Презентация проекта. 
Применение решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными для решения задач рыночной экономики

Руководитель проекта сообщает тему и цель проекта, знакомит с исполнителями проекта. Акцентирует внимание учащихся на том, что проект носит обучающий характер и в процессе презентации они должны будут, используя изученную тему «Системы линейных уравнений» научиться решать задачи рыночной экономики.

Первый ученик дает основные определения рыночной экономики, рассказывает о законах конкурентного рынка и о том, какое отношение имеет все сказанное к алгебре. Для демонстрации математических моделей использует фрагменты компьютерной программы «Экономика и право». Формулирует задачу о нахождении рыночного равновесия.

Второй ученик представляет задачу, которая была сформулирована в результате анализа собранной им информации по продаже шоколада «Alpen Gold», и как в реальной ситуации по решению системы уравнений спроса и предложения найти точку равновесия. Анализирует полученный результат.

Использует демонстрационную таблицу и график, выполненный в графическом редакторе Advanced Grapher.

Третий ученик в своей задаче рассматривает ситуацию, сложившуюся по продаже системного блока компьютера на базе процессора Celeron в одном из магазинов фирмы N. Решает вопрос о нахождении точки равновесия различными способами: графическим, аналитическим, анализируя данные демонстрационной таблицы. Вместе с ним эту задачу решают учащиеся класса. Анализируют полученный результат.

Четвертый ученик оформил выставку книг, по экономике, в которых рассматриваются математические модели, и кратко рассказал содержание каждой. Представил мультимедийный обучающий курс «Экономика и право», используемый в проекте.

Пятый ученик — художественный оформитель проекта (оформление материалов проекта, изготовление демонстрационных таблиц).

Руководитель проекта подводя итоги работы учащихся, отметил актуальность темы «математические модели в экономике» и возможность использования приобретенных начальных менеджерских умений и навыков для решения экономических задач на базе других математических моделей.

Базовые понятия экономики, используемые в проекте. (презентация первого ученика) Наша группа работала над учебным межпредметным проектом «Математические модели в рыночной экономике».

Мы покажем применение в экономике систем уравнений.

Для начала напомним основные определения рыночной экономики.

Словарь экономических терминов.	Рынок.
Спрос, закон спроса.
Предложение, закон предложения.
Равновесная цена.
Равновесное количество товара.

Рынок — это механизм, сводящий вместе покупателей и продавцов различных товаров.

Важные характеристики любого рынка — спрос и предложение.

Спрос на некоторый товар — это количество товара, которое потребители готовы и в состоянии приобрести по некоторой цене из ряда возможных в течение определенного периода времени цен.

Предложение некоторого товара — это количество товара, которое продавцы способны предложить к продаже по каждой конкретной цене из ряда возможных цен в течение определенного периода времени.

Возникает вопрос: какое отношение все сказанное имеет к алгебре и, в частности, к системам линейных уравнений? Ответ: самое непосредственное!

Для конкурентных рынков справедливы законы спроса и предложения, математические модели которых для простоты иллюстрируются графиками линейных функций.

Закон спроса.

При неизменности всех прочих факторов снижение цены ведет к соответствующему увеличению спроса и, наоборот, при прочих равных условиях увеличение цены ведет к уменьшению спроса.

График спроса имеет следующий вид (заметим, что в экономике принято цены относить к оси ординат):

чем ниже цена, тем выше спрос, и чем выше цена, тем ниже спрос. Покупатель желает приобрести больше товара определенного качества по низкой цене и меньше товара того же качества по более высокой цене.

Закон предложения.

При прочих равных условиях увеличение цены ведет к увеличению предложения, а уменьшение цены к уменьшению предложения.

График предложения имеет вид:

чем выше цена, тем выше предложение, и чем ниже цена, тем ниже предложение. Продавцу выгоднее продать больше товара определенного качества по высокой цене и меньше товара того же качества по более низкой цене.

С математической точки зрения линейные модели имеют серьезные преимущества, так как в случае нелинейных моделей обычно затруднительно получение решений в виде формул. Легкость применения и достаточная точность приближения к реальному миру — делают линейные модели наиболее широко применимыми в различных науках, в частности, в экономике. Именно поэтому и было сделано предположение о линейности функций спроса и предложения.

Важнейшей особенностью чисто конкурентных рынков является их способность к саморегуляции, а именно, к установлению рыночного равновесия между спросом и предложением.

Как найти равновесную цену и равновесное количество товара?

Соответствие между ценой на спрос и ценой на предложение называется равновесной ценой, а количество товара, соответствующего равновесию между спросом и предложением, называется равновесным количеством.

Ясно, что координаты точки пересечения графиков уравнений спроса и предложения как раз и будут равновесной ценой и равновесным количеством товара.

Таким образом, для определения точки равновесия можно использовать приемы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Найденные равновесная цена и равновесное количество товара помогают прогнозировать реальные события, просчитывать последствия принимаемых решений.

Задача 1 (презентация второго ученика) По продаже шоколада «Alpen Gold» за неделю в одном из магазинов города сложилась следующая ситуация:

Цена, (руб.).	Спрос, (шт.).	Предложение, (шт.).

• а) Найти уравнения спроса и предложения.
• б) Найти точку равновесия

Используя данные таблицы строим графики уравнений спроса и предложения.

Графики — ломаные линии. Принятое ранее предположение о линейности уравнений спроса и предложения не выполняется.

Точка пересечения ломаных линий и является точкой равновесия. Из рисунка видно, что для нахождения точки равновесия достаточно знать уравнения только тех отрезков ломаных, на пересечении которых находится данная точка.

На графике уравнения спроса выберем точки с координатами:

(60; 22), (80; 15).

На графике уравнения предложения выберем точки с координатами:

(60; 15), (70; 22).

Осталось найти уравнения прямых, проходящих через две точки, и решить систему двух найденных уравнений.

y = kx + b.

(60; 22), (80;15).	(60; 15), (70; 22).
7 = -20k,. k = -0,35. 22 = - 21 + b. b = 43. y = - 0,35x + 43.	— 7 = - 10k,. k = 0,7. 15 = 42 + b. b = - 27. y = 0,7x — 27.	0 = - 1,05x + 70. — 70 = - 1,05x. x = 66,7. y = 0,7 66,7 — 27. y = 19,7.

Решение системы: (66,7; 19,7).

Ответ:

а) уравнение спроса: y + 0,35x = 43.

уравнение предложения: y — 0,7x = - 27.

б) координаты точки равновесия: (66,7; 19,7).

Вывод:

Равновесная цена — 19 рублей 70 копеек.

Равновесное количество товара — 67 штук.

Задача 2 (презентация третьего ученика) По продаже системного блока компьютера на базе процессора Celeron в одном из магазинов фирмы N за месяц сложилась следующая ситуация:

Цена (тыс. рублей).	Спрос (шт.).	Предложение (шт.).

Найти точку равновесия различными способами.

Графический способ.

Используя данные таблицы, строим графики уравнений спроса и предложения.

Графики — ломаные линии. Точка пересечения ломаных линий и является точкой равновесия. Приближенно координаты этой точки (16; 9,5).

Способ более точный, но с использованием графиков уравнений спроса и предложения.

Из рисунка видно, что для нахождения точки равновесия достаточно знать уравнения только тех отрезков ломаных, на пересечении которых находится данная точка.

На графике уравнения спроса выберем точки с координатами: (20; 9), (15; 10).

На графике уравнения предложения выберем точки с координатами: (10; 9), (20; 10).

Осталось найти уравнения прямых, проходящих через две точки, и решить систему двух найденных уравнений.

y = kx + b.

(20; 9), (15;10).	(10; 9), (20; 10).
— 1 = 5k,. k = -0,2. 9 = - 4 + b. b = 13. y = - 0,2x + 13.	— 1 = - 10k,. k = 0,1. 9 = 1 + b. b = 8. y = 0,1x + 8.	0 = - 0,3x + 5. — 5 = - 0,3x.

Решение системы: (; 9).

Равновесная цена — 9 700 рублей.

Равновесное количество — 17 штук.

Способ.

А как по таблицам спроса и предложения найти нужные отрезки ломаных?

Вспомним процесс установления рыночного равновесия.

Для некоторых значений цены превышение спроса над предложением, а для цены в 10 тыс. рублей предложение превысило спрос.

По таблицам спроса и предложения для:

y = 8 30 — 6 0.

y = 9 20 — 10 0.

y =10 15 — 20 0.

Точки (20; 9), (15;10) на графике спроса, а точки (10; 9), (20; 10) на графике предложения. Осталось найти уравнения прямых, проходящих через две точки и решить систему двух найденных уравнений. Полученное решение и будет точкой равновесия.

Обзор литературы и краткая характеристика мультимедийного обучающего курса «Экономика и право» (презентация четвертого ученика) Математика и экономика — это точные науки. Они не могут друг без друга существовать Цифры нужны для подсчета результатов, затрат, прибыли, доходов. С помощью графиков различных математических функций можно наглядно показать, как растет или падает кривая спроса на тот или иной товар на потребительском рынке.

В областной библиотеке можно найти книги, в которых приводятся примеры использования математики в экономике.

Например, в книге А. П. Козакова «Школьнику о рыночной экономике», освещаются все проблемы рыночной экономики: что такое рынок, когда и где он возник, как рынок устроен и по каким законам действует. Все это излагается понятным языком, иллюстрировано схемами, графиками, таблицами и рисунками, легко и хорошо запоминается.

Вот еще одна книга «50 бизнес — советов подростку», автор — Бернстайн Д. Эта книга адресована подросткам, которые вдруг оказались в стране, где буйно развиваются так называемые рыночные отношения. Если у тебя в голове мозги, а не опилки, как у Вини — Пуха, если есть время, здоровье и желание самому зарабатывать деньги — за дело. Своим маленьким бизнесом занимаются многие американские подростки.

Несколько слов об интересной компьютерной программе «Экономика и право». В ней разработаны жизненные ситуации, связанные с предпринимательством и экономикой. В программе содержаться игры, развивающие мышление и предпринимательские способности. Например: компьютерная игра «ЦЕНА и СПРОС» — учебная игровая программа по экономике, ориентированная на развитие навыков предпринимательства. Цель игры «ЦЕНА и СПРОС» — завоевание рынка и борьба с (компьютерными) конкурентами путем правильной ценовой политики и тщательного изучения спроса. Игра красочно оформлена и с интересом воспринимается учащимися от 12 лет (а также взрослыми).

Эта программа интересна тем, что дает ответы на многие вопросы экономики и права. В ней можно найти хронологическую шкалу развития экономической мысли, где подробно описывается тот или иной период столетия. Уровень своей подготовки можно проверить, решая задачи практикума «Мотивы предпринимательской деятельности». При наличии мультимедиа-проектора фрагменты программы можно демонстрировать по ходу рассказа.

Книги с выставки:

Бернстайн Д. 51 бизнес — советов подростку. — М.: Крон — Пресс, 1995.

Грошев В. П. Занимательная экономика: Кн. Для учащихся старших классов — М.: Просвещение, 1988.

Казаков А. П. Школьнику о рыночной экономике. Учебное пособие для старшеклассников. — М.: Общество «Знание», 1993.

Липсиц И. В. Удивительные приключения в стране экономика. М.: изд — во «Вита — пресс», 1993.

Росошек С.К., Хают Л. Б., Малова И. Е. Системы уравнений: учебное пособие по математике для 9 класса. — Томск: изд-во Том. ун-та, 1994 г.