Задачи и упражнения

13.1 ,| Лазер с модулированной добротностью Оценить основные параметры импульса излучения оптического квантового генератора при мгновенном включении добротности: пиковую мощность, время т, в течение которого плотность энергии в кристалле достигает половины максимального значения, а также т₂, в течение которого плотность энергии в кристалле возрастет от максимального значения и затем потом снова упадет до половины максимального значения.

Оценить энергию, высвечиваемую в импульсе за время т₂.

Для численных оценок взять следующие исходные данные: длина кристалла L = 5 см, плотность активных частиц в кристалле п = 2×10¹⁹см частота излучения v® 4×10^м Гц, время спонтанного перехода с верхнего рабочего уровня на нижний т_с" = 3×10″ с.

Рабочие уровни считать невырожденными. Принять, что при полной инверсии, создаваемой в кристалле источником накачки, коэффициент квантового усиления равен *0,4 см" ¹. Считать потери в кристалле, включая потери за счет излучения через зеркала (основные потери), распределенными и коэффициент потерь равным Оо «0,13 см ¹.

Решение Работу оптического квантового генератора опишем кинетическими уравнениями вида:

где N— число фотонов в типе колебаний; л, — разность чисел активных частиц на верхнем и нижнем рабочих уровнях во всем объеме кристалла; «, —₍₁ — та же разность при полной инверсии (когда все активные частицы находятся на верхнем рабочем уровне); а# — коэффициент квантового усиления при пу= пу_и; т_р— время жизни фотонов в резонаторе. Эта система несколько отличается от ранее полученной системы.

Во-первых, коэффициент квантового усиления записан в виде а_н —, т. е. нормирован на пу_а.

Во-вторых, во втором уравнении имеется множитель 2, появление которого связано с тем, что если нижний рабочий уровень нельзя считать пустым, то переход активной частицы с верхнего рабочего уровня на нижний приводит к появлению одного фотона, но разность количества активных частиц уменьшается на две единицы (число частиц на верхнем уровне уменьшается на единицу, а число частиц на нижнем уровне увеличивается на единицу). В-третьих, из уравнения для изменения разностей чисел на уровнях исключены члены, определяющие действие источника накачки на влияние спонтанного излучения, т. к. это уравнение понадобится для описания поведения лазера после мгновенного включения добротности, когда этими членами можно пренебречь ввиду их малости. Кроме того, по-другому записан член, описывающий изменение числа фотонов в типе колебаний за счет спонтанного излучения [сравни с выражением (1.1.5) задачи 1.1].

Отметим также, что в уравнение (3.1.1) входит скорость света в вакууме. Вообще говоря, в эти уравнения должна была входить скорость света в кристалле, но ввиду грубости производимых в дальнейшем оценок считаем ее равной с.

В системе уравнений (3.1.1) перейдем к новым переменным. Введем обозначение а₀ = ——, чтобы записать первый член правой части уравнения для числа фотонов в такой.

V.

же форме, как член, описывающий индуцированные переходы. Вместо разности числа активных частиц перейдем к инверсной населенности.

а вместо числа фотонов — к плотности энергии в кристалле.

Тогда система уравнений (3.1.1) примет вид:

При выключенной добротности потери в лазере велики (для простоты принимаем <�Хо «а#), генерации нет, п н п_н определяются сигналом накачки и перед включением добротности п = п_и = п₀, т. е. все частицы с нижнего рабочего уровня переброшены на верхний, а плотность энергии р₀ в типе колебаний определяется спонтанным излучением. Тогда из первого уравнения системы (3.1.2) имеем.

После мгновенного включения достаточно высокой добротности коэффициент потерь Оо резко уменьшается и а_н" do- Плотность энергии быстро нарастает за счет индуцированных переходов, и вклад спонтанного излучения становится ничтожным. Поэтому в первом уравнении системы (3.1.2) можно пренебречь последним членом, описывающим вклад спонтанного излучения в плотность энергии, и поведение лазера будет определяться следующей системой уравнений:

Умножая второе уравнение системы (3.1.4) на /;v/2 и складывая с первым уравнением, получаем.

Подставляя в правую часть этого равенства выражение для р из второго уравнения системы (3.1.4), имеем.

Решение уравнения (3.1.5) записывается в виде.

где константа определяется из начальных условий: при / = 0 (момент мгновенного включения добротности) все активные частицы находятся на верхнем рабочем уровне п = л₀, а плотность энергии определяется спонтанным излучением и равна ро [см. формулу (3.1.3)].

Используя эти условия, получаем.

Оценим сначала пиковую мощность излучения.

Плотность энергии максимальна в точке dpi dt = 0. Из первого уравнения системы (3.1.4) видно, что dp Idt- 0 при

Подставляя (3.1.7) в (3.1.6), находим.

l_^ ₊ ^L|n^L. а_н а_н а_н

Для оптического квантового генератора, работающего в режиме модуляции добротности, Ртач" Ро, поэтому в формуле (3.1.8) величиной ро можно пренебречь по сравнению с р_т". Практически во всех производимых ниже оценках р «р₀ и всюду в разности р — ро величиной ро можно пренебречь.

Мощность выходного излучения равна.

т. е. пиковая мощность составляет.

Величина Р_тлх> как видно из (3.1.9), зависит от отношения do / а#.

Исследование уравнения (3.1.9) на экстремум показывает, что экстремум Р_пшх достигается при cio t о.ц «0,3. В условии задачи значения Оо и а» указаны как раз такие, что do / а_н «0,3, т. е. отношение параметров Оо и а_н выбрано оптимальным.

Вычислим теперь интервалы т, и т₂. Прежде всего, нетрудно определить значение инверсной населенности п = //, при которой плотность энергии поля достигает половины своего максимального значения:

Подставляя в левую часть (3.1.6) р^/2 из выражения (3.1.8), получаем уравнение для определения и.

Это трансцендентное уравнение имеет два решения. Одно соответствует нарастающей, а другое— спадающей части импульса. При (*o/a#"0,3 для нарастающей части импульса имеем п[ / л₀ * 0,7, а для спадающей п' / п₀ «0,1.

Для оценки т, воспользуемся первым уравнением системы (3.1.4), считая п = const (п меняется от я₀ до 0,7л₀). Разделим левую и правую части уравнения на р и получим легко интегрируемое выражение.

откуда В момент / = Т| р = р_1ПЛХ / 2, следовательно.

Интервал значений т, получаем, если принять для п два значения: п = п₀, п = пт. е.

При оценке интервала т₂ следует иметь в виду, что на этом отрезке времени инверсная населенность изменяется очень сильно, а плотность энергии несколько меньше. Поэтому грубую оценку т₂ можно произвести из второго уравнения системы (3.1.4), считая р = const. Это уравнение легко интегрируется:

Таким образом, т₂ определяется отношением п = n (t = т, т₂ = 0) к п[ (/ = т, + т₂). Для проводимой грубой оценки можно взять два значения постоянной плотности энергии: р ^ж Ртм / 2 и р — р^,. Тогда.

Пользуясь условиями задачи, проведем численные оценки формул (3.1.9), (3.1.12), (3.1.14):

Оценим также энергию И', высвечиваемую в импульсе за время т₂. Очевидно, что.