Метод Кифера — Вольфовица

Характерной чертой этого метода является зависимость размеров рабочего и пробного шагов от номера шага h или от расстояния до оптимума (рис. 2.8). Так, размер рабочего шага р_р = p/(fry), где р — некоторая постоянная, а у определяется предполагаемым видом поверхности отклика, 0 < у < 0,5; обычно у = 0,25.

Рис. 2.8. Поиск экстремума функции отклика методом Кифера —.

Вольфовица Алгоритм движения к экстремуму по методу Кифера — Вольфовица такой же, как и в предыдущем методе:

В рассматриваемом методе величина шага уменьшается при приближении к экстремуму за счет уменьшения величины градиента gradF. На практике применяется движение к оптимуму с постоянным шагом в соответствии с алгоритмом.

где р_р = const.

Поскольку градиент определяет направление быстрейшего изменения функции, то методы, базирующиеся на таком выборе направления движения, должны быстрее приближаться к экстремуму, однако имеются некоторые трудности, ограничивающие их применение. Так, эти методы предполагают существование частных производных исследуемой неизвестной функции во всех точках, что практически не всегда возможно. Далее определение градиента производится на каждом шаге, что очень трудоемко.

Метод крутого восхождения, или метод Бокса — Уилсона.

Этот метод объединяет характерные элементы методов Гаусса — Зейделя и градиента. Шаговое движение при оптимизации методом крутого восхождения осуществляется в направлении наибольшего изменения функции, т. е. в направлении градиента, но в отличие от градиентного метода корректировка направления движения производится не после каждого шага, а после достижения частного экстремума целевой функции (рис. 2.9), как это делается при поиске оптимума по методу Гаусса — Зейделя.

Рис. 2.9. Поиск экстремума функции отклика методом крутого.

восхождения Метод Бокса — Уилсона предполагает регулярное проведение статистического анализа промежуточных результатов на пути к экстремуму. Практически поиск оптимума методом крутого восхождения выполняется по следующему плану.

• 1. Вблизи исходной точки х₀ проводится эксперимент для определения gradY (X₀). Результаты эксперимента подвергаются статистическому анализу и определяются коэффициенты Ь, уравнения (2.13).
• 2. Вычисляются произведения b, AXj, где АХ, — интервал варьирования фактора X, при исследовании поверхности отклика в окрестности исходной точки, т. е. при определении коэффициентов Ь,. Фактор, для которого произведение b_i/SX_i будет максимальным, принимается за базовый (Ь_бДХ_б).
• 3. Для базового фактора выбирается шаг варьирования при движении по направлению к экстремуму Х_б. После этого вычисляются размеры шагов при крутом восхождении по остальным переменным (X,) процесса. Так как при движении к экстремуму по градиенту все исследуемые факторы должны изменяться пропорционально коэффициентам наклона поверхности отклика b_i} то

при этом Ь, берется со своим знаком.

4. Производятся «мысленные опыты», которые заключаются в вычислении предсказанных значений функции отклика в точках факторного пространства, лежащих на пути к экстремуму от исходной точки. Осуществляется мысленное движение по градиенту к оптимуму в соответствии с формулой (2.15) (здесь движение происходит в соответствии с максимальным значением коэффициента регрессионной модели — оттого и название «градиент»). При этом i-я координата h-й точки на этом пути будет.

Отсюда прогнозируемое значение выходного параметра.

• 5. Некоторые из «мысленных опытов» (обычно через 2—5) реализуются для того, чтобы проверить соответствие аппроксимации процесса найденной зависимостью. Наблюдаемые значения сравниваются с предсказанными; точка, где в реальном опыте получено наиболее благоприятное (в нашем случае — минимальное) значение выходного параметра, принимается за новую начальную точку (Х_п) следующей серии опытов, поставленных аналогичным образом.
• 6. Поскольку каждый цикл крутого восхождения приближает к экстремуму, где крутизна поверхности отклика больше, рекомендуется выбирать шаг для каждой следующей серии опытов равным или меньшим шагу в предыдущей.
• 7. Эксперимент прекращается, когда все или почти все коэффициенты Ь, уравнения получаются незначимыми или равными нулю. Это говорит о выходе в оптимальную область целевой функции (область главного экстремума).

При исследовании сложных объектов метод Бокса — Уилсона является одним из наиболее эффективных. Он позволяет достаточно быстро достичь экстремума, определить характер и силу влияния тех или иных факторов, т. е. этот метод позволяет не только оптимизировать процесс, но и исследовать его.

Ввиду простоты и результативности метод получил широкое распространение. Рассмотрим практическое применение метода «крутого восхождения» при оптимизации условий протекания технологического процесса. Согласно теории метода к экстремуму надо двигаться по направлению, вдоль которого отклик меняется сильнее всего, т. е. по направлению градиента функции отклика, задаваемого уравнением.

где Ir — единичные векторы вдоль координатных осей Х_г, Х₂,

-, Х_К.

Движение к экстремуму начинается из некоторой начальной точки (Xj°'⁾, X2°'⁾,…, x?⁾'⁾), выбор которой производится на основании некоторых дополнительных соображений (например, на основании априорных сведений о том, что отклик в этой точке находится в относительной близости к экстремуму). В окрестности начальной точки требуется найти градиент функции отклика. Для этого используется линейная математическая модель (2.15), которая может быть получена средствами факторного эксперимента (ПФЭ или ДФЭ). С учетом соотношения (2.42) имеем.

Вдоль направления, задаваемого градиентом (2.43), следует двигаться в сторону экстремума. Движение осуществляется заданием координат последовательности точек, в которых надо ставить эксперименты. Сучетом (2.39) опыт ставится в точке (X^ +5Х₁, Х2°⁾ + 5Х₂,…, Х^ +5Х^), затем в точке (Х^⁰-¹ +28Х₁, Х^°-⁾ +28Х₂,…, х?^);) + 2ЬХ_К) и т. д., до тех пор пока не достигается точка, в которой отклик у является наибольшим (для данного направления). Эта точка необязательно является экстремумом функции отклика (ведь наша математическая модель описывает только окрестность начальной точки). Поэтому, когда на каком-то шаге отклик начнет уменьшаться, следует снова построить линейную модель, найти новое направление движения и двигаться по нему. Процесс повторяется до тех пор, пока не достигается точка, в которой градиент можно считать близким к нулю. Она и будет искомой точкой экстремума функции отклика.

Пример 2.2.

Необходимо найти значения температуры (Х_х) и времени проведения реакции (Х₂), при которых выход реакции изомеризации карбометоксисульфанилпранидина максимален.

Решение

Из опыта было известно, что процесс идет в районе температур 165— 175 °C при времени проведения реакции 4—6 ч. Исходя из этих данных, разумно выбрать центром плана 170 °C и 5 ч, нижними уровнями считать Х_г = 165 °C и 4 ч, а верхними —Х₂ = 175 °C и 6 ч. Интервалы варьирования будут АХ_: = 5 °C, ДХ₂ = 1 ч. В кодированной системе х₁ = + 1, х₂ = -1. Поскольку имеются два фактора с двумя уровнями, возможно применение ПФЭ типа 2². Матрица планирования имеет вид, представленный в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Процесс крутого восхождения.

Выполнение эксперимента по этому плану дало значения отклика (%):

Если представить математическую модель в виде неполного квадратного уравнения (2.15), то при помощи формул (2.16)—(2.19) легко найти коэффициенты Ь:

Исходя из полученных значений коэффициентов Ь,-, уравнение градиента можно представить в виде.

Используя полученное уравнение, можно провести процедуру крутого восхождения. Наибольшим коэффициентом является Ь₁ = 11, поэтому принимаем за базовый фактор x_v Устанавливаем для этого фактора шаг 5Х_г = 5 °C. По формуле (2.37) определяем:

На стадии крутого восхождения выход продукта был повышен до 92,3%. Далее он падал, а в опыте 5 происходило разложение продукта. Дальнейшая оптимизация не производилась. Тем не менее повышение выхода на 7,3% по сравнению с наилучшим результатом, полученным в окрестностях нулевого уровня, весьма существенно.