Дифференциальные уравнения (ДУ) — раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Проще говоря, дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в разных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов. Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата «искусственная почка», поскольку процесс гемодиализа (т.е. очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642−1727). Ньютон считал своё изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».
Общий вид ДУ: F (x, y, y', y''…)=0.
(F — это некоторая неизвестная функция, зависящая от нескольких переменных) Порядок ДУ — порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении.
Например, уравнение y''+5y'-3y=0 — ДУ второго порядка.
Интеграл (решение) уравнения — это функция, удовлетворяющая ДУ.
Интеграл ДУ: Общее и частное Общее решение ДУ содержит столько независимых постоянных, каков порядок уравнения.
Частное решение ДУ — функция, получаемая из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных.
