Многомерные случайные величины

Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения

Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин X, Х₂, Х", которую называют также многомерной (п-мерной) случайной величиной или случайным вектором X = (Х₁₍ Х₂,…, Х_п).

Приведем примеры многомерных случайных величин.

• 1. Успеваемость выпускника вуза характеризуется системой п случайных величин Х_и Х₂, Х" — оценками по различным дисциплинам, проставленными в приложении к диплому.
• 2. Погода в данном месте в определенное время суток может быть охарактеризована системой случайных величин: X, — температура; Х₂ — влажность; Х₃ — давление; Х₄ — скорость ветра и т. п.
• 3. Биржевые торги характеризуются системой двух случайных величин: X, — валютный курс, Х₂ — объем продаж.

В теоретико-множественной трактовке любая случайная величина X, (г = 1, 2, …, п) есть функция элементарных событий со, входящих в пространство элементарных событий ?2 (со е ?2). Поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий со:

т.е. каждому элементарному событию со ставится в соответствие несколько действительных чисел х_и х₂, х_п, которые приняли случайные величины Х_1; Х₂,…, Х_п в результате испытания. В этом случае вектор л: = {х_х, х₂,…, х_п) называется реализацией случайного вектора X = (X), Х₂,…, Х_п).

Случайные величины Х_и Х₂,…, Х_п, входящие в систему, могут быть как дискретными (см. выше примеры 1, 3), так и непрерывными (пример 2).

О Пример 5.1. Подбрасывают одновременно две игральные кости; случайная величина X — сумма очков, полученных в результате испытания; случайная величина У — их произведение. Показать, что двумерная случайная величина (X, У) есть функция элементарных исходов (событий) со.

Решение. Множество элементарных исходов (пространство элементарных событий) состоит из 36 элементарных исходов, т. е.

где элементарный исход, например со₉ = 2/3, означает выпадение при подбрасывании первой игральной кости 2 очков и второй кости — 3 очков. Если результатом испытания является какой-нибудь элементарный исход (событие) со,-, то случайные величины X и У получат определенные значения; например, при со₉ = 2/3 X = 5, У = 6. Совокупность этих значений (X, У) представляет, таким образом, функцию элементарных исходов (событий) со. ?

Геометрически двумерную (X, У) и трехмерную (X, У, X) случайные величины можно изобразить случайной точкой или случайным вектором плоскости Оху или трехмерного пространства Охут, при этом случайные величины X, У или X, У, 7 являются составляющими этих векторов. В случае^{-мерного} пространства (п > 3) также говорят о случайной точке или случайном векторе этого пространства, хотя геометрическая интерпретация в этом случае теряет свою наглядность.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием многомерной случайной величины является закон ее распределения. При конечном множестве возможных значений многомерной случайной величины такой закон может быть задан в форме таблицы (матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из одномерных случайных величин, входящих в систему, и соответствующие им вероятности. Так, если рассматривается двумерная дискретная случайная величина (X, У), то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы {матрицы) распределения (табл. 5.1), в каждой клетке (г,/) которой располагаются вероятности произведения событий Ру = Р [(X = х)(У = у)].

Таблица 5.1.

у.) Х1	У		У)		Ут
*1.	Ри		Ри		Рт	Р•.
х,	Рп		Ра		Рт	Рг
х"	Р" 1.		Рт		Рпт	Рп•.
	Р-1.		Ри		Р-т

Так как события [(X = х)(У = у)] (/= 1, 2,…, п] — 1, 2,…, т), состоящие в том, что случайная величина X примет значение х_г а случайная величина У — значение у_г несовместны и единственно возможны, т. е. образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

Итоговые столбец или строка таблицы распределения (X, У) представляют соответственно распределения одномерных составляющих (х, р,) или.

(Уг Р]У

Действительно, распределение одномерной случайной величины X можно получить, вычислив вероятность события X = х, (г = 1, 2, …, п) как сумму вероятностей несовместных событий:

Аналогично

Таким образом, чтобы по таблице распределения (табл. 5.1) найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет определенное значение, надо просуммировать вероятности р,_; из соответствующей этому значению строки (столбца) данной таблицы.

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, положить У = ур то полученное распределение случайной величины X называется условным распределением X при условии У = у_г Вероятности р_: (х,) этого распределения будут условными вероятностями события X — х₍, найденными в предположении, что событие У-У; произошло. Из определения условной вероятности^[1] (1.34).

Аналогично условное распределение случайной величины У при условии X = x? задается с помощью условных вероятностей.

0 Пример 5.2. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X, У) задан в табл. 5.2.

Таблица 5.2.

Найти: а) законы распределения одномерных случайных величин X и У; б) условные законы распределения случайной величины X при условии У = 2 и случайной величины У при условии Х= 1; в) вычислить Р (У < X).

Решение, а) Случайная величина X может принимать значения:

X = 1 с вероятностью р_{ = 0,10 + 0,25 + 0,30 + 0,15 = 0,8;

Х= 2 с вероятностью р₂ = 0,10 + 0,05 + 0,00 + 0,05 = 0,2,.

т.е. ее закон распределения Аналогично закон распределения

б) Условный закон распределения X при условии, что У = 2, получим, если вероятности р^ стоящие в последнем столбце табл. 5.2, разделим на их сумму, т. е. на р (У = 2) = 0,2. Получим.

Аналогично для получения условного закона распределения У при условии X = 1 вероятности р_]р стоящие в первой строке табл. 5.2, делим на их сумму, т. е. на р (X = 1) = 0,8. Получим.

в) Для нахождения вероятностей Р (У < X) складываем вероятности событий из табл. 5.2, для которых у_}<

Получим.

Закон распределения многомерной случайной величины может быть задан и аналитически. Так, дискретная случайная величина X = (Х_х, Х₂, Х_к) имеет полиномиальный (мультиномиальный) закон распределения, если ее составляющие принимают неотрицательные целые значения х_{ = (т_{, т₂, …, т_к) с вероятностями Р (Х_А = т_иХ_ъ — т_ь), определяемыми по формуле (2.18) (см. гл. 2), где

Полиномиальный закон распределения обобщает биномиальный закон (параграф 4.1) и совпадает с ним при к = 2, т_л = т, т₂ = п — т, Р=Р, Р2 = Я•.

Полиномиальное распределение описывает, например, распределение т изделий по п сортам, распределение больных по группам и т. д.

• [1] Для условных вероятностей используются также обозначения Р (х, | г/,), Р{у! х,). Символ «точка» в обозначениях вероятности Р., и далее Д. означает, что по данному индексупроведено суммирование двумерной случайной величины (X, У).