Геометрические вероятности. 
Теория вероятностей

Если вероятность события А — попадания случайной точки в любую часть области — пропорциональна мере этой области, т. е. Р (А) = S_A/S, где S — мера всей области, a S_A — мера той ее части, попадание случайной точки в которую есть событие А, тогда Р (А) называется геометрической вероятностью. Для вычисления геометрических вероятностей классическое определение вероятностей не годится, так как число всех возможных исходов опыта здесь бесконечно.

Рассмотрим задачи на использование геометрической вероятности. Во всех задачах искомое событие обозначено X.

Задача 1.52. Плоскость разграфлена параллельными прямыми на расстоянии 2а. На плоскость случайным образом брошена монета радиусом г < а (рис. 1.6). Найти вероятность того, что она не пересечет ни одной прямой.

Рис. 1.6. К задаче 1.52.

Решение

Задание 1.20. На плоскости нанесена сетка квадратов со стороной а и наугад брошена монета радиусом г < а/2. Найдите вероятность того, что:

• а) она не пересечет обе стороны квадратов сетки;
• б) она нс пересечет более одной стороны сетки.

Задача 1.53 (Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми на расстоянии 2а, на плоскость брошена игла длиной 21. Найти вероятность того, что она пересечет одну из прямых.

Решение

Пусть х — кратчайшее расстояние от середины иглы до одной из прямых, ср — угол между иглой и направлением оси Ох (рис. 1.7, а) тогда х и (р полностью определяют положение иглы относительно графления плоскости, х меняется от 0 до а, ср — от 0 до я. Тогда прямоугольник со сторонами, а и я есть область возможных положений иглы, а заштрихованная ее часть — область благоприятных исходов (рис. 1.7, б).

Рис. 1.7. К задаче 1.53.

Искомая вероятность есть.

Задание 1.21 (о встрече). Двое договорились встретиться в течение часа, причем пришедший первым ждет второго четверть часа. Найдите вероятность того, что они встретятся, если каждый выбирает момент своего прихода случайно в течение часа.

Задача 1.54. В единичный квадрат, лежащий в первой четверти, наугад брошена точка с координатами Ъ, и т|. Найти вероятность того, что: а) %г| < а; б) ппп (?, г|) < а для 0 < а < 1.

Решение

Задача проиллюстрирована рис. 1.8. Получаем:

Рис. 1.8. К задаче 1.54.

Задание 1.22. В единичный квадрат, лежащий в первой четверти, наугад брошена точка с координатами ^ и г. Найдите вероятность того, что для 0 < а < 1:

• а) ^ < х, г| < у (при 0 < х_у у < 1);
• б) | ?, — т, I < «;
• в) шах (^г|) < а
• г) 2(2, + р) < а (рассмотреть случаи а < ½ и а > ½).

Задача 1.55. На отрезке ЛВ длиной 1 поставлено наугад две точки L и М. Найти вероятность Р (Х) того, что точка L ближе к точке Л/, чем к точке Л, т. е. LM < AL (рис. 1.9).

Рис. 1.9. К задаче 1.55.

Решение

Обозначим длины отрезков AL И AM через х и у соответственно. Тогда условие появления благоприятного события есть у — х < х, или у < 2х при х < у и у > 0 при х > у, откуда из геометрических соображений (рис. 1.10) следует, что Р (Х) = ¾.

Рис. 1.10. К решению задачи 1.55.

Задание 1.23. На отрезок длины 1 наугад поставлены две точки. Найдите, с какой вероятностью из получившихся отрезков можно построить треугольник.

Задача 1.56. На окружность наугад поставлены три точки. С какой вероятностью они попадут на одну полуокружность?

Решение

Пусть X — искомое событие, т. е. означает, что треугольник, образованный поставленными точками Л, В_у С, тупоугольный, и событие X —

что этот треугольник остроугольный. Тогда Р (Х) = 1 — Р (Х), а при появлении события X для дуг АВ = х и ВС = у должны выполняться условия.

что приводитк чертежу с заштрихованной благоприятной для появления события X областью. Область всех возможных значений — х, у > 0; 0 <�х + у < 2пг. Отсюда получаем Р (Х) = 0,25, а значит, Р (Х) = 0,75.

Задание 1.24. Найдите ошибку в следующем рассуждении: ставим первую точку на окружность произвольно, тогда вторая точка всегда находится на той же полуокружности, а для третьей точки вероятность попасть в ту же полуплоскость равна ½.

Задача 1.57 (парадокс Бертрана). Найти вероятность того, что длина случайно взятой хорды в окружности единичного радиуса превзойдет УЗ (т.е. сторону правильного вписанного треугольника).

Решение

Приведем три решения задачи (с разными ответами) в зависимости от процедуры случайного выбора хорды, которая приводит к трем разным задачам (т.е. без уточнения этой процедуры исходная задача поставлена некорректно, что и приводит к парадоксу). Таким образом, все три представленных ниже решения верны и относятся к разным задачам.

• 1. Для выбора случайно хорды наугад берем на окружности две точки. Возьмем одну из них за вершину правильного вписанного в окружность треугольника. Тогда (рис. 1.11, а) благоприятная область выбора второй точки выделена на рисунке утолщением линии. Область всех возможных вариантов выбора второй точки — вся окружность, поэтому Р (Х)= 1/3.
• 2. Выбор случайно хорды зададим случайным выбором точки основания перпендикуляра, опущенного из центра окружности на хорду. Тогда область благоприятных исходов есть вписанный в правильный треугольник круг радиусом г = ½ (рис. 1.11, б), поэтому

Рис. 1.11. К задаче 1.57.

3. Выбор случайно хорды зададим случайным выбором расстояния по произвольному диаметру от центра окружности (рис. 1.11, в). Тогда, чтобы длина хорды была больше V3, расстояние от выбранной точки до центра окружности должно быть меньше ½, так что Р (Х) = ½.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Как проверяется адекватность модели? Приведите примеры выбора моделей.
• 2. Каково соответствие схем выбора и размещений?
• 3. Что такое гипергеометрическая схема и ее обобщение? Приведите примеры.
• 4. Выпишите формулу сложения вероятностей для трех произвольных событий.
• 5. Выпишите формулу умножения вероятностей для пяти произвольных событий.
• 6. В чем сходство и различие в постановках задач на ФПВ и ФБ?
• 7. Когда пуассоновская, полиномиальная и обобщенная схемы независимых испытаний совпадают с биномиальной?