Определение напряжений и деформаций при кручении стержня круглого сечения

При кручении в каждом сечении возникают внутренние касательные напряжения, которые в произвольной точке сечения определяются по формуле.

.

где М_кр— крутящий момент в сечении стержня; - расстояние от центра сечения до точки, в которой определяется напряжение; J_р -полярный момент инерции сечения.

Для круглого сечения.

где =d_в/d (рис. 2.2).

Максимальные касательные напряжения возникают на контуре сечения:

.

где — полярный момент сопротивления сечения.

Для круглого сечения.

Рисунок 2.2.

Если крутящий момент и диаметр сечения на участке стержня зависят от координат сечения х, то угол закручивания сечения относительно начального сечения

,.

где G — модуль упругости второго рода.

Если крутящий момент и диаметр сечения являются постоянными величинами, то на участке длиной l угол закручивания

.

Угол закручивания сечения на i-м участке относительно неподвижного сечения равен сумме углов закручивания всех предыдущих i-1 участков плюс угол закручивания данного сечения с координатой x_i относительно начального сечения i-го участка, т. е.

Для неподвижного бруса угол закручивания целесообразно определять относительно заделки.

Условие прочности при кручении имеет вид.

_мах [].

Из этого условия можно провести проверочный расчет по определению коэффициента запаса:

n=_оп / _мах [n],

где [n] — рекомендуемый для данных условий работы и материала коэффициент запаса, или провести проектный расчет — определить диаметр сечения под заданную нагрузку, предварительно выбрав материал:

?.

Расчеты на жесткость основываются на условии жесткости.

[] или []

где = T/(GJ_р) — относительный угол закручивания, т. е угол закручивания, отнесенный к единице длины стержня. Из условия жесткости можно определить диаметр сечения по заданной жесткости:

где []-допускаемый относительный угол закручивания в радианах на единицу длины стержня.

Задача 1. Для стержня (рис. 2.3) построить эпюру максимальных касательных напряжений _мах, углов закручивания, определить диаметр сечений и максимальный угол закручивания, если заданы '=2d, а=1 м, М=5 кНм, []=40Мпа, G=0,4E=0,810⁵ Мпа. Эпюра крутящих моментов приведена на рис. 2.3.

Рисунок 2.3.

1. Разбиваем брус на четыре участка. Нумерацию участков и координату произвольного сечения на каждом участке задаем слева. Такое направление обхода выбираем для того, чтобы сразу построить эпюру углов закручивания сечения относительно единственного естественно неподвижного сечения — заделки.

Составляем уравнения для максимальных напряжений и углов закручивания:

1 участок: 0 x₁ a;

W_p=0,2d³, J_p=0,1d⁴.

;

;

при x₁=a _x1=₁=20 Ma/(Gd⁴), где ₁ — угол закручивания крайнего сечения I участка.

II участок: 0 x₂ a;

W_p=0,2d³, J_p=0,1d⁴.

;

;

при x₂=a _x2=₁=30 Ma/(Gd⁴).

Ш участок: 0 x₃ a;

W_p=0,2(2d³)=1,6d³, J_p=0,1(2d⁴)=1,6d⁴.

;

;

при x₃=a _x3=₁₁₁=2,5 Ma/(Gd⁴).

IV участок: 0 x₄ a;

W_p=0,2d³, J_p=0,1d⁴.

;

;

при x₄=a _x4=_1V=10 Ma/(Gd⁴).

По полученным данным строим графики _мах и на каждом участке. Графики _мах — прямые, параллельные оси х, так как _мах=const на каждом участке; графики — наклонные прямые:

при x₁=0 =0; x₁=a = _I =20 Ma/(Gd⁴);

при x₂=0 =_I; x₂=a = _I + _II =50 Ma/(Gd⁴);

при x₃=0 =_I +_II; x₃=a = _I + _II +_III=52,5 Ma/(Gd⁴);

при x₄=0 =_I +_II +_III; x₄=a = _I + _II +_III + _IV=62,5 Ma/(Gd⁴);

5. Анализ эпюры мах показывает, что наиболее нагруженным, т. е. опасным, является 2 участок, на котором все сечения равнонагружены. Исходя из условия прочности, определим диаметра в опасном сечении бруса:

мах[_мах]=15M / d³ [],

откуда.

d .

Подставляем цифровые данные:

d =0,123 м=123 мм.

Выбираем диаметра d,=l30 мм. и проверяем его.

=34,14 МПа.

Недогрузка (напряжение меньше допускаемого) составляет.

Полученная недогрузка в пределах рекомендуемой нормы — не более 15%. На III участке, по условию, d'=2d=260 мм.

Таким образом, только на опасном участке напряжения будут близки к допускаемым, на остальных участках они будут значительно меньше.

6. Определяем угол закручивания крайнего сечения относительно заделки:

мах ==0,137 рад = 7,8.