Реинвестирование в схеме простых процентов

Вернемся снова к постановке задачи, изложенной выше для переменных ставок простых процентов, несколько видоизменив ее. Будем считать, что в первый критический момент времени t_Xf т. е. когда нормированная ставка меняется с i_x на г₂, заканчивается «первая» кредитная сделка, в результате которой получена наращенная сумма S,. Эта сумма является начальной для «второй» сделки под простые проценты с нормированной ставкой i₂, которая заканчивается в следующий критический момент t₂, а наращенная к этому моменту сумма снова вкладывается под простые проценты с нормированной ставкой г₃ и т. д. Последовательность кредитных сделок такого типа отражает процесс так называемого реинвестировании или капитализации процентов.

Покажем, что при инвестиции в момент времени t₀ суммы S, и при реинвестировании наращенных сумм в критические моменты времени t_k, k = l, 2, п-1 наращенная сумма на всем промежутке Гг₀, Г"] определяется по следующей формуле:

Доказательство этой формулы проведем, используя снова метод математической индукции.

При п — 1 имеем схему простых процентов на промежутке [г₀, Г,] с процентной ставкой i_u а формула.

получаемая из формулы (5.33) для п= 1, является основной формулой простых процентов.

Предположим, что формула (5.33) справедлива для случая, когда рассматривается т промежутков, 1 <�т<�п, т. е. что наращенная сумма к моменту t_m имеет вид.

Докажем теперь, что формула (5.33) верна также и в случае, когда рассматривается т +1 промежуток, и может использоваться для определения наращенной суммы S_t к моменту времени t_m+l.

Согласно процессу реинвестирования в момент времени t_m сумма S_t снова вкладывается под простые проценты с нормированной ставкой i_m+i, т. е. теперь сумма S_t является начальной в новой кредитной сделке. Тогда получаем.

Подставляя в это равенство выражение (5.34) для S_t, получаем формулу.

Таким образом, формула (5.33) доказана.

Пример 10. По договору на сумму 3000 руб. в течение 4 лет начисляются простые проценты по ставке 6% годовых в первом полугодии, 7% во втором полугодии, 10% за второй год и 12% за оставшиеся 2 года, при этом накопленные к концу очередного периода начисления суммы реинвестируются. Найти наращенную сумму к концу срока сделки.

Решение. Пусть начальный момент сделки равен ?₀. Накопленная по ставке i_{ = 0,06 к моменту времени f₀ +0,5 сумма вкладывается на следующие полгода по ставке /₂ = 0,07, затем накопленная к моменту времени ?₀ +1 сумма вкладывается на год по ставке i₃= 0,1 и, наконец, сумма, накопленная к моменту времени t₀ +2, вкладывается на 2 года по ставке i_A = 0,12. Тогда получаем.

(Результат получен с точностью до копеек.).