Изучение математики и когнитивное развитие

Вопросы для обсуждения.

• 1. Зачем нужно когнитивное развитие учащихся?
• 2. Каково соотношение обучения и когнитивного развития?
• 3. Что такое «зона ближайшего развития»?

А. В чем суть теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина?

• 5. Что такое умственное развитие с позиции генетической эпистемологии Ж. Пиаже?
• 6. Что такое логико-математический эксперимент?
• 7. Как осуществляется развитие теоретического мышления в рамках теории учебной деятельности В. В. Давыдова?
• 8. Почему усвоение математики способствует развитию как рационального, так и образного мышления?

Одним из базовых психологических ресурсов личности является интеллект. Интеллектуальные возможности человека проявляются в том, как он воспринимает, понимает и объясняет происходящее. В новых социальноэкономических условиях центральной фигурой процесса обучения является ученик, его образовательная деятельность, в которой обучающийся выступает во всем богатстве и многообразии личностных интересов, потребностей, стремлений. Система образования должна обеспечить каждому учащемуся определенный уровень когнитивного развития, ибо только его наличие может обеспечить способность человека ориентироваться в постоянно меняющемся мире. В Федеральном образовательном стандарте (2009) это положение выражается в форме требования научить учиться, вследствие чего, в процессе обучения на первый план выходит проблема формирования базовых интеллектуальных качеств личности.

Соотношение обучения и когнитивного развития исследовалось психологами и педагогами с различных теоретических позиций. Так, теория бихевиоризма решала этот вопрос однозначно: обучение — это и есть развитие. Согласно культурно-исторической теории Л. С. Выготского обучение ведет и предопределяет развитие: обучение должно опираться на зону ближайшего развития, под которой понимается обучение такой деятельности, которую ребенок пока может выполнить только с помощью взрослого. Причем, согласно Выготскому, если на ранних этапах развитие детерминируется биологическими факторами, то в развитии высших психических функций решающую роль играет овладение ребенком знаковыми операциями. Согласно общепсихологической концепции деятельности А. Н. Леонтьева все психические процессы являются интериоризованной внешней деятельностью. В наиболее заостренной форме это положение разработано в теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина: в процессе обучения необходимо сформировать у ребенка полную ориентировочную основу действий в каждой области знания. Обучение в этой концепции выступает единственным источником познания.

Генетическая эпистемология Ж. Пиаже рассматривает когнитивное развитие как процесс нарастания сложности ментальных эквивалентов поведенческих схем, которые Пиаже называет умственными операциями. Такие схемы, считает Пиаже, формируются независимо от обучения, а успех обучения зависит от достигнутого ребенком уровня их сложности.

Психологически умственные операции происходят от действий, поэтому изучение математики требует обращения ребенка к первоначальным предметным действиям. Пиаже различает две формы эксперимента: эксперимент физический, ведущий к абстракции свойств самих предметов, и эксперимент логико-математический, ведущий к абстракции действий и операций, осуществляемых над предметами. Так, при выполнении задания «Найди лишний предмет» может абстрагироваться форма предметов. Выполняя задание «Расположи данные полоски по возрастанию», ребенок абстрагирует не длину полосок, а действия их сравнения, необходимые для достижения требуемого результата, выделяя при этом такие его свойства, как асимметричность и транзитивность. На практике это означает необходимость отказа от преимущественно вербального обучения математике и включения в образовательный процесс действий с предметами или их заместителями.

Проблему соотношения обучения математике и развития теоретического мышления младших школьников с позиции теории деятельности исследовал В. В. Давыдов с сотрудниками на основе разработанной им теории учебной деятельности. Сущность специально организуемой учебной деятельности, по Давыдову, заключается в усвоении детьми теоретических знаний, в которых раскрывается процесс их происхождения, что позволяет детям сразу решать целый класс задач, имеющих общее строение. Учебная деятельность направляется решением учебной задачи посредством выполнения учебных действий:

• • преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения того объекта, который должен быть отражен в соответствующем теоретическом понятии;
• • моделирование выделенного отношения в предметной графической или буквенной форме;
• • преобразование модели отношения для изучения его свойств;
• • построение системы частных задач, решаемых общим способом;
• • контроль за выполнение предыдущих действий;
• • оценка усвоения общего способа решения как результата выполнения данной учебной задачи.

Одной из первых учебных задач, которая ставится перед детьми в процессе обучения математике, является задача выявления отношения, исходного для понятия «величина». В процессе сравнения предметов по выделенному признаку способом наложения, дети устанавливают происхождение отношений «равно», «не равно», «больше», «меньше». Обозначение величин буквами, а вербальных обозначений отношений между ними — специальными знаками (отрезками) позволяет ребенку осуществить переход к теоретическому анализу самих отношений. Все учебные действия выполняются на основе оперирования детьми либо конкретными предметами, либо моделями величин, как графическими, так и символическими, которые строятся и преобразуются детьми самостоятельно.

В дальнейшем обучении дети оперируют не предметами, а выполняющими ту же познавательную функцию их абстрактными заместителями. Для математических объектов, не имеющих прообразов в материальном мире, их представления знаковыми средствами, такими как графики, графы, диаграммы, таблицы и др., «опредмечивают». Как считает М. А. Холодная, беспредметное мышление невозможно^[1].

Весь дошкольный и внешкольный опыт ребенка основан на чувственном восприятии, на зрительных представлениях и моторике и характеризуется опорой на образное мышление и интуицию. Выдающийся математик А. Пуанкаре считал образное мышление наиболее существенным свойством человеческого мышления вообще. Неявное интуитивное знание, будучи недоступным вербализации, зачастую служит основой как практического действия, так и творчества^[2].

С поступлением в школу развитие абстрактных форм мышления только начинается. Причем их развитие не означает «отбрасывания» всех предшествующих форм, но включает их в умственную деятельность на более высоком уровне.

Таким образом, обучение математике, ориентированное на когнитивное развитие детей младшего школьного возраста, требует организации самостоятельной деятельности каждого ребенка с конкретными предметами, в процессе которой выявляются признаки и свойства тех объектов, которые подлежат усвоению.

Например, проблема предъявляется в форме листа рабочей тетради (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Пример листа рабочей тетради Выполняя данное задание, ребенок осуществляет перевод с языка знаков-икон на язык знаков-индексов и далее — на язык математических знаков. Способ задания проблемной ситуации активизирует его интеллектуальные ресурсы, создает условия для формирования чувственно-сенсорных, вербально-речевых, визуально-пространственных и операционально-логических когнитивных компонентов понятийного образа умножения. Причем разрешение данной проблемной ситуации не требует оперирования математическими знаками.

Переход к оперированию непосредственно знаками математического языка должен совершаться тогда, когда смысл и значение каждого знака раскрыты. Например, запись результата сравнения чисел с помощью специальных знаков производится тогда, когда отношения сравнения усвоены в процессе действий с конкретными множествами предметов. Например, решая задачу «Найди пару каждой звездочке, соединяя ее с определенным колечком» (рис. 4.2), ребенок приходит к выводу: колечек больше, чем звездочек, так как у одного колечка не оказалось пары. Этот вывод можно коротко записать условными знаками: К > 3, где К — количество колечек, а 3 — количество звездочек.

Рис. 4.2. К задаче о звездочках и колечках Действия детей с предметными множествами являются логико-математическим экспериментом и включают в процесс познания наряду с рациональными способами мышления наглядно-действенные и наглядно-образные, которые не отбрасываются с развитием формально-логического мышления, а совершенствуются, обогащая интеллектуальные ресурсы ребенка. Так, восприятие превращается в своего рода наглядное мышление.

Операциями рационального мышления являются: анализ, синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение, конкретизация. Каждая из них необходимо включается в процесс решения практически любой задачи. Тем не менее можно составить специальные задания, способствующие развитию преимущественно какой-нибудь одной из них. Например, задание «Расскажи все, что ты знаешь о числе 325» направлено на формирование умений рассматривать объект с различных точек зрения, развивая способность к аналитико-синтетической деятельности¹.

Выполнение заданий вида «Найди закономерность и продолжи последовательность» стимулирует развитие способности сравнивать, обобщать, конкретизировать. Задания вида «Чем похожи, чем отличаются данные объекты» способствуют формированию способности выделять признаки объектов и сравнивать их по этим признакам. Задания на разбиение предметов на группы по указанному признаку, или по признаку, который выделяет сам ребенок, формируют способность классифицировать. Поиск способа деятельности в новой ситуации может быть осуществлен умозаключением по аналогии. Например, зная переместительное свойство сложения, ученики могут выдвинуть предположение о равенстве значений произведений, в которых множители поменялись местами.

«Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают»^[3][4].

Известно, что в математике все утверждения, как правило, доказываются дедуктивно. Особенность дедуктивных рассуждений в начальной школе в том, что они применяются неявно. Например, задание: «Сравни выражения и поставь знак „>“, „<�“, или „=“ так, чтобы получилась верная запись: 43 + 16 … 43 + 20», выполняется рассуждением, вообще говоря, основанным на здравом смысле: «больше прибавили, больше получили». В то же время его обоснование — свойство монотонности сложения.

В математике начальной школы умозаключения нередко производятся на основе неполной индукции. Хотя неполная индукция не гарантирует истинность полученного утверждения, она является мощным орудием познания. Эксперимент, вычисления, измерения, которые не являются в математике доказательством, используются в обучении младших школьников не только как средство выдвижения гипотез, но и в качестве обоснования изучаемого знания. Например, вычислив значения выражений: 1 • 3, 1 • 8, 1*12, ученик на основе неполной индукции выдвигает предположение о значении произведения 1 • 235. Обобщение данного наблюдения приводит к умозаключению: произведение единицы на любое число равно этому числу. В то же время, выполняя деления:

дети замечают, что если сумма делится на 3, то и каждое слагаемое делится на 3. Обобщение данного наблюдения приводит к утверждению: если сумма делится на какое-то число, то и каждое слагаемое делится на это число. Но это утверждение неверно. Опровергающий пример: сумма 5 + 7 делится на 3, но ни одно из слагаемых на 3 не делится. Этот пример является для детей прежде всего расширением знаний о формах дедуктивных умозаключений, формируя потребность в контроле и способность к критическому мышлению, без которого полноценное когнитивное развитие невозможно.

Задания для самостоятельной работы

• 1. Подготовьте презентацию листа рабочей тетради, работая с которым, ребенок усваивает смысл сложения количественных чисел.
• 2. Опираясь на задания учебника В. В. Давыдова с соавторами, опишите фрагмент урока, обучающего первоклассников сравнению масс методом наложения.
• 3. Разработайте диалог, направляющий интеллектуальные и эмоциональные процессы ребенка на перевод количественных характеристик ситуации, заданной на рисунке, на язык знаков-индексов. Подготовьте презентацию.

Тане потребовалось наполнить 3 банки.

• 4. Опираясь на задания учебника математики для 1 -го класса системы обучения «Гармония», разработайте задания, направленные на овладение детьми приемом сравнения. Подготовьте презентацию.
• 5. Опираясь на задания учебника математики для 1 -го класса системы обучения «Школа 2100», составьте задания, выполнение которых способствует овладению детьми приемом классификации. Подготовьте презентацию.
• 6. Составьте задания, направленные на усвоение детьми приема аналогии. Подготовьте презентацию.
• 7. Разработайте задания, способствующие формированию у младших школьников представлений о симметрии плоской фигуры. Обоснуйте, что выполнение данных заданий способствует развитию образного мышления.
• 8. Составьте цепочку суждений для обоснования способа выполнения следующих заданий.
• • Вставь числа в «окошки», чтобы получилось верное равенство:
  • ?: 324 = 7 (ост. 2).
• • Можно ли утверждать, что значения данных выражений равны:
  • 5 • (6 • 4), 5 • 24, 5 (4 6), 6 • 20.
  • 9. Какие действия детей с предметами целесообразно организовать на уроке ознакомления с приемом прибавления числа 2, с целью побуждения детей к умозаключению: при увеличении числа, к которому прибавляем, значение суммы увеличивается.
  • 10. Подберите проблемные ситуации, сравнение которых позволяет детям обобщить зависимость между временем движения и пройденным путем, между временем работы и произведенным продуктом, между количеством товара и его стоимостью.
  • 11. Постройте рассуждение, необходимое для осуществления перевода на язык знаков-индексов текста: «Таня набрала 5 грибов, а бабушка на 2 гриба больше».
  • 12. К какому обобщению приводит ребенка выполнение задания: «Вычисли

Составь такие же столбики с выражениями 4 + 5, 7 + 2″.

13. Составьте рассуждение при выполнении задания: «Покажи на рисунке и схеме величины В_у Е, Р. Заполни „окошечки“».

В <�Е (на Р) Е? В (на ?).

Какие переводы осуществляет ребенок, выполняя это задание?

14. Как дети могут объяснить, что для выполнения задания «Проверь, верны ли равенства

никаких вычислений производить не надо.

• 15. Выполните умозаключения, которые произведет ребенок, выполняя следующие задания.
• • Какое число нужно умножить на 360, чтобы получилось 253 800?
• • Какое число нужно прибавить к 67 386, чтобы получилось 130 324?

• [1] Холодная М. Л. Указ. соч. С. 122.
• [2] Пономарев Я. Л. Психология творчества и педагогика. М.: Педагогика, 1976.
• [3] Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах. М.: Академия, 2002. С. 166.
• [4] Там же. С. 184.