Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах

Использование элементов логики в начальном курсе математики

Математика дает реальные предпосылки для развития логического мышления, задача учителя — полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы развития логических приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием логического мышления идет без знания системы необходимых приемов, без знания их содержания и последовательности формирования.

Баракина В.Т. [5] выделяет следующие требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся при изучении элементов логики в начальной школе:

• 1. Элементы теории множеств:
  • — познакомиться со множествами различной природы на конкретных примерах и способами их записи (перечислением);
  • — научиться выделять элементы множества;
  • — познакомиться с основными типами отношений между множествами и способом их изображения с помощью кругов Эйлера-Венна;
  • — научиться выполнять некоторые операции над множествами (объединение, пересечение).
• 2. Элементы теории высказываний:
  • — познакомиться с высказыванием на уровне представлений;
  • — научиться отличать высказывания от других предложений;
  • — познакомиться с основными видами высказываний;
  • — научится выполнять некоторые операции над высказываниями (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция).
• 3. Элементы комбинаторики:
  • — познакомиться с данным понятием на уровне представлений;
  • — учиться различать комбинаторные задачи от других типов текстовых задач, рассматриваемых на уроках математики;
  • — научиться решать задачи на определение числа размещений изn элементов по m элементов.

Элементы логики в начальной школе рассматриваются на уроках как математики, так и информатики. При этом уровень требований к знаниям, умениям и навыкам учащихся, а также содержание обучения по данному разделу несколько отличается в различных программах. Это связанно, прежде всего с тем, что в настоящее время Федеральный Государственный Образовательный Стандарт Начального Общего Образования не предполагает обязательного рассмотрения данной темы в 1−4 классах [1].

В настоящее время все курсы математики нацелены на развитие учащихся. Так, например, курс Истоминой Н. Б. [13] своей главной целью имеет развитие приемов умственной деятельности учащихся, мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, классификации, аналогии, обобщения.

Рассмотрим возможности активного включения в процесс обучения математике различных приемов умственных действий так, как это предлагает Истомина Н. Б. 13].

Прежде всего, учащихся нужно научить использовать анализ и синтез, так как эти операции являются важнейшими мыслительными операциями. Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез — это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое. В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, синтез — через анализ.

Основу этих операций составляет умение выделять признаки предметов. Дети знакомятся с признаками: форма, цвет, размер. Дополнительно можно познакомить с такими признаками как «функциональное назначение» и «материал». В этот период используются упражнения типа:

ь Опиши предмет;

ь Угадай предмет по признакам;

ь Измени любой признак предмета и нарисуй новый предмет.

Также учащиеся знакомятся с существенными и несущественными признаками. В это же время вводят понятие «одинаковые» и «различные» признаки. В результате дети должны научиться вычленять признаки предметов [13].

По мнению Истоминой Н. Б., особую роль в организации продуктивной деятельности младших школьников в процессе обучения математике играет прием сравнения. Сравнение — это сопоставление различных объектов, нахождение их общих и различных признаков. Сравнение предполагает сформированность следующих умений:

• 1. Выделять признаки объектов;
• 2. Сопоставлять объекты по данному основанию;
• 3. Выделять основание для сравнения;
• 4. Устанавливать общие и различные признаки.

Формирование умения пользоваться этим приемом следует осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного содержания. Истомина Н. Б. предлагает ориентироваться на следующие этапы:

• Ш Выделение признаков или свойств одного объекта;
• Ш Установление сходства и различия между признаками двух объектов;
• Ш Выявление сходства между признаками трех, четырех и более объектов [13].

Так как работу по формированию у детей логического приема сравнения лучше начать с первых уроков математики, то в качестве объектов можно сначала использовать предметы или рисунки с изображением предметов, хорошо им знакомых, в которых они могут выделить те или иные признаки, опираясь на имеющиеся у них представления.

При обучении установлению сходств и различий между двумя объектами вводим понятия общие и различные признаки.

При сравнении трех и более предметов необходимо добиться от учеников понимания задания «сравнении».

Умение выделить признаки и, ориентируясь на них, сравнивать предметы ученики переносятся на математические объекты. Например, назови признаки: выражения 3+2 (числа 3, 2 и знак «+»).

По этим внешним признакам, доступным для восприятия, могут устанавливать сходство и различие между математическими объектами и осмысливать эти признаки с точки зрения различных понятий.

Истомина Н.Б. [13] указывает, что показателем сформированности приема сравнения является умение детей самостоятельно использовать его для решения различных задач, без указание на это.

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие — основа приема классификации. Классификация — это разделение и последующее объединение объектов на каком-либо основании [13].

При формировании умения выполнять классификацию необходимо развивать у детей следующие умственные операции:

• — выявлять различные признаки объектов (анализ и синтез);
• — выявлять сходство и различие (сравнение);
• — выявлять основание для классификации;
• — делить объекты на группы по данному основанию;
• — давать название каждой выделенной группе объектов;
• — проводить контроль результатов классификации.

Умение выполнять классификацию формируется у школьников в тесной связи с изучением конкретного содержания. Задания, связанные с приемом классификации, обычно формулируются в таком виде: «Разложите все предметы на две группы по какому-либо признаку».

По мере изучения различных понятий задания на классификацию могут включать числа, выражения. Равенства, уравнения, геометрические фигуры. Например, разбейте данные числа на две группы, чтобы в каждой группе оказались похожие числа: 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53 (в одну группу входят числа, записанные двумя одинаковыми цифрами, в другую — различными).

Как указывает Истомина Н. Б. [13], задания на классификацию можно применять не только для продуктивного закрепления знаний, умений и навыков, но и при знакомстве учащихся с новыми понятиями.

В процессе обучения математике учитель довольно часто говорит детям «Сделайте по аналогии» или «Это аналогичное задание». Обычно такие указания даются с целью закрепления тех или иных действий.

Под аналогией понимают особый вид умозаключения, когда по причине сходства двух объектов по некоторым признакам и при наличии признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Как указывает Истомина Н. Б. [13], формируя у младших школьников умение выполнять умозаключения по аналогии, необходимо иметь ввиду следующее:

• o Аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зависит от того, несколько ученики умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними;
• o Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, второй сравнивается с ним по каким-либо признакам. Отсюда, применения приема аналогии способствует повторению изученного и систематизация знаний и умений;
• o Для ориентации школьников на использование аналогии необходимо в доступной форме разъяснить им суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, вспомнив и проанализировав известный способ действий и данное новое задание;
• o Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации. В противном случае вывод может быть неверным.

Истомина Н.Б. 13] указывает, что выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений — основная характеристика такого приема умственных действий, как обобщение. Обобщение — это мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.

Следует различать результат и процесс обобщения. Результат фиксируется в понятиях, суждениях, правилах. Процесс же обобщения может быть организован по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения — теоретическом и эмпирическом.

В начальном курсе математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассуждений (умозаключений).

Например, для того чтобы подвести учащихся к формулировке переместительного свойства умножения, учитель предлагает им такое задание:

ь Рассмотрите рисунок и попробуйте посчитать сколько квадратов прямоугольнике. В результате получают 9*3=27, 3*9=27 и следовательно описывают те сходства и различия, которые существуют между записанными равенствами.

ь Ученикам предлагается самостоятельная работа: найти значения следующих выражений, заменив умножение сложением:

• 3*2 4*4 3*6 4*5 5*3 8*4
• 2*3 2*4 6*3 5*4 3*5 4*8

После этого анализируем полученные записи, выделяем общее, которое формулируем виде правила.

Формируя у младших школьников умение обобщать наблюдаемые факты индуктивным способом, полезно предлагать задания, при выполнении которых они могут сделать неверные обобщения.

Рассмотрим пример:

• Ш Сравни выражения, найди общее в полученных неравенствах и сделай соответствующие выводы:
  • 2+3…2*3 4+5…4*5
  • 3+4…3*4 5+6…5*6

Сравнив данные выражения и отметив закономерности: слева записана сумма, справа записано произведение двух последовательных чисел; сумма всегда меньше произведения. Но высказанное обобщение ошибочно, так как не учтены случаи: 0+1…0*1 и 1+2…1*2.

Как указывает Истомина Н. Б. [13], непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.

Для начальных классов наиболее доступными являются следующие способы доказательства истинности суждений:

• — измерение;
• -вычисление;
• — эксперимент;
• — дедуктивные умозаключения.

Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.

Например:

· Вставь числа в «окошечки», чтобы получились верные равенства:

Ў/6=27 054.

Ў/7=4083 (ост.4).

Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение частного умножим на делитель, то получим делимое». Частное суждение: «значение частного — 27 054, делитель — 6».

Заключение

: «27 054*6=162 324».

Рассмотрим, как используются элементы математической логики в программах по математике:

1. Программа по математике Т. Е. Демидовой, С. А. Козловой, А. П. Тонких («Школа 2100»).

Как указывает Баракина Т. В. 5], в программе «Моя математика» выделяется раздел «Элементы стохастики», в рамках которого представлены элементы комбинаторики, теории графов, наглядной и описательной стохастики, начальные понятия теории вероятностей.

Так, в 1-м классе учащиеся получают начальные представления о графах, учатся работать с таблицами, строить цепочки логических рассуждений, используя математические сведения. Формируется понятие о взаимно однозначном соответствии, решаются задачи на расположение и выбор (перестановку) предметов.

Во 2-ом классе полученные знания учащиеся уже применяют при изучении нового материала. С помощью таблиц и графов решаются комбинаторные задачи. Формируются первоначальные представления о сборе и накоплении данных, при этом младшие школьники учатся читать и записывать данные не только в таблицах, но и с помощью линейных диаграмм. Вводится понятие случайного эксперимента. Продолжается работа над высказываниями (истинные и ложные) в рамках изучения неравенств.

В 3-ем классе закрепляются основные понятия теории и вероятности, рассматриваются новые приемы решения комбинаторных задач: упорядоченный перебор вариантов, с помощью дерева вы. Младшие школьники учатся представлять статистические данные с помощью линейных, столбчатых, круговых диаграмм, знакомятся с элементами теории множеств и теории высказываний.

Полученные знания учащиеся должны уметь и применять в жизни, поэтому проекты, предлагаемые детям в 4-ом класса, направлены на формирование умения собирать и обрабатывать статистическую информацию о явлениях окружающей действительности (опросы общественного мнения).

В 4-ом классе рассматриваются стохастические игры, вводятся понятия «справедливые» и «несправедливые» игры, закрепляются элементы теории множеств, высказываний, графов.

2. Программа по математике Л. Г. Петерсон («Школа 2000…»).

Учебник ориентирован на развитие мышления, творческих способностей ребенка, его интереса к математике.

Баракина Т.В. 5] указывает, что в 1-ом классе вводится понятие «совокупность» предметов или фигур.

Во 2-ом классе учащиеся знакомятся с понятием «операция», «объект операции», «результат операции».

В 3-ем классе изучаются элементы математической логики. Ученики знакомятся с понятием множества, в том числе и с пустым множеством, элементами множества, подмножествами (классификация), знаками, обозначающими принадлежность к множеству. Они проводят операции над множествами, изучают их свойства (пересечение, объединение). Рассматривается диаграмма Венна.

Тогда же происходит знакомство с высказываниями, их видами: верное, неверное. На основе изученного материала вводится понятие «формула».

В 4-ом классе знакомятся с множеством решений, импликацией «или».

3. Программа по математике В. Н. Рудницкой, Т. В. Юдачевой («Начальная школа XXI века»).

Как указывает Баракина В. Т. [5], в соответствии с этой программой учащиеся овладевают многими важными логико-математическими понятиями. Они знакомятся, в частности, с математическими высказываниями, логическими связками («и», «или», «если…то», «неверно, что»), со смыслом логических слов (каждый, любой, все. кроме, какой-нибудь), составляющих основу логической формы предложения, используемой в логических выводах.

Выпускник начальной школы. Обучавшийся по данной программе, должен отчетливо представлять себе, что значит доказать какое-либо утверждение; владеть простейшими способами доказательства; подобрать конкретный пример, иллюстрирующий некоторое общее положение, или привести опровергающий пример; применять определение для распознавания того или иного математического объекта, давать точный ответ на поставленный вопрос.

Важной составляющей линией логического развития ребенка является его обучение (уже с 1-го класса) действию классификации по заданным основаниям и проверка правильности его выполнения.

Баракина В.Т. [5] отмечает, что вышеуказанные программы по математике выделяют отдельный содержательный раздел, в котором рассматриваются элементы логики. Другие же программы, например «Школа России», «Перспективная начальная школа», «Гармония» и т. п., несмотря на отсутствие подобного раздела, также знакомят детей с элементами логики в процессе обучения. Она конкретизирует данное замечание:

• 1. Большинство программ начального курса математики при введении основных математических понятий используют теоретико-множественный подход.
• 2. При ознакомлении младших школьников с выражениями с переменными, а также уравнениями рассматриваются элементы теории высказываний, предикатов.
• 3. В настоящее время абсолютно все программы по математике включили в свое содержание, помимо традиционных видов текстовых задач. Комбинаторные задачи.

Младшие школьники знакомятся с данным понятием на уровне представлений; учатся отличать комбинаторные задачи от других типов текстовых задач, рассматриваемых на уроках математики; приобретают навыки решения комбинаторных задач практическими, графическими способами.

4. При обучении младших школьников математике широко используются элементы теории графов. При этом учащиеся должны не только получить представление о графе, нго составляющих, но и познакомится с различными видами графов, научится использовать графы в процессе решения задач из различных предметных областей.

В настоящее время не только содержание начального курса математики расширено за счет введения элементов логики, но и программы по информатике для учащихся 1−4 классов также направлены на изучение основных понятий теорий множеств, высказываний, графов, решение комбинаторных задач и т. п. Но, несмотря на это объема изучаемого материала недостаточно. Поэтому необходимо либо давать на уроках дополнительные задания с использованием элементов логики, либо выносить их во внеурочную деятельность.