Критерии принятия оптимальных решений

Введение

Вся наша жизнь пронизана проблемами. Каждый человек ежедневно сталкивается с необходимостью принятия решений. Их так много и принимают их так часто, что в большинстве случаев это просто не осознается. Только наиболее важные и трудные решения как-то выделяются и становятся предметом анализа. При этом основной подход всегда один: собирается точная, надежная и адекватная информация, а затем делается выбор среди возможных решений. Принятие решений — это важная функция управления, являющаяся умением, которым должен овладеть каждый человек, работающий как в бизнесе так и науке. Принятие неоптимальных решений в жизненных и производственных ситуациях уменьшает значительную долю возможностей и ресурсов. И чем сложнее ситуация, тем больше потери.

Одним из возможных типов задач при принятии решения являются, так называемые, состязательные задачи, в которых решение принимает не одно лицо, а два или большее число лиц. Например, одно лицо покупает сахар и хочет получить максимальную прибыль, но оно понимает, что его прибыль зависит не только от того, сколько сахара будет куплено, но и от того, сколько сахара купит его конкурент. При этом либо оба лица стремятся «выиграть» (максимизировать свои целевые функции), либо одно лицо не стремится этого сделать (игры с природой). Решению подобных состязательных задач посвящена теория игр. Стороны или лица, принимающие решения в состязательных задачах, называются игроками.

Метод решения неопределенность критерий оптимальное решение Неопределенность задачи мы связываем с неизвестным для нас поведением противника и исходим из того, что противник разумный и предпринимает те действия, которые для нас являются наименее выгодными. Рассмотрим другой вид неопределенности, связанный с недостаточной информацией об условиях операции. Условия проведения операции не зависят от сознательного противодействия противника, а зависят от объективной реальности, называемой «природой», поведение которой неизвестно и не содержит сознательного противодействия нашим планам. В задачах такого рода труднее обосновать решение, которое даст лучший результат. Для этого существуют 4 критерия, которые позволяют нам выбрать самую выгодную стратегию. Та стратегия, на которую укажут большинство критериев, и будет являться оптимальной.

Пусть у нас m стратегий А1, А2, Аm. Об обстановке, в которой будет происходить операция можно сделать n предположений П1, П2, Пn — стратегии природы. Аij — наши выигрыши от применения i стратегии в предположении обстановки операции Пj

Игрок, А может отбросить ту стратегию, которая даёт меньшие выигрыши по сравнению с другой. Противник П не разумный, анализировать и отбрасывать свои стратегии не может.

Матрица рисков Риск это разность между результатом, который можно получить если знать состояние природы и результатом, который будет получен при применении j-той стратегии природы.

1) Критерий Лапласа В основе этого критерия лежит «принцип недостаточного основания» .

Если нет достаточных оснований считать, что вероятности того или иного спроса имеют неравномерное распределение, то они принимаются одинаковыми. Для решения задачи для каждого решения подсчитывается сумма всех стратегий и делится на вероятность появления этой стратегии, выбирается то решение, при котором величина этого выигрыша максимальна

2) Критерий Вальда В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем «нижняя цена игры с природой». Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца. Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение этого критерия может быть оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

— о вероятности появления состояния Vj ничего не известно;

— с появлением состояния Vj необходимо считаться;

— реализуется лишь малое количество решений;

— не допускается никакой риск.

3) Критерий Гурвица Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:

где a — коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1].

Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы этого столбца.

При a = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при a = 0 — в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель a. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель a = 0.5 принимается в качестве средней точки зрения.

Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

— о вероятности появления состояния ничего не известно;

— с появлением состояния необходимо считаться;

— реализуется лишь малое количество решений;

— допускается некоторый риск.

4) Критерий Сэвиджа Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица рисков:

элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т. е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии. Затем по матрице выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в определённом состоянии вместо одного варианта выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата max Wij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу рисков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Задача Коммерческое предприятие заключило договор на централизованную поставку овощей из теплиц на сумму 10 000 руб. ежедневно. Если в течение дня овощи не поступают, магазин имеет убытки в размере 20 000 руб. от невыполнения плана товарооборота. Магазин может осуществить самовывоз овощей фермера. Для этого он может сделать заказ в транспортном предприятии, что вызовет дополнительные расходы в размере 500 руб. Однако опыт показывает, что в половине случаев посланные машины возвращаются без овощей. Можно увеличить вероятность получения овощей от фермера до 80%, если предварительно посылать туда своего представителя, что требует дополнительных расходов в размере 400 руб. Существует возможность заказать дневную норму овощей у другого надежного поставщика — плодоовощной базы по повышенной на 50% цене. Однако в этом случае, кроме расходов на транспорт (500 руб.), возможны дополнительные издержки в размере 300 руб., связанные с трудностями реализации товара, если в тот же день поступит и централизованная поставка от фермера. Какой стратегии надлежит придерживаться магазину, если заранее неизвестно, поступит или не поступит централизованная поставка?

Решение Перечислим все возможные стратегии.

А1 — ожидать поставку, не принимая дополнительных мер, А2 — послать к поставщику свой транспорт, А3 — послать к поставщику представителя и транспорт, А4 — заказать поставку у плодоовощной базы.

П1 — поставка своевременная, П2 — поставки нет.

Всего возможно 8 ситуаций:

Составим платежную матрицу:

Теперь оценим стратегии по 4-м критериям.

1) Критерий Лапласа

P= (выбираем вероятность появления каждого события) ах — среднее значение выигрыша стратегии х а1= (-10 000−20 000) = -7500 |суммарное значение для каждой |

а2= (-10 500−15 500) = -6500 |стратегии, деленное на вероятность|

а3= (-10 900−12 900) = -5950

а4= (-25 800−15 500) = -10 325

Критерий показал на оптимальную стратегию А3, при которой предприятию необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя.

2) Критерий Вальда Заполняем столбец Min W

W — минимальный выигрыш максимален

W=max{-20 000,-15 500,-12 900,-25 800}= -12 900

Выбираем max значение из столбца Min W |

Критерий показал на оптимальную стратегию А3, при которой предприятию необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя.

3) Критерий Гурвица ж = 0,4 | выбираем коэффициент пессимизма|

ах — промежуточное решение, из которых выбирается max

а1=0,4(-20 000)+0,6(-10 000)= -14 000

а2=0,4(-15 500)+0,6(-10 500)= -12 500

а3=0,4(-12 900)+0,6(-10 900)= -11 700

а4=0,4(-25 800)+0,6(-15 500)= -19 620

Теперь выбираем наибольшее значение для самого правого столбца.

Критерий показал на оптимальную стратегию А3, при которой предприятию необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя.

4) Критерий Сэвиджа Составим матрицу рисков и добавим столбец:

каждый элемент платежной матрицы вычитается из | |наибольшего результата max Wij соответствующего столбца |

Теперь выберем минимальное значение из столбца Max.

W=min{Max}=900

Критерий показал на оптимальную стратегию А3, при которой предприятию необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя.

Вывод Все критерии показали оптимальную стратегию А3, при которой магазину необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя. Такая стратегия обеспечит магазину наименьшие расходы на покупку овощей — в сумме 12 900 д.е.

Литература

неопределенность критерий оптимальное решение

1. Дж. Нейман, O.Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. -М.: ИИЛ, 1970.

2. Л. С. Костевич, А. А. Лапко. Теория игр. Исследование операций. -Минск: Выcшая школа, 1982.

3. В. И. Бодров, Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов. Математические методы принятия решений