Случайные величины и их характеристики

Внезапные отказы определяются случайными неблагоприятными сочетаниями нескольких факторов. Случайность связана с тем, что причины события остаются для нас скрытыми. Рассеяние ресурсов по критерию усталости (оцениваемое отношением наибольшего ресурса к наименьшему) для подшипников достигает 40, для зубчатых передач 10… 15. Рассеяние ресурсов по износу также весьма значительно. Существенные рассеяние имеют действующие нагрузки, механические характеристики материалов и деталей, зазоры и натяги. Поэтому в расчетах надежности многие параметры должны рассматриваться случайными величинами, т. е. такими, которые могут принять то или иное значение, неизвестное заранее. Они могут быть непрерывного или прерывного (дискретного) типа.

Для каждого числа х в диапазоне изменения случайной величины Xсуществует определенная вероятность р (Х< х), что Xне превосходит х. Эта зависимость F (x) = р{ Х < х) называется функцией распределения или функцией вероятности случайной величины X.

Рис. 1.1. Плотность вероятности и числовые характеристики центра группирования случайной величины:

I — медиана; 2 — мода; 3 — математическое ожидание Функция F (x) является неубывающей функцией х (монотонно возрастающей для непрерывных процессов и ступенчато возрастающей для дискретных процессов). В пределах изменения случайной величины X она изменяется от 0 до 1.

Производная от функции распределения по текущей перемен;

.. dF (x) — _.

ной J (к) =? — называется плотностью распределения. Она характеризует частость повторений данного значения случайной величины. В задачах надежности ее широко используют в качестве плотности вероятности.

В ряде случаев достаточно характеризовать распределение случайной величины некоторыми случайными величинами (рис. 1.1): математическим ожиданием (средним значением), модой и медианой, характеризующими положение центров группирования случайных величин по числовой оси, дисперсией, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации, характеризующими рассеяния случайной величины.

Характеристики распределений используются в статистической трактовке (для обработки результатов наблюдений) и в вероятностной трактовке (для прогнозирования надежности).

Математическое ожидание (среднее значение) т_х — основная и простейшая характеристика случайной величины х. Значение математического ожидания, определяемое по результатам наблюдений как для дискретных, так и для непрерывных величин, называют оценкой математического ожидания или оценкой среднего значения х:

или.

где N — общее число наблюдений; х, — значение случайной величины; g, — число одинаковых значений х,. Черта над обозначением случайной величины означает среднее значение.

В формуле (1.1) суммируют все N членов, а в формуле (1.2) — число членов с разными значениями х,. При достаточно большом числе наблюдений (испытаний) полагают, что т_х = х.

В вероятностных задачах математическое ожидание определяют в зависимости от плотности распределения /(х) (для непрерывных величин) или вероятности р, появления значений х, (для дискретных величин):

Дисперсия случайной величины — математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

Оценка дисперсии случайной величины — среднее значение квадрата разности между значениями случайной величины и ее средним значением:

ИЛИ.

Слово «дисперсия» означает рассеяние и характеризует разброс случайной величины.

Для непрерывных случайных величин.

Для дискретных случайных величин.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Поскольку удобнее пользоваться характеристикой рассеяния, имеющей ту же размерность, что и случайная величина, то была введена характеристика — среднее квадратическое отклонение, представляющее собой корень квадратный из дисперсии,

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной (относительной) величины используют коэффициент вариации, равный отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются гораздо более репрезентативными характеристиками рассеяния, например среднее арифметическое абсолютных значений отклонений.

Квантиль — это среднее значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности. Квантиль, соответствующая вероятности 0,5, называется медианой. Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.

Для характеристики рассеяния случайной величины используют также вероятностное отклонение, равное половине разности квантилей *0,75 и ль, 25, т. е. значений случайной величины, соответствующих вероятностям 0,75 и 0,25.

Мода случайной величины — наиболее вероятное значение или, иначе, то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Аналогично с предыдущими характеристиками трансформируются термины мода и медиана в статистической трактовке. Для симметричного модального (т. е. имеющего один максимум) распределения математическое ожидание, мода и медиана совпадают.