Теперь можем найти путь, который прошла машина за три часа? (Да)

— Как найдем? (Расстояния, пройденные за каждый час, нужно сложить)

— Записываем решение:

1) 48,3 — 15,8 = 32,5 (км) — прошла машина за 2-ой час.

2) 48,3 + 32,5 = 80,8 (км) — прошла машина за 1 и 2 час.

3) 80,8 — 24,3 = 56,5 (км) — прошла машина за 3-ий час.

4) 56,5 + 80,8 = 137,3 (км) — прошла машина за 3 часа.

Ответ: 137,3 км.

Вывод:

Конструируя работу над задачей, автор попытался показать разный путь анализа задачи (восходящий и нисходящий), использование разных вспомогательных и решающих моделей. [Приложение 2]

Учитель вправе выбрать то, что считает нужным, исходя из подготовленности детей класса, в котором он работает.

При решении задач на движение широко используется метод моделирования, что способствует сознательному и прочному усвоению материала.

Модели помогают ученикам в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач. Моделирование наглядно представляет соотношения между данными и искомыми величинами.

При решении задач на движение используются разные виды моделей, например, схематический чертеж, таблица. Использование таблицы предполагает уже хорошее знание учениками взаимозависимостей, так как сама таблица этих зависимостей не показывает.

Опираясь на чертеж, учащиеся находят возможный путь решения задачи. Решающей моделью может быть: выражение, система уравнений, запись решения задачи по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи. Используя визуальную информацию, учатся анализировать задачу и составлять полный план ее решения. Чертеж дает возможность учащимся найти не один, а несколько способов решения.

Основными методами решения задач являются арифметический и алгебраический, а процесс решения задачи включает следующие основные этапы:

1) анализ;

2) поиск плана решения;

3) осуществление плана решения;

4) проверка пройденного решения.

Рассмотрены некоторые приемы выполнения этих этапов. Главный прием — это моделирование. Прежде всего, решить текстовую задачу — это значит построить ее математическую модель. Но чтобы облегчить поиск математической модели, нужны модели вспомогательные. Они могут быть графическими (рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж), знаковыми (краткая запись, таблица).

Метод моделирования позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся на уроке.

2.2. Опытно — экспериментальная работа. Анализ ее результатов

Изучив теоретические положения по использованию моделирования при решении задач в 5 классе, у автора возникло желание и интерес реализовать это на практике.

Для того чтобы доказать или опровергнуть предположение, что использование моделирования помогает при решении задач, была проведена соответствующая работа.

Исследование проходило на базе Бреховской школы Суксунского района. Были взяты два класса: 5 ^«А» класс — экспериментальный и 5 ^«Б» класс — контрольный. Данные классы по уровню развития примерно одинаковые.

Для эксперимента была выбрана тема «Десятичные дроби».

Задачи практической работы:

— подобрать задания для проверочной работы;

— провести срезовую работу по решению задач;

— проанализировать допущенные ошибки;

— апробировать систему задач с использованием моделей;

— провести контрольную работу;

— сравнить количество допущенных ошибок;

— сделать выводы по использованию моделирования при решении задач.

Исследование проводилось в три этапа:

1) констатирующий эксперимент;

2) формирующий эксперимент;

3) контрольный эксперимент.

1. Констатирующий эксперимент.

Цель: выявить, на сколько сформированы навыки решения задач у учащихся 5 класса на исходном этапе эксперимента.

Для этого была предложена письменная работа. Каждый ученик должен был решить две задачи, которые ранее были прорешены дома или в классе. [Приложение 3]

Несмотря на то, что задачи были знакомы, многие не справились с их решением и допустили большое количество ошибок. [Таблица 1, 2]

Получены следующие результаты: