Основные этапы построения математических моделей

Процесс построения экономико-математических моделей общего типа состоит из следующих взаимосвязанных этапов.

Первый этап — постановка задачи, где формируется цель запланированного мероприятия, ставятся задачи исследования, проводится качественное описание объекта. Данный этап заключается в формулировке законов, связывающих основные элементы модели, где под законами подразумеваются определённые количественные связи между элементами модели. Уровень детализации модели зависит от конкретной цели исследования. Будем считать, что цель поставлена. Это значит, что в результате исследования того или иного объекта (процесса) на основе моделирования требуется найти ответ на конкретные вопросы, касающиеся его функционирования, перспектив развития и т. д. Задача построения адекватной модели решается как компромисс между сложностью описания изучаемого объекта (детализацией), которая в большой степени зависит также и от цели исследования, и минимизацией ресурсов (усилий) для получения ответов на вопросы, которые стоят перед разработчиками модели.

Вопрос о степени адекватности разрабатываемой модели является центральным при применении метода моделирования. Для построения адекватной математической модели требуются широкие знания фактов, относящихся к изучаемому процессу, глубокое проникновение в его теорию, анализ статистической и иной информации, отражающей функционирование объекта исследования. Поэтому на первом этапе особенно важно сотрудничество специалистов различных направлений науки. Необходимость такого сотрудничества обусловлена тем, что степень адекватности разрабатываемой модели зависит, прежде всего, от этого этапа: именно здесь происходит структуризация модели, здесь устанавливаются взаимосвязи между её элементами, здесь закладываются основы математической задачи. В результате сотрудничества специалистов различных направлений, в той или иной мере относящихся к области изучаемого объекта, строится его концептуальная модель. Понятно, что уровень адекватности математической модели в большой степени определяется допущениями, используемыми при построении соответствующей концептуальной модели. К сожалению, приходится констатировать следующее: характерным недостатком изложения экономико-математических моделей является нечёткое обсуждение ключевых гипотез.

Второй этап — разработка описательной модели, где формулируются и обосновываются показатели и система основных предположений. Этот этап заключается в формализации сформулированных гипотез, что выражается записью в математических терминах качественных представлений о связях между объектами (подсистемами) концептуальной модели. Эти взаимосвязи устанавливаются на основе тех или иных гипотез, вследствие чего один и тот же процесс в зависимости от используемых гипотез может описываться различными математическими моделями.

Третий этап — разработка математической модели изучаемого объекта с выбором методов исследования, программного обеспечения ПК или составление алгоритма и программы для ПК по новым задачам. На третьем этапе выполняется анализ математических задач, к которым приводят используемые математические модели. В качестве таких задач могут быть разнообразные задачи исследования операций, в которых решаются проблемы выбора наилучшего в некотором смысле варианта из некоторого набора альтернатив: теории вероятностей и теории массового обслуживания, дифференциального и интегрального исчисления, где исследуются процессы с учётом стохастичности и неопределённости некоторых переменных и др. Основным вопросом здесь является решение так называемой прямой задачи, которая заключается в результате анализа модели выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемого процесса.

Четвёртый этап — решение задачи на базе разработанной модели, состоящее в реализации пакета прикладных или разработанных программ для ПК. Выходные данные прямой задачи являются теоретическими следствиями входных данных и тех гипотез, которые были заложены в концептуальную и математическую модели. Из сказанного следует, что на этом этапе центр тяжести исследований переносится на решение математических проблем с использованием соответствующего математического аппарата и вычислительной техники. Применение ЭВМ приобретает принципиальное значение особенно при постановке сложных математических задач, исследование которых осуществляется с помощью различных численных методов и выполнением вычислительных экспериментов.

Пятый этап — проверка и настройка модели, т. е. установление соответствия модели описываемому экономическому процессу. Анализ разработанной математической модели включает сравнение результатов исследования математической модели с практикой. На этом этапе происходит выяснение того, удовлетворяет ли принятая модель критерию практики, т. е. выясняется вопрос о том, в какой степени согласуются результаты наблюдений, представления разработчиков модели о изучаемом процессе с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если отклонения теоретических следствий от наблюдений выходят за пределы точности наблюдений, то делается вывод о неадекватности используемой модели изучаемому процессу, вследствие чего модель отклоняется.

Шестой этап — представление результатов решения в форме, удобной для изучения, анализ материалов модели на основе обработки результатов, модернизация модели в случае необходимости построения новой, более адекватной модели.

Опыт, накопленный несколькими поколениями учёных, свидетельствует о том, что даже при исследовании сравнительно простых процессов редко удаётся с первого шага построить адекватную математическую модель и подобрать точные её параметры. Построение новой модели осуществляется на основе всестороннего анализа старой модели с использованием, если это необходимо, вычислительных экспериментов.

Анализ модели может привести к изменению представлений исследователей о характере взаимовлияния различных переменных, что, в свою очередь, приводит к необходимости пересмотра гипотез модели и даже полной замене некоторых из них. Поэтому процесс математического моделирования носит, как правило, циклический характер.

В свете сказанного можно сформулировать основные требования, которым должны удовлетворять математические модели.

А. Модель не должна быть чрезмерно сложной, так как это приводит к неоправданно большим затратам ресурсов при ее реализации. Следует соотносить сложность и детальность модели с уровнем достоверности исходной модели.

Б. Не следует строить модель всеобъемлющего прогноза реального объекта. Это приводит к чрезвычайно громоздким, необозримым и плохо анализируемым математическим моделям, которые к тому же могут оказаться еще и плохо обусловленными (неустойчивыми). Если возникает необходимость в прогнозе ряда разнородных качеств реального процесса, то целесообразно построить совокупности или иерархию соподчиненных простых математических моделей.

С. Сложность модели должна соответствовать степени разработанности математического аппарата, а не превосходить ее; в противном случае математическая модель будет неразрешимой.

Вообще говоря, нельзя сформулировать единые жесткие правила создания математических моделей, и в этом плане можно согласиться с Е. С. Вентцель, что разработка моделей — это искусство. Более того, у разных исследователей модели одного и того же процесса могут существенно отличаться, и потому целесообразна конкуренция или «спор» моделей как способ их селекции.

модель экономическая цена равновесная.