Контрольные вопросы. 
Физика

• 1. Что называют механическим движением?
• 2. Опишите связь между тремя законами Ньютона.
• 3. Что такое масса тела и как она определяется?
• 4. Для чего нужна дифференциальная форма второго закона Ньютона?
• 5. Что называют потенциальными и неиотенциальными силами?
• 6. В каких случаях следует применять теорему Гюйгенса — Штейнера? Сформулируйте эту теорему?
• 7. Каковы основные свойства гироскопов?
• 8. Как вы считаете, сила тяжести и сила Всемирного тяготения — одно и то же? Обоснуйте свой ответ.
• 9. Что называется механической волной и в чем ее отличие от волны электромагнитной?
• 10. Что понимают под гравитационным полем?
• 11. Приведите несколько примеров неинерциальных систем отсчета.

Задачи для самостоятельного решения

Аналитические задания.

Рис. 1.27. Задача Л. Кэролла

1. Подумайте над решением задачи Льюиса Кэролла:

«Через блок переброшена веревка, на одном се конце висит груз, за другой конец держится обезьяна. Вес обезьяны равен весу груза. Как будет двигаться груз, если обезьяна полезет наверх?» (рис. 1.27).

• 2. Где на Земле тела легче всего? Вопрос этот похож на загадку-шутку. Но, если подумать, то на него можно дать вполне обоснованный ответ. Какой?
• 3. Вам хорошо известен закон сохранения массы. А теперь представьте себе клетку, в которой сидит птичка, а сама клетка находится на весах. Порассуждайте, изменятся ли показания весов, если птичка взлетит, и будет летать по клетке? Обоснуйте свои рассуждения.
• 4. Объясните с физической точки зрения смену времен года. Помогут ли вам в рассуждениях законы Кеплера?
• 5. Известно, что южное полушарие Земли летом получает от Солнца тепла на 1% больше, чем северное полушарие летом (через 6 мес.). Почему?
• 6. Помните знаменитую скороговорку «Ехал Грека через реку…»? А вот вам похожая задачка.

Плыл Грека массой М длиною L И рак его за время т съел. Сперва была им съедена навеки Рука длиною р% Греки.

На обе рак затратил у реки Р'%о времени обеда.

Вес Греки равен силе Архимеда. Определить диаметр руки.

Примеры решения задач

Пример 1.

Дано:

Материальная точка движется так, что се ускорение задастся выражением а = kt> где k = const. Через время ?, = 1 с ускорение становится равным а, = 2 м/с². Определить скорость v₂ и пройденный путь s₂ материальной точки к моменту времени t₂ = = Юс.

Решение:

Определим скорость точки как.

Из условия следует, что.

Подстановка (П.2)в (П.1) дает.

Путь определим как.

Для момента времени t₂ путь.

Подстановка числовых значений дает результаты: v₂= 100 м/с, s₂ = 333,3 м/с².

Пример 2.

Дано:

Брусок скользит вдоль наклонной плоскости (рис. 1.28). Угол наклона плоскости равен, а = 30°, коэффициент трения между бруском и плоскостью к = 0,3. Определить, за какое время t брусок пройдет вторую половину своего пути, если весь путь равен / = 5 м.

Рис. 1.28. Брусок на наклонной плоскости

Решение.

Второй закон Ньютона в проекциях на оси дает выражения:

Тут мы учли, что сила трения F_Tp = kN.

Из полученных уравнений выражаем ускорение.

at^2.

Поскольку / = —, то время прохождения бруском всей плоскости целиком есть.

Время, затраченное на прохождение первой половины пути, есть а искомое нами время определяем как.

Подстановки числовых значений дает: t = 0,59 с.

Пример 3.

Дано:

Ракета поднимается вертикально вверх с нулевой начальной скоростью. Начальная масса ракеты — т_и. Запишите уравнение зависимости скорости ракеты v от ее массы т и времени t. Для простоты считать поле тяготения Земли однородным и сопротивление воздуха не учитывать.

Решение.

Запишем уравнение Мещерскою в виде:

где и — скорость истечения газов относительно ракеты, она противоположна направлению скорости ракеты V.

Преобразуем последнее выражение к виду.

откуда следует.

Расчетные задачи.

Кинематика материальной точки

• 1. Первую половину времени своего движения велосипедист двигался со скоростью v = 20 км/ч, а вторую половину — со скоростью v = 40 км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста.
• 2. Первую половину своего пути велосипедист двигался со скоростью и = 20 км/ч, а вторую половину — со скоростью v = 40 км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста.
• 3. Вам нужно перебраться через реку шириной L = 50 м с бурным течением. Ваша максимальная собственная скорость и = 3 км/ч. Во время переправы течение сносит вас на расстояние /= 30 м вдоль береговой линии. Определите, под каким углом к берегу вам нужно плыть для того, чтобы переправиться на другой берег за кратчайшее время? Чему равно это время? Рассчитайте скорость течения реки и.
• 4. Камень бросают вертикально вверх с начальной скоростью v. Рассчитайте, через какое время камень упадет на землю.
• 5. Тело брошено горизонтально с начальной скоростью v₀ = 20 м/с. Определите нормальное ускорение а_п, тангенциальное ускорение о, и полное ускорение тела через время t= 2 с.

• 6. Под каким углом к горизонту нужно бросить камень для того, чтобы дальность его полета была максимальной?
• 7. Камень падает с высоты h = 20 м без начальной скорости. Какой путь пройдет камень за 1-ю секунду, за 2-ю секунду, за п-ю секунду?
• 8. Ядро вылетает из пушки под углом, а к горизонту со скоростью v. Определите дальность полета, максимальную высоту подъема ядра, время полета, угол, под которым ядро врежется в землю.
• 9. Материальная точка совершает движение, которое описывается уравнением s = А — Bt + Ct? + Dt Коэффициенты С = 0,2 м/с², D = 0,1 м/с³. Определите: 1) через какой промежуток времени после начала движения ускорение тела станет равным а = 1 м/с²; 2) среднее ускорение тела (а) за этот промежуток времени.
• 10. Точка движется, но окружности радиуса г = 5 м, при этом нормальное ускорение точки задается уравнением: а_п = А + Bt + Cl?. Коэффициенты А = 1 м/с², В = = 6 м/с³, С = 9 м/с⁴. Определите: 1) тангенциальное ускорение точки а_х 2) путь, пройденный точкой за время f, = 3 с после начала движения; 3) полное ускорение в момент времени t₂ = 1 с.
• 11. Первое тело бросили вертикально вверх с высоты /г, = 20 м, а второе в тот же момент времени бросили горизонтально с высоты h₂ = 40 м. Определите начальную скорость первого тела v₀> если известно, что оба тела упали на землю одновременно.
• 12. Катер идет по реке из города А в город В со скоростью v_{ = 15 км/ч относительно берега, а обратно — со скоростью v₂ = 21 км/ч. Определите: 1) скорость течения реки; 2) среднюю скорость катера (?;); 3) собственную скорость катера ?;₀.
• 13. Некоторое тело бросили под углом, а к горизонту. Определите этот угол, если известно, что максимальная высота подъема этого тела меньше дальности полета в 2 раза. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
• 14. После выключения вентилятор за 5 с сделал 20 оборотов и остановился. Считая это движение равнозамедленным, определите: 1) угловую скорость вентилятора; 2) угловое ускорение; 3) частоту вентилятора в рабочем режиме.

Динамика материальной точки

• 15. Движение материальной точки описывается уравнением: r = A sin cot + A coscof. Масса материальной точки т = 0,2 кг, коэффициент А = 2 м, угловая скорость со = = 0,7 рад/с. Определите: 1) путь 5, пройденный точкой за время ?, = 10 с; 2) силу F, действующую на точку в конце указанного интервала времени.
• 16. К нити подвешен груз массой т. Определите силу натяжения нити Г, если груз: 1) поднимается вверх с ускорением а; 2) опускается вниз с ускорением а.
• 17. Аэростат массой т = 300 кг равномерно опускается вниз. Для того, чтобы он стал равномерно подниматься вверх, необходимо сбросить балласт массой т_х. Считая подъемную силу, равной F= 2,5 кН, рассчитайте массу балласта.
• 18. Лыжник массой т равномерно поднимается в гору, имеющую уклон 1 м на каждые 25 м пути. При этом сила трения лыж о снег составляет 5% от силы тяжести. Рассчитайте силу тяги, развиваемую лыжником.
• 19. Невесомый блок укреплен на конце стола. Через блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Груз массой т_{ находится на столе, груз массой т₂ — в подвешенном состоянии. Коэффициент трения между столом и первым грузом — k. Определите ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силу натяжения нити.
• 20. На горизонтально расположенной доске неподвижно лежит предмет. Доску приподнимают с одного края до тех пор, пока при некотором угле наклона доски, а предмет начинает скользить по доске. Определите коэффициент трения предмета о доску k.
• 21. Автомобиль начинает движение с ускорением а. При этом горизонтальная поверхность бензина в его баке наклоняется на угол, а к горизонту. Определите этот угол.

Работа и энергия

• 22. Теннисный мяч летит горизонтально со скоростью v_[t ударяется о стенку и отлетает в противоположную сторону со скоростью v₂. При этом известно, что кинетическая энергия мяча изменилась на величину AW. Па сколько при этом изменился импульс мяча Ар?
• 23. Камень массой т падает в течение времени t. Найдите кинетическую и потенциальную энергии камня в средней точке пути.
• 24. Какой продолжительности должны быть сутки на Земле для того, чтобы тела на экваторе не имели веса?
• 25. Движущийся нейтрон массой т = 1,67−10 ²⁷ кг ударяется о неподвижное ядро атома натрия, масса которого в 11 раз больше массы нейтрона. Во сколько раз изменится кинетическая энергия нейтрона при ударе? Удар считать упругим и центральным.
• 26. Локомотив массой т начинает двигаться со станции так, что зависимость его скорости от пути s определяется законом v = A~[s, где А = const. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения.
• 27. Мяч массой т = 0,1 кг падает с высоты А, = 5 м, отскакивает от пола и снова поднимается на некоторую высоту h₂. Рассчитайте эту высоту, если известно, что при ударе об пол мяч потерял XV = 2 Дж энергии.
• 28. Шар массой т = 1 кг отпускают без начальной скорости из верхней точки наклонного желоба, который снизу закручен в форме «мертвой петли». Радиус «мертвой петли» равен г = 1 м. Определите, с какой высоты h нужно отпускать этот шар, чтобы в верхней точке петли он не сорвался вниз?

Вращательное движение тел

• 29. Шайба с моментом инерции / = 63,6 кг• м² вращается с угловой скоростью со = 31,4 рад/с относительно оси, перпендикулярной плоскости ее основания. Под действием сил торможения шайба останавливается через 30 с. Определите момент сил торможения М.
• 30. Шар диаметром D = 5 см и массой т = 0,2 кг катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости, совершая 4 оборота за секунду (п = 4 об/с). Определите кинетическую энергию шара.
• 31. Вычислите относительную ошибку А, которую мы получили бы, если при решении предыдущей задачи не учли кинетическую энергию вращения шара.
• 32. Стальной шар массой т = 2 кг катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью = 12 см/с. После удара о стенку шар отскакивает в противоположную сторону со скоростью v₂ = 6 см/с. Считая, что часть кинетической энергии шара пошла па его нагрев, определите, на сколько увеличилась температура шара после удара. Удельную теплоемкость стали считать равной С = = 460 Дж/(кг К).
• 33.14 ме юте я два цилиндра: сплошной алюминиевый и полый свинцовый. Цилиндры неотличимы друг от друга и имеют одинаковую массу и одинаковый диаметр основания. Предложите способ, которым можно отличить цилиндры. Обоснуйте математически свой ответ. Примечание: цилиндры нельзя портить.
• 34. Однородный диск радиуса R = 0,3 м вращается под действием касательной силы F— 100 II с угловым ускорением s = 100 рад/с. При вращении на диск действует момент силы трения, равный М = 5 Н • м. Найти массу диска т.
• 35. Рассчитайте среднее расстояние от Земли до Солнца. Подсказка: воспользуйтесь законами Кеплера. Для простоты орбиту Земли считайте круговой.
• 36. Определите момент импульса L и момент инерции / земного шара относительно оси вращения.