Определение формующего усилия в процессе комбинированной вытяжки листовых материалов

Основной задачей анализа силового режима комбинированной вытяжки является определение максимального напряжения а_г, действующего в стенках протянутой части заготовки, так как именно оно определяет, в конечном итоге, формоизменение всей заготовки.

Для решения поставленной задачи рассмотрим схему очага пластической деформации, возникающего в процессе комбинированной вытяжки. Схема представлена на рис. 12.28.

Рис. 12.28. Схема очага пластической деформации при комбинированной вытяжке.

Очаг пластической деформации abcdef сосредоточен во фланцевой части заготовки и в зазоре между матрицей и пуансоном. Можно сказать, что комбинированная вытяжка является совмещением процессов радиальной вытяжки и вытяжки с утонением стенки.

Для упрощения решения задачи по определению напряженного состояния в очаге деформации разделим последний условно на два участка.

Первый из участков bcde ограничен фланцевой частью заготовки и кольцевым сечением перпендикулярным оси г, проведенным таким образом через точку на скругленной кромке матрицы, чтобы ширина сечения деформированного материала была равна значению толщины исходной заготовки 6₀, в данном случае через точку Ь. Предполагаем также, что точка е, принадлежащая данному сечению, является точкой начала соприкосновения материала заготовки с пуансоном. Данное сечение назовем нижней границей первого участка очага деформации, которая одновременно является верхней границей второго участка очага деформации, рассматриваемого ниже.

Второй участок abef — часть заготовки, ограниченная снизу кольцевым сечением перпендикулярным оси г пуансона, проведенным через точку а, характеризующую переход скругленной кромки матрицы в цилиндрическую часть с шириной сечения, равной значению ширины заготовки в протянутой ее части. Это сечение совпадает с нижней границей всего очага деформации. Сечение, проведенное через точку а, назовем нижней границей второго участка очага деформации.

Реальный процесс вытяжки происходит при значениях отношения rj6₀ < 6, поэтому без большой погрешности можно пренебречь кривизной торовой поверхности Рассмотрим равновесие элемента, выделенного на втором участке очага деформации двумя плоскостями перпендикулярными оси z и отстоящими друг от друга на расстояние dz.

Введем ряд допущений:

• • считаем нормальные напряжения, действующие на поверхностях, контактирующих с матрицей и пуансоном, одинаковыми;
• • проекции сил, вызванных действием нормальных и касательных напряжений на ось х, перпендикулярную оси г, взаимно уравновешенными;
• • сечения, перпендикулярные оси пуансонов, остаются плоскими в процессе деформирования листового материала;
• • допущения, принятые при анализе процесса радиааьной вытяжки листовых термопластов, изложенные выше в предыдущем разделе, остаются в силе и в данном случае.

С учетом принятых допущений, преобразования и пренебрежения бесконечно малыми высших порядков получим уравнение равновесия выделенного нами элемента длиной dz на ось z в следующем виде

Так как пуансон и матрица могут быть изготовлены из разных материалов, иметь неодинаковую шероховатость поверхностей и т. п., коэффициенты трения г), * г|₂. Однако (в дальнейшем мы используем это обстоятельство) коэффициенты трения на практике можно часто принимать одинаковыми.

Во втором участке очага пластической деформации деформированное состояние листовой заготовки можно принять плоским. Действительно, величина относительной тангенциальной деформации может быть представлена в виде.

где Д8 = 6₀ — 6_и — уменьшение толщины заготовки; d_A — диаметр формуемого изделия.

В реальном процессе вытяжки значением e_t можно пренебречь, так как она составляет величину меньшую 0,005.

При решении уравнения (148) проведем его преобразование, выразив da/dz через dp/dr с помощью уравнения (149).

на втором участке деформации, заменив ее конической. Угол конусности матрицы в данном случае будет определяться по формуле:

Для плоского деформированного состояния уравнение пластичности имеет следующий вид:

Подставив (150) в (148), получим.

На основании (149) заменим (а₇ + р) на Ра_т и получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение

Данное уравнение решается метолом вариации произвольной постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения.

После разделения переменных получим.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Интегрируя (154), получим общее решение однородного уравнения Вводя обозначения а₀ = (л, — x₂)/tga и 6₀ * (л, + л₂)/tga, имеем:

Вариацией произвольной постоянной С_х ищем решение неоднородного уравнения (152). Подставляя (155) в (152) получим после соответствующего преобразования частное решение неоднородного уравнения:

где С₂ — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.

Интеграл (156) не может быть взят аналитически. Для его решения необходимо использовать метод численного интегрирования.

Общее решение уравнения (152) можно представить в виде.

Заметим, что при рассмотрении частного случая, когда коэффициенты трения формуемого материала по матрице л, и пуансону л₂ равны, т. е. я₀ — 0 и их сумма близка к значению тангенса угла конусности матрицы, т. е. b₀ — 1, интеграл в выражении (156) может быть взят аналитически. В этом случае (156) примет вид.

Подынтегральную функцию данного выражения представим в виде рациональной дроби

При подстановке в выражение (159) значений г = 0; г = R_n и г = -R_n получим систему уравнений, при решении которой определим постоянные А, В, С.

Подставляя (160) в (159) и (158), получим.

После интегрирования (161) примет вид.

Подставляя С, в уравнение (155) с учетом а₀ — 0 и b_Q — 1 получим.

Далее, решая (163) совместно с уравнением пластичности, приходим к выражению

Произвольную постоянную интегрирования определяем из начальных условий: при г =? R_n — 8₀ а. = а₀.

Тогда

Подставив значение С₂ в (164) и произведя преобразования, имеем.

Максимальная величина осевого растягивающего напряжения будет иметь место на нижней границе второго участка очага деформаций при г — R_n + 5_и. Сделав В реальных процессах вытяжки значения тип можно не учитывать, так как они пренебрежимо малы по сравнению с единицей. В связи с этим уравнение (166) можно переписать в виде В нашем случае при комбинированной вытяжке листового материала вместо начального напряжения а₀, возникающего на верхней границе второго очага деформации, можно подставить значение, определяемое выражением (143), полученным при анализе радиальной вытяжки. Подставляя (143) в (167) получим.

соответствующую подстановку в уравнение (165) и введя обозначения т — 8_и/2/?_п и п = 6₀/2R_w получим.

Для определения полного деформирующего усилия при комбинированной вытяжке необходимо учитывать дополнительные напряжения о_г^гр, возникающие в стенках протянутой части заготовки от действия сил трения, появляющихся на поверхности контакта заготовки с цилиндрическим пояском матрицы, а также от сил трения, действующих на боковую поверхность пуансона во втором участке очага деформаций, направленных противоположно усилию вытяжки. Для определения ст/^р введем следующие допущения:

• • считаем нормальные напряжения, действующие по всей контактной поверхности заготовки с пояском матрицы постоянными;
• • считаем, что величина нормального напряжения о., в стенках протянутой части заготовки равна напряжению, действующему на нижней границе второго участка очага деформации.

Величина этого напряжения, исходя из уравнений (149) и (168) определится как.

Силу трения, действующую по пояску матрицы, определим по формуле Напряжение а™ найдем как отношение силы трения к площади поперечного сечения протянутой части заготовки:

где Z_n — длина цилиндрического пояска матрицы.

Максимальная величина осевого растягивающего напряжения с учетом сил трения формуемого материала по цилиндрическому пояску матрицы будет равна.

Силу трения, приложенную к боковой поверхности пуансона в очаге деформации, можно представить в виде.

где р_с? — среднее значение напряжений, действующих на боковую поверхность пуансона в очаге деформации. Его величину определяем как среднее арифметическое значение р, действующее на границах второго участка деформации, по формуле.

Полное усилие деформирования листового материала, возникающее в процессе комбинированной вытяжки, можно представить в виде.

Подставляя значения и Е" _тр из (173) и (174) в (176), после преобразований получим.

Полученная зависимость позволяет анализировать основные факторы, влияющие на величину деформирующего усилия при комбинированной вытяжке листовых термопластов в стеклообразном или кристаллическом состояниях.

Зависимость (173) определяет максимальное силовое воздействие при формоизменении листовой заготовки в процессе комбинированной вытяжки.

Определим коэффициент вытяжки листовых термопластов с утонением. Для этого вспомним, что максимальное напряжение в стенках протянутой части заготовки не может превышать напряжения текучести. Подставив в левую часть уравнения (173) значение G™* * получим.

Если предположить идеальный случай, когда силами трения материала заготовки по пуансону и матрице можно пренебречь, то есть я, — ц₂ = 0, а также пренебречь дополнительными напряжениями от изгиба заготовки на скругленной кромке матрицы, определяемыми по формуле (140), выражение (168), полученное в допущении ц, = = т|₂ * 1 примет вид.

или Выражение (180) показывает, что комбинированная вытяжка является совмещением радиальной вытяжки листовой заготовки, формоизменение которой оценивается коэффициентом вытяжки к_в = /?₀//?_и и вытяжки с утонением стенки листового материала, формоизменение которого оценивается коэффициентом к — 6₀/6_и.

Подставив вместо о_г значение ро_г получим из (180).

где е — основание натурального логарифма.

Другими словами, можно констатировать, что выражение (173), определяющее величину максимального растягивающего напряжения в протянутой части заготовки, является при данной постановке задачи обобщением теоретического рассмотрения радиальной вытяжки, осуществляемой по схеме, изображенной на рис. 3.9, и вытяжки с утонением стенки, проводимой по рис. 12.28.

Действительно, при радиальной вытяжке к^у_п = 1 трение термопласта о цилиндрическую часть матрицы в протянутой части заготовки отсутствует (в™ — 0), поэтому выражение (173) принимает вид уравнения (143).

При? = 1 получаег*.

Уравнение (182) определяет напряжение а," **, действующее в стенках протянутой части заготовки при вытяжке листового материала с утонением стенки из полой цилиндрической заготовки.