Система голосования и теорема «невозможности» К. Эрроу

Американский математик Кеннет Джордж Эрроу профессор Стэндфордского, Гарвардского и ряда других университетов, лауреат Нобелевской премии по экономике (1972 г.) за пионерские работы в области теории общего экономического равновесия, заложил основы современной теории выбора, а его работа до сих пор определяет развитие этой теории.

В 1951 г. Кеннет Эрроу, обобщив парадокс Кондорсе, доказал теорему о невозможности, суть которой состоит в том, что не существует правила коллективного выбора, способного одновременно удовлетворить следующие шесть требований:

Полнота. Правило должно обеспечивать выбор между любыми двумя альтернативами, отдавая предпочтение одной из них либо признавая обе равноценными.

Универсальность. Правило обеспечивает результативный выбор при любом сочетании индивидуальных предпочтений.

Транзитивность. Для любого набора из трех альтернатив x, y и z, если xRy и yRz, то xRz.

Единогласие. Если xRi y выполняется для любого i, т. е. все участники коллективного выбора отдают предпочтение первой из двух альтернатив, то xRy, иначе говоря, коллективный выбор совершается в пользу первой альтернативы (это не что иное, как выполнение требования Парето-оптимизации).

Независимость от посторонних альтернатив. Коллективный выбор между любыми двумя альтернативами x и y зависит от того, как индивиды оценивают эти две альтернативы по отношению друг к другу, но не зависят от отношения индивидов к какой бы то ни было посторонней альтернативе z, (например, будет ли признано xRy, может зависеть, в частности, от того, верно ли, что xRiy, но не от того, справедливо ли, что xRiz или что xRjzRjy).

Отсутствие диктатора. Среди участников коллективного выбора нет такого индивида, любое предпочтение которого xRjy влекло бы за собой xRy независимо от предпочтений всех других индивидов.

Введя понятие рационального выбора, можно сформулировать теорему иным образом: выбор является рациональным, если он отвечает требованиям полноты и транзитивности. Рациональность индивидуального выбора — одна из ключевых аксиом микроэкономики.

Решающая коалиция — совокупность индивидов, входящих в общее число участников коллективного выбора и при единогласии внутри этой коалиции позиция ее членов становится результатом коллективного выбора. Решающей коалиция может быть только для конкретной пары альтернативных вариантов (а против в). Коалиции, которые являются решающими для любой допустимой пары альтернатив, называются решающими без указания конкретной пары.

В своей теореме Эрроу доказал, что, если выполняются перечисленные выше шесть условий, то для произвольной пары альтернатив найдется решающая коалиция, состоящая из одного члена. Так же он доказал, что если коалиция состоящая их одного члена — решающая для некоторой пары х и у, то она является решающей для любой пары альтернатив, а и в.

Принципиальное значение теоремы Эрроу заключается в том, она определяет ключевые предпосылки осуществимость или неосуществимости рационального демократического выбора. Условия теоремы допускают выбор между всевозможными Парето — оптимальными состояниями при самых разных профилях предпочтений, что влечет за собой улучшение положения одних индивидов за счет других, создает непримиримые конфликты и провоцирует формирование неустойчивых коалиций.

История демократических институтов достаточно четко говорит о том, их решения далеко не всегда лучше частных решений. Руководствуясь решением ареопага, афиняне осудили на смерть Сократа и едва не казнили Аристотеля. Единогласно принимались решения коллективного руководящего органа НАТО о начале операции в Югославии и политбюро СССР о вводе ограниченного контингента в Афганистан. При этом последствия этих решений и в настоящее время до конца не ясны.

Пытаясь ответить на вопрос о том, как на самом действует правило общественного выбора, Эрроу, введя очевидные и необременительные правила, пришел к поразительному выводу — всем перечисленным требованиям удовлетворяют только диктаторские правила.

Несуществование рационального правила общественного выбора, утверждаемое этой теоремой, означает, что рациональный общественный выбор не может быть достигнут в результате компромисса — так можно интерпретировать результат Эрроу.

Обобщая вышесказанное, можно сделать вывод, что теорема Эрроу позволяет понять, что безупречное демократическое устройство государства, при наличии разнонаправленных интересов практически не возможно. А при условии полного совпадения интересов, государство и его принуждающая сила были бы не востребованными.