Модели систем массового обслуживания с ограниченной очередью

Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Рассмотрим многоканальную СМО, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью, а интенсивность обслуживания каждого канала составляет, максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной m. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать.

• — все каналы свободны;
• — занят только один канал (любой);
• — заняты только два канала (любых);
• — заняты все каналов.

Пока СМО находится в любом из этих состояний, очереди нет. После того как заняты все каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым, определяя дальнейшие состояние системы.

Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность л. Интенсивность потока обслуживания равна м (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать м обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Обозначим — вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:

(5).

Здесь.

— приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна:

.

С учетом этого можно обозначить.

(6).

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):

вероятность отказа в обслуживании заявки:

P_отк=Р_N= (7).

относительная пропускная способность системы:

(8).

абсолютная пропускная способность:

А=q•л;

среднее число находящихся в системе заявок:

среднее время пребывания заявки в системе:

;

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

W_q=W_s— 1/м;

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

L_q=л (1-P_N)W_q.

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N-1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность л=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

Интенсивность потока обслуживаний автомобилей:

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей л и м, т. е.

Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:

P₁=r•P₀=0,893•0,248=0,221;

P₂=r²•P₀=0,893²•0,248=0,198;

P₃=r³•P₀=0,893³•0,248=0,177;

P₄=r⁴•P₀=0,893⁴•0,248=0,158.

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

P_отк=Р ₄=r⁴•P₀?0,158.

Относительная пропускная способность поста диагностики:

q=1-P_отк=1−0,158=0,842.

Абсолютная пропускная способность поста диагностики.

А=л•q=0,85•0,842=0,716 (автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа.

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

W_q=W_s-1/м=2,473−1/0,952=1,423 часа.

Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

L_q=л•(1-P_N)•W_q=0,85•(1−0,158)•1,423=1,02.

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р_отк=0,158).