Модели развития операций по схеме простых процентов

В условиях рыночной экономики существуют различные варианты инвестирования. В простейшем случае кредитор и заемщик договариваются о величине кредита Р (первоначальная денежная сумма), размере годовой процентной ставки ?'%, сроке кредита и длительности периода начисления процентов. Математически такая операция может быть представлена в виде модели простых процентов. По этой модели происходит накопление общей суммы долга 5 за счет периодического, например ежегодного, начисления процентных денег I. В соответствии с этим наращенная сумма будет равна:

• к концу первого года

• к концу второго года.

• к концу третьего года.

• к концу /7-го года.

Таким образом, накопление суммы происходит по схеме простых процентов и образует возрастающую числовую последовательность.

которая представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом я₀ = 5₍₎ и разностью прогрессии

Таким образом, математической моделью, отображающей изменение капитала, но схеме простых процентов, является арифметическая прогрессия, в соответствии с которой любой ее член находится по формуле.

Процентная сумма определяется по формуле.

где i — относительная величина годовой ставки ссудного процента.

На этом основании модель накопления капитала по схеме простых процентов принимает вид:

Следует заметить, что срок ссуды п может быть как целым, так и дробным положительным числом:

где t — срок ссуды в днях; К — количество дней в году (360, 365, 366).

Тогда приведенную модель можно записать в другом виде:

В зависимости от содержания поставленной задачи, пользуясь этой моделью, можно определять различные показатели операции:

• величину первоначальной (математическое дисконтирование) суммы.

• относительную величину процентной ставки.

• продолжительность года.

• срок ссуды (лет).

срок ссуды (дней).

• коэффициент наращения по простой процентной ставке.

Если на последовательных интервалах начисления процентов Щу п₂, щ, …, п_т устанавливаются разные ставки процентов ц, i₂> /3,i_m, сумма процентных денег составит в конце первого интервала: I = Pni второго интервала: I₂ = Pn₂i₂; в конце /77-го интервала: I_m = Рп_тг_т. На этом основании за весь срок договора наращенная сумма будет равна.

Следовательно, коэффициент наращения равен.

Следует заметить, что в этом случае проценты начисляются всегда от величины первоначальной суммы Р.

В банковской практике различных стран срок контракта в днях и расчетное количество дней в году при начислении процентов определяются по-разному. При германской (коммерческой) практике подсчет числа дней проводится исходя из 30 дней в месяц и длительности года в 360 дней. При французской практике длительность года принимается равной 360 дням, а количество дней в месяце берется равным фактической календарной длительности 28, 29, 30 или 31 день соответственно. При английской практике длительность года 365 дней и длительность месяцев соответствует фактической длительности по календарю. Для удобства выполнения расчетов пользуются сквозной нумерацией всех дней в году, представленной в табл. 6.1.

Пример 6.1. Определите количество дней для начисления процентов при различной практике начисления, если вклад до востребования был размещен с 12.01 по 15.03.

Решение

1. При коммерческой практике количество дней для начисления процентов будет равно:

• 20 (количество дней хранения вклада в январе) + 30 (в феврале) + 15 (в марте) — 1 (день приема и день выдачи вклада считаются за один день) = 64 дня.
• 2. При французской и английской практике количество дней для начисления процентов составит:
• 20 28 -*- 15 — 1 = 62 дня (меньше, чем при коммерческой практике).

Пример 6.2. Вклад 300 тыс. руб. был положен в банк 20.05 при ставке 60% годовых. С 1.09 байк снизил ставку, но вкладам до 30% годовых. 25.10 вклад был закрыт.

Определите сумму начисленных процентов при английской, коммерческой и французской практике начисления.

Решение

При коммерческой практике количество дней для начисления процентов, но ставке 60% годовых равно: /_г1 = 12 + 30 + 30 + 30 + 1 — 1 = = 102 дням, по ставке 30% годовых: /_г2 = 30 + 25 — 1 = 54 дням.

Сумма начисленных процентов составит.

При французской практике количество дней для начисления процентов по ставке 60% годовых равно t§ = 12 + 30 + 31 + 31 + 1 -1 = = 104 дням; но ставке 30% годовых: /_ф2 = 30 + 25 — 1 = 54 дням. Сумма начисленных процентов составит.

При английской практике количество дней для начисления процентов (см. табл. 6.1) по ставке 60% годовых равно: ?_а1 = 12 + 30 + + 31+31 + 1−1 = 104 дням; по ставке 30% годовых равно: ?_а2 = 30 + + 25 — 1 = 54 дням.

Сумма начисленных процентов составит.

В кредитных организациях рассматриваются операции банка по начислению и уплате процентов по привлеченным во вклады (депозиты) рублевым денежным средствам физических и юридических лиц, а также полученным межбанковским кредитам. Сроки привлечения банком средств во вклады (депозиты), а также межбанковские кредиты на условиях «овердрафт», «до востребования», «овернайт» — 3,7 и 21 день, 3 месяца. Для выполнения расчетов исходными данными являются процентные ставки банка (ставки привлечения).

• 1 Диапазон ставок задан в зависимости от колебаний ставки межбанковского рынка.
• 2 Плавающая ставка, равная ставке рефинансирования Банка России плюс (минус) установленный банком процент.

Ставка рефинансирования Банка России в рассматриваемом периоде: по состоянию на 01.07 — 18%; по состоянию па 20.11 — 16%.

Пример 6.3. Начисление процентов на сумму срочного депозита. Банк 02.07 принял в межбанковский депозит денежные средства в сумме 80 тыс. руб. сроком на 7 дней по ставке 24,9%.

Полный срок депозита (02—09.07) — 8 календарных дней (п), период начисления процентов по депозиту (02—08.07) — 7 календарных дней (п — 1). Банк возвращает сумму депозита с начисленными процентами 09.07 в сумме.

Пример 6.4. Начисление процентов на сумму вклада «до востребования» по процентной ставке, изменяющейся в течение срока действия договора банковского вклада.

Банк 07.07 заключает с вкладчиком договор банковского вклада на условиях выдачи вклада, но первому требованию (вклад «до востребования»). Первоначальная сумма вклада — 78 тыс. руб. Процентная ставка — 3%, начисленные проценты не увеличивают сумму основного вклада, выплата процентов осуществляется, но первому требованию вкладчика отдельно от суммы вклада. Вкладчик 30.07 снимает с вклада денежные средства в сумме 46 тыс. руб.

Банк 04.08 принимает решение об увеличении начиная с 10.08 процентной ставки по вкладам «до востребования» до 4%.

Вкладчик 03.09 снимает оставшуюся сумму вклада и начисленные за весь период вклада проценты.

Полный срок вклада (07.07—03.09) — 59 календарных дней (п), период начисления процентов по вкладу (07.07—03.09) — 58 календарных дней (п — 1).

Банк 03.09 возвращает вкладчику остаток вклада в сумме 32 тыс. руб. и выплачивает начисленные на этот день проценты в сумме.

Пример 6.5. Начисление процентов на сумму депозита по плавающей процентной ставке.

17.11 банк привлекает в 7-дневный депозит денежные средства юридического лица (предприятия) в сумме 40 тыс. руб. по плавающей процентной ставке, равной ставке рефинансирования Банка России на момент действия депозита (по состоянию на 17.11 18%) плюс 0,5%.

Банк России 19.11 объявляет о снижении начисления с 20.11 ставки рефинансирования с 18 до 16%.

Полный срок депозита (17—24.11) — 8 календарных дней (/г), период начисления процентов (17—23.11) — 7 календарных дней (п — 1).

Банк 24.11 возвращает предприятию сумму депозита и выплачивает начисленные проценты в сумме:

Пример 6.6. Начисление процентов на сумму предоставленного внутридневного «овердрафта» в банке.

В соответствии с договором о корреспондентских отношениях банк-корреспондент 09.12 предоставляет внутридневной «овердрафт» банку-рсспонденту. Сумма внутридневного «овердрафта» составила 158 245 руб. в течение 2 ч 30 мин (150 мин) и 41 412 руб. в течение 1 ч 17 мин (77 мин). Процентная ставка по внутридневному «овердрафту» составляет 5,5%, время работы расчетной системы корреспондентских отношений между банками — 9ч (540 мин) в сутки.

Банк-респондент 10.12 на основании полученной от банка-корреспондента выписки по корреспондентскому счету оплачивает задолженность по процентам за предоставленный 09.12 внутридневной «овердрафт» в сумме.

Пример 6.7. Начисление процентов на сумму выданного кредита по фиксированной процентной ставке.

Банк 11.08 выдает юридическому лицу (предприятию) кредит в сумме 280 тыс. руб. на 1 месяц по ставке 25%. Срок возврата суммы кредита и уплаты процентов по нему — 11.09.

Полный срок кредита (11.08—11.09) — 32 календарных дня (п), период начисления процентов по кредиту (11.08—10.09) — 31 календарный день (п — 1).

Согласно условиям кредитного договора предприятие-заемщик 11.09 погашает перед банком задолженность по кредиту и производит уплату процентов за пользование кредитом в сумме.

Пример 6.8. Начисление процентов на сумму выданного межбанковского кредита, но плавающей процентной ставке.

Банк осуществляет операции по выдаче межбанковских кредитов на срок 3 дня. Процентная ставка по кредиту изменяется на ежедневной основе и равна ставке МИБОР по однодневным кредитам, действующей на соответствующий день срока действия кредитного договора, плюс 2%. Капитализация начисленных процентов не производится. Продление срока действия договора кредитным договором не предусматривается.

Банк 08.12 выдал межбанковский кредит на указанных выше условиях в сумме 1 млн 500 тыс. руб. Срок возврата суммы кредита и уплаты начисленных процентов — 11.12.

Полный срок кредита (08—11.12) — 4 календарных дня (п), период начисления процентов по кредиту (08—10.12) — 3 календарных дня (п — 1).

¹ МИБОР — годовые процентные ставки краткосрочного межбанковского кредита, базовые для России.

В период кредитного договора процентная ставка банка-кредитора по текущему кредиту составила:

• начисление банком-кредитором процентов: а) 09.12 (за первый день пользования суммой кредита)

б) 10.12 (за второй день пользования суммой кредита).

в) 11.12 (за третий день пользования суммой кредита).

г) 11.12 банк-заемщик погашает задолженность по кредиту в сумме 1 млн 500 тыс. pv6. и уплачивает начисленные проценты в сумме 2176 руб. 84 кои. (669,45 + 807,53 + 699,86).