Корреляционный анализ. 
Понятие корреляционной связи

Психолога нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых группах. Например, могут ли учащиеся с высоким уровнем тревожности демонстрировать стабильные академические достижения, или связана ли ригидность подростков с их агрессивностью, или связан ли уровень умственного развития учащихся с их успеваемостью по математике или по литературе и т. п.

В математике для описания связей между переменными величинами используют понятие функции F, которая ставит в соответствие каждому определенному значению независимой переменной х определенное значение зависимой переменной у. Полученная зависимость обозначается как у = F (x). Здесь х — является аргументом, а у — соответствующим ему значением функции F (x). Такого рода однозначные зависимости между переменными величинами х и у называют функциональными. Хорошо известный пример функциональной зависимости известен из школьного курса физики: S = VT, где S — путь, V — скорость, Т — время. При этом, зная две из переменных величин, всегда можно найти третью.

Более того, в математике, по крайней мере в школьной, изучаются такие функциональные зависимости, в которых аргумент и функция жестко и взаимно-однозначно связаны между собой. Иными словами, каждому значению аргумента соответствует одно и только одно значение функции. Хорошими примерами являются такие самые простые функциональные зависимости, как у = х или у =/х.

Но подобные однозначные, или функциональные, связи между переменными величинами в психологии большая редкость, и, как правило, не встречаются. Известно, например, что в среднем между ростом людей и их весом наблюдается положительная связь, и такая, что чем больше рост, тем больше вес человека. Однако из этого правила имеются исключения, когда относительно низкие люди имеют избыточный вес, и наоборот, астеники при высоком росте имеют малый вес. Причиной подобных исключений является то, что каждый биологический, физиологический или психологический признаки определяются действием многих факторов, например средовых, генетических, социальных, экологических и т. д. Поэтому зависимости между психологическими признаками имеют не функциональный, а статистический характер. При этом в среднем определенному значению одного признака, например выраженной акцентуации характера подростков по гипертимному типу, рассматриваемому в качестве аргумента, соответствует не одно какое-либо значение функции, а целый спектр распределяющихся в вариационный ряд числовых значений. В частности, в этом случае такой психологический признак, как тревожность, можно рассматривать в качестве зависимой переменной или функции. Подобного рода зависимости между переменными величинами носят вероятностный характер и называются корреляционной связью или корреляцией. Подобную взаимозависимость между двумя психологическими признаками можно проиллюстрировать при помощи так называемого «корреляционного поля», представленного на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Пример «корреляционного облака» взаимосвязей между гинертимностью (аргумент) и тревожностью (функция).

Корреляционная связь — это согласованное изменение двух признаков, отражающая тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого.

Функциональные связи легко обнаружить и измерить на двух и более единичных объектах (например, два и большее число автомобилей разных марок сравниваются по скоростным характеристикам), или на единичных и групповых объектах (по тем же характеристикам сравниваются вертолет и автомобили), и (или) только на групповых объектах (сравниваются различные средства передвижения). В то же время корреляционные связи нельзя обнаружить на единичных объектах. Их можно получить и изучать только на множестве объектов (переменных), на представительных выборках методами математической статистики. Корреляционные связи — это вероятностные характеристики (показатели). При этом наличие корреляционной связи между двумя переменными не означает причинно-следственной связи между ними. «Оба термина, — пишет Е. В. Сидоренко, — корреляционная связь и корреляционная зависимость — часто используются как синонимы. Между тем, согласованные изменения признаков и отражающая эго корреляционная связь между ними может свидетельствовать не о зависимости этих признаков между собой, а о зависимости обоих этих признаков от какого-то третьего признака или сочетания признаков, не рассматриваемых в исследовании. Зависимость подразумевает влияние, связь — любые согласованные изменения, которые могут объясняться сотнями причин. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной связи, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого, но находится ли причина изменений в одном из признаков или она оказывается за пределами исследуемой пары признаков, нам неизвестно» [18]. В частности, корреляционная связь между значениями функции у = sin (x) и аргументами х на отрезке от 0 до 4л будет близка к нулю. Иными словами, эта корреляционная связь отсутствует.

Виды корреляционных связей между двумя измеренными в эксперименте признаками могут быть различны: так, корреляционная связь бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Она линейна, если с увеличением или уменьшением одной переменной х вторая переменная у в среднем либо также растет, либо убывает. Она не линейна, если при увеличении одной величины характер изменения второй не линеен, а описывается другими закономерностями.

Корреляция будет положительной, если с увеличением переменной х переменная у в среднем также увеличивается. Пример приведен на рис. 9.2.

Однако если с увеличением х переменная у имеет в среднем тенденцию к уменьшению, то говорят о наличии отрицательной корреляции. Пример приведен на рис. 9.3.

Рис. 9.2. Пример положительной корреляционной связи

Рис. 93. Пример отрицательной корреляционной связи

Встречаются ситуации, когда между переменными невозможно установить какую-либо связь. В этом случае говорят об отсутствии корреляционной связи (см. рис. 9.1). Подчеркнем, однако, что нередко экспериментальные данные таковы, что традиционная и наиболее часто использующаяся в психологических исследованиях линейная корреляционная связь между ними отсутствует, в то время как реально между этими переменными имеется высокозначимая нелинейная связь, например полиномиальная или гиперболическая и т. п. Подобные виды связей можно выявить только с помощью различных видов нелинейного регрессионного анализа. Однако в психологии последнее реализуется крайне редко.

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между двумя варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции. Зависимость между двумя коррелирующими переменными х и у, как и в математике, можно выразить с помощью формул и уравнений (т.е. аналитически), а можно выразить графически.

Графики корреляционных зависимостей строят по уравнениям следующих функций:

которые называются уравнениями регрессии. Здесь у_х и х_у — так называемые условные средние арифметические переменные х и у.

Переменные х и у могут быть измерены в разных шкалах, именно это определяет выбор соответствующего коэффициента корреляции. Представим соотношения между типами шкал, в которых могут быть измерены переменные х и у, и соответствующими мерами связи в виде табл. 9.1.

Подчеркнем, что любой из вышеперечисленных коэффициентов корреляции не может быть, но модулю больше.

Таблица 9.1

чем 1. Некоторые из вышеперечисленных коэффициентов корреляции лежат в интервале от -1 до +1, а некоторые в интервале от 0 до +1. При этом если любой из вышеперечисленных коэффициентов корреляции по модулю близок к нулю, то это означает отсутствие связи. Если коэффициент корреляции, но модулю близок к 1, то это соответствует очень тесной (значимой) связи. При этом если коэффициент корреляции положителен, то связь положительная, прямо пропорциональная; отрицателен — отрицательная, обратно пропорциональная.

Подчеркнем, однако, что существуют коэффициенты корреляции, при интерпретации которых знак не играет роли, не интерпретируется. Это, например, бисериальный коэффициент корреляции, или множественный коэффициент корреляции. Эти случаи будут в дальнейшем изложении оговариваться особо.